M00685(В.М
.).pdf11
Для тригонометричних функцій залишаються вірними всі формули тригонометрії.
Гіперболічні функції визначаються рівностями
sh z = |
ez −e−z |
ch z = |
ez + e−z |
|
2 |
2 |
|||
|
|
th z = chsh zz
Логарифмічна функція Ln z , де функція, обернена до показникової
Ln z = ln z +i(arg z + 2kπ),
cth z = chsh zz
z ≠ 0 , визначається як
k = 0; ±1; ± 2;...
Обернені тригонометричні функції |
Arcsin z , Arc cos z , |
Arctg z , Arcctg z визначаються як функції, |
обернені відповідно до |
функцій sin w, cos w, tg w, ctg w .
Наприклад, якщо z = sin w , то w називається арксинусом числа z і позначається w = Arcsin z .
Ці функції багатозначні і їх можна виразити через логарифмічну
функцію |
|
|
|
|
|
|||
Arcsin z = −iLn(iz + |
|
1− z2 ) |
||||||
Arccosz = −iLn(z + |
z2 −1) |
|||||||
Arctgz = − |
i |
Ln |
1 |
+iz |
|
|
||
|
|
|
−iz |
|
|
|||
2 |
|
1 |
|
|
||||
Arcctgz = − |
i |
Ln |
z + i |
|
||||
|
|
|||||||
2 |
|
|
z −i |
Загальна степенева функція w = za , де a = α + βi – будь-яке комплексне число, визначається рівністю
za = ea Ln z
Якщо a = 1n , n N , то маємо багатозначну функцію – корінь
степеня n з комплексного числа
12
1 |
|
|
1 |
Ln z |
1 |
(ln |
|
z |
|
+i(arg z + 2kπ )) |
|
|
i |
arg z + 2kπ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z n = n z = en |
= en |
|
|
|
|
|
|
= n |
z e |
|
n |
= |
|||||||
|
|
|
arg z + 2kπ |
|
+i sin |
arg z + 2kπ |
|
k = 0, n −1 |
|||||||||||
= n z cos |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Загальна показникова |
функція w = a z |
( a ≠ 0 – будь-яке |
комплексне число) визначається рівністю w = az = ez Ln a
Приклад 1.5
−1−i
Обчислити а) Ln 2
б) Arc cos 2i
Розв’язок
а) За означенням
Ln z = ln z +i(arg z + 2kπ), k = 0, ±1, ± 2,...
−1−i |
= |
|
1 2 |
|
1 2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
− |
|
+ − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1−i |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3π |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= −π +arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arg |
|
|
|
|
|
|
= −π +arctg1 = −π + |
|
= − |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
4 |
4 |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1−i |
|
|
3π |
+ 2kπ |
|
= |
πi |
(8k |
−3), k = 0, |
±1, ± 2,... |
|
||||||||
Ln |
2 |
|
= ln1+i − |
4 |
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Arc cos z = −i Ln(z + |
z2 −1) |
|
|
|
−5) |
|
|
|||||||||||||
Тоді Arc cos 2i = −i Ln(2i + |
(2i)2 −1)= −i Ln(2i + |
|
|
|||||||||||||||||
Тому що |
−5 = ± |
5i , отримаємо Arccos 2i = −i Ln(2 ± |
5)i |
|||||||||||||||||
(2 + 5)i = 2 + 5, (2 − 5)i = 5 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arg(2 + 5)i = |
π , |
|
|
|
|
arg(2 − |
|
5)i = − |
π |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Ln(2 ± 5)i = ln( |
|
|
± |
π |
|
= ln( 5 ± |
2)+ |
π |
i(4k ±1) |
||||
5 ± 2)+i |
2 |
+ 2kπ |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 ± |
2)+ |
π |
|
|
|
π |
|
(4k ±1)−i ln( 5 ± 2), |
||||
Arc cos 2i = −i ln( |
|
2 |
i(4k ±1) = |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 0, ±1, ± 2,...
1.3 Аналітичні функції
Похідною функції комплексної змінної |
w = f (z) |
називається |
||||||
|
|
∆w |
|
f (z + ∆z) − f (z) |
|
′ |
|
|
границя |
lim |
|
= lim |
|
= |
f (z) |
при умові, |
|
∆z |
∆z |
|||||||
|
∆z→0 |
∆z→0 |
|
|
|
що ∆z прямує до 0 довільним чином.
