M00685(В.М

Res f(z0) = с−1

(1.24)

c

−1

= 1

∫ f (z)dz ,

(1.25)

2πi γ

де γ – коло з центром в точці

z0 достатньо малого радіуса (воно не

повинно виходити за межі області аналітичності і не

містить

всередині інших особливих точок).

Якщо z0

– усувна особлива точка, то Res f(z0) = 0

Якщо z0

– полюс m-го порядку

Res f (z0 ) =

1

lim

d m−1

((z − z0 )m f (z))

(1.26)

(m

−1)! z→z0

dzm−1

Якщо z0

– простий полюс:

Res f (z0 ) = lim ((z − z0 ) f (z))

(1.27)

z →z0

n

∫ f (z)dz = 2πi ∑Re s(zk )

(1.29)

Г

k =1

lim

1−ez

=

0

= lim

(1−ez )′

= lim

−ez

=1

z

2

− z

0

(z

2

− z)

2z −

1

z→0

z→0

z→0

′

32

Точка z = 1 – простий полюс, за формулою (1.27):

Res f (1) = lim

(1−ez )(z −1)

=1−e .

z(z −1)

z→1

За формулою (1.29):

1−ez

z

∫=2

dz = 2πi(Res f (0) + Res f (1)) = 2πi(1−e)

z2 − z

Приклад 1.18

z + i

Обчислити інтеграл ∫

dz

(z +

1)

2

(z −i)

Розв’язок.

z

=3

z = i – простий полюс; за формулою (1.27):

Res f (i) = lim

(z +i)(z −i)

= lim

(z +i)

=1

(z +1)2 (z −i)

(z +1)2

z →i

z →i

z = −1 – полюс другого порядку, за формулою (1.26):

(z

+ i)(z +

1)

2

′

z

+ i

′

2i

Res f (−1) = lim

= lim

= −

lim

= −1

2

2

z→−1

(z

+1)

(z

z→−1 z

− i

z→−1

(z − i)

− i)

За формулою (1.29):

∫=3

z +i

dz = 2πi(Res f (i) + Res f (−1)) = 2πi(1+(−1)) = 0

z

(z +1)2 (z −i)

Приклад 1.19

1

Обчислити інтеграл

∫ (1+ z + z2 )e

dz

z −2

∞

F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt

(2.1)

0

Інтеграл Лапласа – невласний інтеграл, що залежить від

комплексного параметра p .

Оригіналом називається функція f (t) , яка задовольняє таким

умовам:

f (t) = 0 при t < 0

f (0) = lim f (t)

1)

t →0

+

2)

існують сталі S > 0 і M > 0 такі, що

f (t)

≤ MeSt , t > 0 ,

при цьому число S називається показником росту функції

f (t) ;

3) на будь-якому скінченому інтервалі [a,b] функція

f (t) може

мати скінчену кількість точок розриву першого роду.

Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція

Хевісайда (рис. 2.1):

t > 0

1,

(2.2)

η(t) =

t < 0

0,

36

2.2.3

Теорема зміщення

•

(2.3)

eαt f (t) =F( p −α) , де Re ( p −α) > S

•

2.2.4

Теорема запізнення

•

> S, τ > 0

(2.4)

f (t −τ)η(t −τ) =e−pτ F( p) , де Re p

•

f (t −τ), t ≥

τ

, де τ > 0

Розглянемо функцію g(t) =

0, t <τ

Графік g(t) одержується з графіка

f (t)

зсувом останнього на

значення τ

вздовж вісі t (рис. 2.2 та рис. 2.3).

37

2.2.5

Теорема диференціювання оригіналу

f

(k)

•

k

F( p) − p

k −1

f (0) − p

k −2

′

k −1

(0)

(2.6)

(t) = p

f (0) −... − f

•

Зокрема f

•

(2.7)

′(t) = pF( p) − f (0)

•

2.2.6

Теорема диференціювання зображення

(−t)n f (t) =•

d n F

(2.8)

•

dp n

2.2.7

Теорема інтегрування оригіналу

t

•

1

(2.9)

∫

f (τ)dτ =

F ( p)

•

p

0

2.2.8

Теорема інтегрування зображення

1

• ∞

(2.10)

f (t) =• ∫ F ( p)dp

t

p

•

t

(2.11)

F( p)Ф( p) =∫ f (τ)ϕ(t −τ)dτ ,

•

0

•.

•

Якщо f (t) = F( p) ,

g(t) =G( p) і f (t) та g(t) неперервно

•

•

pF ( p)G( p) =•

d

t

f (τ)g(t −τ)dτ = f (t)g(0) +

t f (τ)g′(t −τ)dτ

(2.12)

dt

∫

•

∫

0

0

2.2.11 Диференціювання та інтегрування за параметром

•

∂f

α2

Якщо

f (t,α) = F( p,α)

і функції

,

∫

f (t,α)dα є оригіналами

•

∂α

α

по змінній t , то

1

∂f (t,α) •

∂F( p,α)

α2

•

α2

∫ F( p,α)dα

(2.13)

∂α

=

∂α

та ∫ f (t,α)dα =

•

α

•

α

1

1

2.2.12 Теорема обертання

Якщо f (t)

– оригінал, а F( p)

– його зображення, то у будь-

якій точці неперервності

функції f (t)

є справедливою

формула

обернення Мелліна

1

S +iw

f (t) =

∫ F ( p)ept dp ,

(2.14)

2πi

S −iw

39

0,

t < 0

0 ≤ t < 4

3,

f (t) =

3

t, 4

≤ t < 6

9 −

2

0,

t ≥ 6

40

3

3

Тому f

(t) = 3η(t) −3η(t −4) +

9

−

t

η(t −4).

2

3

3

f (t) = 3η(t) −3η(t −4) + 9

−

t η(t −4)− 9

−

t η(t −6).