M00685(В.М.)
.pdf
61
62
63
64
3.10 Завдання 10
Знайти оригінал f (t)
1. |
F( p) = |
|
p2 + 2 p −1 |
||||||
p3 |
+3 p2 +3 p +1 |
||||||||
|
|
||||||||
2. |
F( p) = |
|
1 |
|
|
|
|
||
p3 + 2 p2 + p |
|
|
|||||||
3. |
F( p) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p3 |
−27 |
||||||||
|
|
||||||||
4. |
F( p) = |
( p +3)e−2 p |
|
||||||
p2 |
−2 p +10 |
||||||||
|
|
||||||||
5. |
F( p) = |
|
2 p −5 |
||||||
p3 + 4 p2 +5 p |
|
||||||||
|
F( p) = |
|
e−3 p |
||||||
6. |
(p2 + p)(p2 +1) |
||||||||
7. |
F( p) = |
p2 |
|
||||||
p4 |
−1 |
||||||||
|
|
||||||||
8. |
F( p) = |
p2 |
|
||||||
p3 |
−1 |
||||||||
|
|
||||||||
по заданому зображенню F( p) .
9. F( p) = |
|
|
pe−3 p |
|||||||
p2 −12 p +37 |
|
|
|
|
||||||
10. |
F( p) = |
|
p −1 |
|
||||||
|
p3 +3 p2 −10 p −24 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
F( p) = |
p2 + p +1 |
||||||||
11. |
p2 (p2 + 4) |
|
|
|
|
|||||
|
F( p) = |
p2e−2 p |
||||||||
12. |
(p2 −5 p +6)(p −1) |
|||||||||
13. |
F( p) = |
2 p3 + p2 + 2 p + 2 |
|
|||||||
p5 + 2 p4 + 2 p3 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
14. |
F( p) = |
pe− p |
||||||||
p3 + 4 p −3 p2 −12 |
|
|||||||||
15. |
F( p) = |
p2 + 2 p −1 |
|
|||||||
p3 −2 p2 + 2 p −1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
16. |
F( p) = |
p2 +1 |
||||||||
p2 (p2 −1)2 |
|
|||||||||
65
17. |
F( p) = |
pe−2 p |
|
|
|
|
|
|
|
||
(p −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
18. |
F( p) = |
p2 |
|
|
|
|
|
||||
p4 −5 p2 + 4 |
|
|
|||||||||
19. |
F ( p) = |
|
|
p −3 |
|
|
|
(e−4 p +3e−2 p ) |
|||
|
p2 −5 p − |
14 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
F( p) = |
p2 |
|
|
|
|
|
||||
p4 −3 p2 + 2 |
|
|
|||||||||
21. |
F( p) = |
p |
|
|
|
|
|
||||
(p2 +3 p −4)2 |
|
||||||||||
22. |
F ( p) = |
|
|
p3 +3 p2 −3 p +1 |
|||||||
|
p4 + 2 p3 + 2 p2 + 2 p +1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
23. |
F( p) = |
|
|
2 p −3 |
|
|
|
(e− p + 4e−2 p ) |
|||
|
p2 − p −20 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3.11 |
|
|
Завдання 11 |
|||||||
24. |
F( p) = |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(p2 +1)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
F( p) = |
|
|
|
p + 2 |
||||||||
25. |
(p2 − p −2)(p2 + 4) |
|
|||||||||||
26. |
F( p) = |
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
p3 +8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27. |
F( p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
(e−2 p + 2e−3 p ) |
||||
p2 −3 p −18 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
28. |
F( p) = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
p3 +8 p2 +17 p |
|
|
|||||||||||
29. |
F( p) = |
p2e− p |
|
|
|
|
|||||||
( p + 2)3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30. |
F ( p) = |
|
e−4 p |
|
+ |
|
|
pe− p |
|
||||
|
p2 −1 |
|
p2 − 4 p + 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язати задачу Коші операційним методом
1. |
′′′ |
′ |
=1, x(0) |
′ |
′′ |
|
|
|||
x |
+ x |
= x (0) |
= x (0) = 0 |
|||||||
2. |
′′ |
+ 2x |
′ |
−3x = e |
−t |
, |
|
|
′ |
=1 |
x |
|
|
x(0) = 0, x (0) |
|||||||
3. |
′′ |
+ 2x |
′ |
= t sin t, |
|
|
|
′ |
= 0 |
|
x |
|
|
|
x(0) = x (0) |
|
|||||
4.x′′+ 4x = t, x(0) = 1, x′(0) = 0
5.x′′′+ x′′ = cos t, x(0) = −2, x′(0) = x′′(0) = 0
6. |
x |
IV |
|
′′ |
=1, |
|
|
|
′ |
′′ |
|
′′′ |
= 0 |
||||
|
|
− x |
|
|
x(0) = x (0) = x (0) |
= x (0) |
|||||||||||
7. |
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
t |
, |
x(0) |
′ |
= 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
+ x |
+ x = te |
= x (0) |
|
|
|
= 0 |
|||||||||
8. |
x |
′′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
+3x |
+3x + x = 1, |
x(0) = x (0) |
= x (0) |
|||||||||||||
9. |
x |
′′ |
+ x = t cos 2t, |
x(0) |
′ |
= 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
= x (0) |
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
′′′ |
|
′ |
= e |
2t |
, |
|
|
′ |
′′ |
|
= 0 |
|
|
|||
x |
|
+ x |
|
|
|
x(0) = x (0) = x (0) |
|
|
|||||||||
11. |
′′ |
+ x = te |
t |
+ 4sin t, |
|
′ |
|
= 0 |
|
|
|||||||
x |
|
|
x(0) = x (0) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