Функція називається диференційовною в точці z, якщо існує похідна в цій точці. Якщо функція диференційовна як в самій точці z, так і в деякому її околі, то функція називається аналітичною в точці z.
Функція f(z), що однозначна та диференційовна в кожній точці
області D, називається аналітичною в області D. |
|
|
Для того, щоб функція |
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) |
була |
аналітичною в області D, необхідно і достатньо існування в цій |
||
області неперервних частинних похідних u(x, y) і v(x, y) , |
що |
задовольняють умовам Коші-Рімана: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂u |
= |
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂u = − ∂v |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′ |
∂u |
+i |
∂v |
|
∂u |
|
∂u |
= |
∂v |
−i |
∂u |
= |
∂v |
∂v |
|
та при цьому f (z) = |
∂x |
∂x |
= ∂x |
−i ∂y |
∂y |
∂y |
∂y +i |
∂x . |
14
Приклад 1.6
Знайти аналітичну функцію f (z) = u(x, y) + iv(x, y) по відомій уявній частині v(x, y) = 3x + 4 yx .
Розв’язок
Використаємо умови Коші-Рімана:
∂u |
= |
∂v = |
∂(3x + 4 yx) |
= 4x |
||
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
|
∂u |
= − ∂v |
= − |
∂(3x + 4 yx) |
= −3 −4 y |
||
∂y |
|
∂x |
|
∂x |
|
|
Проінтегруємо перше з відношень по х. u(x, y) = ∫ 4xdx +ϕ( y) = 2x2 +ϕ( y)
Для знаходження функції ϕ( y) продиференціюємо отриману рівність по у і підставимо в другу умову Коші-Рімана
∂u |
′ |
′ |
|
∂y =ϕ ( y), |
ϕ ( y) = −3 −4 y |
|
|
ϕ( y) = ∫ (−3 −4 y)dy = −3y −2 y2 +C , |
де C – const. |
||
Таким |
чином, |
дійсна частина |
невідомої функції |
u(x, y) = 2x2 −3y −2 y2 +C.
Тоді f (z) = u +iv = 2x2 −3y −2 y2 +C +i(3x + 4 yx) = = 3i(x +iy) + 2(x2 − y2 + 2ixy) +C = 3iz + 2z2 +C
1.4 Інтегрування функції комплексної змінної
Нехай функція f (z) визначена і неперервна в області D, а L –
кусково-гладка замкнена або незамкнена крива, що належить області D.
Якщо z = x + iy , f (z) = u(x, y) +iv(x, y) , то обчислення
інтеграла зводиться до обчислення двох криволінійних інтегралів другого роду
15
∫ f (z)dz = ∫udx − vdy +i∫ vdx +udy
L L L
Звідки випливає, що взагалі інтеграл ∫ f (z)dz залежить від лінії
L
інтегрування L.
Приклад 1.7
Обчислити інтеграл ∫ (2z + Im z2 )dz
L
а) по прямій у=х від точки z1 = 0 до точки z2 =1+i
б) по параболі y = x2 від точки z1 = 0 до точки z2 =1+i .
Розв’язок:
Знайдемо дійсну та уявну частини підінтегральної функції: f (z) = 2z + Im z2 = 2(x −iy) + Im(x2 − y2 + 2ixy) = 2x + 2xy −i 2 y
u(x, y) = 2x(1+ y) v(x, y) = −2 y
∫ f (z)dz = ∫ 2x(1+ y)dx + 2 ydy +i∫ −2 ydx + 2x(1+ y)dy
L L L
а) L – пряма у=х, dy=dx, x змінюється від 0 до 1.
