Пример. (Задача типа 61-70).

Найти общее решение следующих уравнений:

а) у^// + 4у^/ + 4у = 8е^-2х;

б) 4у^// - у^/ = 3х^-2;

в) у^// + у = sin – e^x.

Решение

а) у^// +4у^/ + 4у = 8е^-2х

Уравнение есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью: f(x) = 8e^2x.

Общее решение такого уравнения определяется формулами для этого случая.

Сначала найдем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения т.е. уравнения вида:

у^// + 4у^/ + 4у = 0

Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

k² + 4k + 4 = 0

(k + 2)² = 0 k₁ = k₂ = -2

Корни k₁ = k₂ = -2 действительные, равные, поэтому общее решение уравнения определяется формулой: = С₁е^-2х + С₂е^-2х · х .

Теперь найдем частное решение заданного линейного неоднородного уравнения. Так как правая часть f(x) = 8е^-2х – специальная, причем α = -2 является двукратным корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде: = Ае^-2х · х² , (случай 1), в)

где А – неизвестная и подлежащая определению константа.

Для нахождения коэффициента А найдем ()^/ и ()^// и подставим в заданное уравнение:

Подставив частное решение и его производные в уравнение, получаем:

Тогда, подставив полученное значение коэффициента А = 4 в частное решение, получим:

= 4е^-2х · х²

Итак, общее решение заданного линейного неоднородного уравнения будет:

у = С₁е^-2х +С₂е^-2х · х + 4е^-2х · х² = е^-2х · (С₁ + С₂х + 4х²)

Ответ: у = е^-2х · (С₁ + С₂х + 4х²) где С₁, С₂ = const.

б) 4у^// - у^/ = 3х²

Решение: Уравнение есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью f(x) = 3x². Общее решение такого уравнения определятся известной формулой.

Найдем общее решение у(Х) соответствующего линейного однородного уравнения: 4у^// - у^/ = 0

для чего решим характеристическое уравнение:

Итак, корни - действительные, различные, а поэтому общее решение уравнения определяется формулой случая 1)::

Так как правая часть f(x) = 3x² – специальная, причем ноль является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение заданного уравнения будем искать в виде:

= (А₀ + А₁х + А₂х²) · х = А₀х + А₁х² + А₂х³ ,

где А₀, А_1, А₂ – неизвестные и подлежащие определению константы.

Для отыскания коэффициентов А₀, А₁ и А₂ найдем ()^/ и ()^// и подставим их в уравнение.

()^/ = (А₀х + А₁х² + А₂х³)^/ = А₀ + 2А₁х + 3А₂х²

()^// = (А₀ + 2А₁х + 3А₂х²)^/ = 2А₁ + 6А₂х

Подставив ()^/ и ()^// в уравнение, имеем:

4 · (2А₁ + 6А₂х) – (А₀ +2А₁х + 3А₂х²) = 3х²

8А₁ + 24А₂х – А₀ - 2А₁х - 3А₂х² = 3х²

8А₁ – А₀ + (24А₂ - 2А₁) · х - 3А₂х² = 3х² + 0 · х + 0

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

После подстановки найденных выше значений коэффициентов А₀, А₁, А₂ получаем частное решение :

= -96х – 12х² – х³ = - х · (х² + 12х + 96)

Тогда, общее решение заданного уравнения примет вид:

у = С₁ + С₂ е^0,25х – х · (х² + 12х + 96).

Ответ: у = С₁ + С₂ е^0,25х – х · (х² + 12х + 96) где С₁, С₂ = const

в) у^// + у = sinх – е^х

Решение: Уравнение (92) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью f(x) = sinx – e^x, которая представляет собой сумму двух специальных правых частей f₁(x)= sinx + 0 · cosx (случай 4) и f₂(x) = -e^x (cлучай 1). Его общее решение определяется как сумма двух частных решений..

Найдем общее решение у(х) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: у^// + у = 0 .

Для этого решим характеристическое уравнение:

Итак, имеем пару сопряженных комплексных корней k₁ = i = 0 + 1·i и k₂ = -i = 0 – 1·i (α = 0, β = 1), тогда общее решение у(х) уравнения определяется формулой (83): = е^0·х · (С₁ cosx + C₂sinx) = С₁ cosx + C₂sinx

Частное решение заданного уравнения будем искать в виде:

= ₁ + ₂ ,

где – какое-нибудь частное решение уравнения y^|| + y = sinx;

- какое-нибудь частное решение уравнения y^|| + y = -е^х.

Частное решение будем искать в виде: = (A sinx + B cosx) · x , так как γ = βi = 1 · i = i является корнем характеристического уравнения.

Тогда

Для нахождения коэффициентов А и В подставим и ( )^// в уравнение:

у^// + у = sinх

В результате получаем:

-(Asinx + Bcosx) · x + 2Acosx – 2Bsinx + (Asinx + Bcosx) · x = sinx

2Acosx – 2Bsinx = sinx

2Acosx – 2Bsinx = 1 · sinx + 0 · cosx

Приравняем коэффициенты при sinx и cosx из последнего соотношения:

Имспользовав полученные выше значения коэффициентов А и В, найдем :

= -0,5 · х cosx

Частное решение будем искать в виде: = Се^х

Для определения коэффициента С подставим его в уравнение у^// + у = – е^х

()^/ = (Се^х)^/ = Се^х;

()^// (Се^х)^/ = Се^х.

Тогда: Се^х + Се^х = -е^х

2Се^х = -е^х, | : е^х (е^х ≠ 0)

2С = - 1; С = -0,5.

Подставим С = -0,5 в : = -0,5е^х .

Просуммировав два найденных частных решения, находим частное решение уаданного уравнения: = -0,5хcosx – 0,5e^x = -0,5 (x cosx + e^x) .

Окончательно, общее решение заданного уравнения имеет вид:

y = C₁cosx + C₂sinx – 0,5 (xcosx + e^x)

Ответ: у = C₁cosx + C₂sinx – 0,5 (xcosx + e^x), где С₁, С₂ = сonst.