12. |
′′ |
|
′ |
+ x = 2 cos |
2 |
t, |
|
′ |
|
= 0 |
||||
x |
+ 2x |
|
x(0) = x (0) |
|||||||||||
13. |
′′′ |
+ x =1, |
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
||
x |
|
x(0) = x (0) |
= x (0) = 0 |
|
||||||||||
14. |
2x |
′′ |
′ |
=sin 3t, |
|
|
|
|
|
′ |
=1 |
|||
|
− x |
|
|
x(0) = 2, x (0) |
||||||||||
15. |
′′ |
+ 4x = e |
2t |
+ 4t |
2 |
, |
|
x(0) = |
′ |
|
=1 |
|||
x |
|
|
|
2, x (0) |
||||||||||
16.x′′′+3x′′−4x =1, x(0) = x′(0) = 0, x′′(0) = 2
17.x′′− x′ = t2 , x(0) = 0, x′(0) =1
18. |
′′ |
′ |
|
3 |
e |
2t |
|
′ |
= 2 |
|
x |
+ 4x + 4x =t |
|
, x(0) =1, x (0) |
|
||||||
19. |
′′ |
′ |
t |
, |
|
|
′ |
|
|
|
x |
+ x − |
2x = e |
|
|
x(0) = −1, x (0) = 0 |
|
||||
20. |
′′′ |
′′ |
′ |
|
|
|
′ |
|
′′ |
= −2 |
x |
−2x |
+ x = 4, |
|
x(0) =1, x (0) = 2, x (0) |
||||||
21. |
′′ |
+ x = 2 cos t, |
|
|
|
′ |
=1 |
|
|
|
x |
|
|
x(0) = 0, x (0) |
|
|
|||||
22.x′′′+ x = 12 t2et , x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0
23.xIV + x′′′ = et , x(0) = −1, x′(0) = x′′(0) = x′′′(0) = 0
24. |
′′ |
|
′ |
|
|
|
−t |
, |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||
x |
|
+ x −2x = e |
|
|
|
|
x(0) = 0, x (0) = −1 |
|
|
|
|
|||||||||
25. |
′′′ |
|
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
= 4 |
|
|||
x |
|
|
+ 2x |
|
− x −2x =1, |
x(0) = 3, x (0) = −1, x (0) |
|
|||||||||||||
26. |
′′ |
|
′ |
−3x = e |
−3t |
, |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
+ 2x |
|
|
|
x(0) =1, x (0) = 3 |
|
|
|
|
||||||||||
27. |
x |
IV |
|
′′′ |
′′ |
= 54t |
+18, |
|
′ |
′′ |
|
′′′ |
=1 |
|||||||
|
|
−6x |
|
+9x |
x(0) = x (0) = |
0, x (0) |
= x (0) |
|||||||||||||
28. |
′′ |
− x =3sin t + 4 cos 2t, |
|
′ |
= −2 |
|
|
|
||||||||||||
x |
|
x(0) = −1, x (0) |
|
|
|
|||||||||||||||
29. |
′′ |
|
′ |
+8x = |
42e |
−2t |
sin t, |
x(0) = |
′ |
|
|
|
|
|||||||
x |
|
+ 4x |
|
|
0, x (0) = 4 |
|
|
|
||||||||||||
30. |
′′′ |
|
′ |
+ 2x = |
8te |
−t |
, |
|
′ |
′′ |
=1 |
|
|
|
||||||
x |
|
|
−3x |
|
|
x(0) = x (0) |
= x (0) |
|
|
|
||||||||||
67
ЛІТЕРАТУРА
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчесление (для ВТУЗов): - М.: Наука, 1986. т. ІІ, - 546с.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. М.: Наука, 1989. – 464с.
3.Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы
математического анализа./ Под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368с.
4.Чудесенко В.Ф. Сборник задач по специальным курсам высшей математики (типовые расчёты). – М.: Высшая школа, 1983. – 112с.
5.Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981. – 303с.
6.Соколенко О.І. Вища математика:Підручник. – К.: Видавничий центр академія, 2002. – 432 с.
7.Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. –Кн.. 1,2. К.:Либідь, 1994.
8.Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика.- Київ, 1996.
68
Додаток Таблиця зображень основних елементарних
функцій
Таблиця А.1 – Зображення основних елементарних функцій
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
Оригінал f (t) |
|
Зображення F( p) = ∫ f (t)e− pt dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tn (n = 1, 2,...) |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
eλt |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p −λ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cosωt |
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 +ω2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
eλt cosωt |
|
|
|
|
|
p −λ |
||||||||||||||
|
|
( p −λ)2 +ω2 |
|
||||||||||||||||||
|
eλt sin ωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
( p −λ)2 +ω2 |
|
||||||||||||||||||
|
tneλt |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
||||||||||||
|
|
|
|
( p −λ)n+1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
t cosωt |
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
( p2 +ω2 )2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
t sin ωt |
|
|
|
|
|
2 pω |
||||||||||||||
|
|
|
|
( p2 +ω2 )2 |
|
||||||||||||||||
|
chωt |
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
|||||||||||||||
|
shωt |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
|||||||||||||||