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
∫ f (z)dz = ∫ (2x(1+ x)+ 2x)dx +i∫ (−2x + 2x(1+ x))dx = |
|||||||
L |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
8 |
|
2 |
|
|
= ∫ (2x2 + 4x)dx +i∫ 2x2dx = |
+ |
i |
|||||
3 |
3 |
||||||
|
0 |
0 |
|
|
|||
б) L – парабола |
y = x2 , dy=2xdx, х змінюється від 0 до 1. |
∫ f (z)dz = ∫1 (2x(1+ x2 )+2x2 2x)dx +i∫1 (−2x2 +2x(1+ x2 )2x)dx =
L |
0 |
|
0 |
|
= ∫1 (6x3 +2x)dx +i∫1 (4x4 +2x2 )dx = |
5 |
+ |
22 i |
|
0 |
0 |
2 |
|
15 |
16
Якщо лінія L задана |
x = x(t) |
, |
t0 ≤t ≤ t1 , |
параметрично |
|||
|
y = y(t) |
|
|
причому значення параметра t=t0 i t=t1 відповідають початковій та кінцевій точкам кривої L, то
|
t1 |
|
||
|
|
|
′ |
деz(t) = x(t) +i y(t) |
∫ f (z)dz = ∫ f (z(t)) z (t)dt, |
||||
L |
t0 |
|
||
Приклад 1.8 |
|
|||
|
∫e |
|
dz , де L – відрізок прямої у = –х, який з’єднує |
|
Обчислити |
z |
|||
|
L |
|
точки z1 = 0 і z2 =π −iπ .
Розв’язок:
Запишемо рівняння лінії L в параметричній формі x = t, y = −t
В комплексно-параметричній формі рівняння прямої буде мати вигляд z =t −it , де t змінюється від 0 до π .
z |
= t +it, |
dz = (1−i)dt |
|
|
|
|
|
∫ ez dz = π∫ et +it (1−i)dt = (1−i)π∫ e(1+i)t dt = |
1−i |
e(1+i)t |
|
π |
|||
|
|||||||
|
= |
||||||
|
|||||||
L |
0 |
0 |
1+i |
|
0 |
||
|
= −i(e(1+i)π −e(1+i)0 )= (eπ +1)i
Якщо L – коло або частина кола з центром в точці z0 і радіусом R, то зручно використовувати рівняння виду
z = z + Reit |
(0 ≤ t < 2π) |
0 |
|
Приклад 1.9
Обчислити ∫ (2iz + z z)dz , де L – дуга кола |z|=2, 0 ≤ arg z ≤ π .
L
Розв’язок:
|
it |
|
|
|
−it |
′ |
it |
|
|
|
Нехай z = 2e |
, z = 2e |
dt, 0 |
≤ t ≤ π . |
|||||||
|
|
, dz = z (t)dt = 2ie |
|
|
|
17 |
|
Тоді |
∫(2iz + z |
|
)dz = π∫(2i 2eit + 2eit 2e−it ) 2ieitdt = |
z |
|||
|
L |
0 |
|
π |
(ie2it +eit )dt = (4ie2it +8eit )π = −16 |
||
= 8i ∫ |
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Якщо f(z) – аналітична функція в однозв’язній області D, то
інтеграл не залежить від лінії інтегрування L.
В цьому випадку |
∫ f (z)dz = 0 , |
L
де L – будь-який замкнений кусково-гладкий контур в області D. Також, якщо f(z) – аналітична функція, то має місце формула
Ньютона-Лейбниця:
z∫1 f (z)dz =Ф(z1) −Ф(z0 ) , z0
де Ф(z) – первісна до функції f(z), тобто Ф′(z) = f (z) в області D, z0 , z1 D .
Приклад 1.10
Обчислити інтеграл ∫ cos zdz , де L – відрізок прямої, що
L
з’єднує точки z1 = π2 і z2 =π +i .
Розв’язок:
Підінтегральна функція f(z)=cosz аналітична всюди, тому застосовуємо формулу Ньютона-Лейбниця:
π +i |
|
|
ππ+i = sin(π +i) −sin |
π = −sin i −1 = −(1 +ish1) |
∫cos zdz = sin z |
|
|||
|
||||
π |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
Якщо f(z) іϕ(z) – аналітичні функції в однозв’язній області D, а |
||||
z0 , z1 – довільні |
точки цієї області, |
то має місце формула |
інтегрування частинами:
18
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
z1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ f (z) ϕ (z)dz = ( f (z) |
ϕ(z)) |
|
z0 |
− ∫ |
ϕ(z) f (z)dz |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
Приклад 1.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислити інтеграл ∫i z cos zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Розв’язок: |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і ϕ(z) = cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Функції f(z)=z |
всюди |
аналітичні, тому можна |
||||||||||||
проінтегрувати частинами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
i |
′dz = (z sin z) |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
||
∫ |
z cos zdz = ∫ z(sin z) |
|
|
− ∫sin zdz = i sin i +cos z |
|
= |
|||||||||
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −sh1+ch1−1 = 1−e e .
1.5 Інтегральна формула Коші
Якщо функція f(z) є аналітичною в замкненій області D та l – границя D, тоді значення функції f(z) в будь-якій точці z0 області D можна обчислити за формулою Коші:
f (z0 ) = |
1 |
f (z)dz |
(1.12) |
|
2πi ∫l |
z − z0 |
|
Де контур l проходиться таким чином, що область D |
|||
залишається зліва. |
|
|
|
Для похідної n-го порядку аналітичної функції: |
|
||
f (n) (z0 ) = |
n! |
f (z)dz |
(1.13) |
|
2πi ∫l (z − z0 )n+1 |
|
Для використання інтегральної формули Коші може бути корисною наступна теорема.
|
|
|
|
|
19 |
|
Теорема. |
Якщо |
f (z) – аналітична в |
С2 |
|||
багатозв′язній |
області |
D, |
обмеженій |
|||
контуром |
C0 |
і |
внутрішніми по |
D |
||
С1 |
||||||
відношенню |
до |
нього |
контурами |
С3 |
||
C1, C2, K,Cn (рис. 1.4), то |
|
|
С0 |
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f (z)dz = ∑ |
∫ f (z)dz |
(1.14) |
Рисунок 1.4 |
||
C0 |
|
k =1Ck |
|
|
|
|
Приклад 1.12 |
|
|
|
|
||
Обчислити інтеграл ∫ sin z +1 dz , якщо l: |
|
|||||
|
|
|
l |
z 2 −4z |
|
а) z −1 = 0,5
б) z −1 = 2 в) z −1 = 4
Розв’язок:
а) В замкненій однозв’язній області z −1 = 0,5 підінтегральна
функція є аналітичною, тому |
∫ |
sin z +1 |
dz = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
−4z |
|||||||||||||||||||||
б) в |
|
|
|
|
z −1 |
|
= 2 є |
z −1 |
=0,5 |
|
|
|
z0 = 0 , в якій знаменник |
|||||||||||
колі |
|
|
одна |
|
точка |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
обертається в нуль |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
dz = ∫ |
|
z −4 |
|
|
|
dz |
|
|||||||||||||||
|
z |
2 |
−4z |
|
|
(z −0) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
z −1 |
=2 |
|
|
|
|
|
z −1 |
=2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Так як |
|
f (z) |
= |
sin z +1 |
|
– аналітична в області, що обмежена |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
колом z −1 = 2 , можна використати формулу Коші (1.12):
20
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
z −4 |
|
|
|
dz = 2πi |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z −0) |
|
|
|
z −4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z −1 |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 та |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) в області, обмеженій колом |
|
z −1 |
|
= 4 |
|
є дві точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = 4 , в яких знаменник обертається в нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 спосіб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Розкладемо дріб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на прості: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 − |
|
4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
z2 −4z |
|
4(z −4) |
4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тоді |
|
|
∫ |
|
|
sin z +1 |
dz = ∫ |
|
sin z +1 |
dz − |
|
∫ |
|
|
|
|
sin z +1 |
dz = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=4 z2 − 4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 |
|
=4 |
|
4(z − 4) |
|
|
|
z−1 |
|
=4 4z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2πi |
sin 4 +1 |
− |
2πi |
sin 0 +1 |
|
=πi |
sin 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 спосіб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z −1 |
|
=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосуємо останню теорему. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цього введемо в розгляд 2 контури: γ1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
який містить |
|
особливу точку z = 0 та |
γ2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
з особливою точкою z = 4 всередині (рис. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
γ1 |
|
|
|
|
|
|
γ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функція |
|
f (z) = |
|
|
|
аналітична |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 4z |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рисунок 1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в заштрихованій частині, тому |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
sin z +1 |
|
dz = |
|
∫ |
|
dz + ∫ |
dz = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z−1 |
|
=4 z2 − 4z |
|
|
|
|
|
γ1 |
|
z(z − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
γ2 |
z(z − 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 4 +1 |
|
|
sin 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2πi − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= πi |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
z − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
z=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|