математика 1874

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дослідимо даний ряд на збіжність при x =

Дослідимо даний ряд на збіжність при x =

одержимо ряд

одержимо ряд

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

530.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

∞

∑ 1

n=1 (n + 2)ln(3n)

Розв′язання.

Використаємо ознаку порівняння 2), порівнюючи даний ряд з рядом

∞

∑ 1

n=1 n ln 3n

Знаходимо:

lim un

n→∞ vn

	1		1
= lim		:		= 1
= lim		:		= 1
n→∞	(n + 2)ln 3n n ln 3n

і робимо висновок, що обидва ряди або збігаються, або розбігаються одночасно.

				∞		1
Застосовуємо до			ряду ∑			1	інтегральну ознаку. Нехай
Застосовуємо до			ряду ∑		n ln 3n		інтегральну ознаку. Нехай
				n=1	n ln 3n
				n=1
f (x)=	1	розглянемо невласний інтеграл
f (x)=	x ln(3x)	розглянемо невласний інтеграл
	x ln(3x)
	∞	dx	∞ d(ln 3x)			= ln ln(3x)		∞
	∞	dx	∞ d(ln 3x)
	∫		= ∫					= ∞ .
		x ln(3x)		ln(3x)				= ∞ .
		x ln(3x)		ln(3x)			1
	1		1				1

Інтеграл розбігається, значить обидва ряди теж розбігаються.

Інтегральна ознака збіжності ряду

Якщо функція f (x)≥ 0 неперервна і не зростає на проміжку

∞

[0;+ ∞ ), то інтеграл ∫ f (x)dx і ряд

∞

∑ f (n)= f (0)+ f (1)+ ... + f (n)+ ...одночасно збігаються або

n=0

розбігаються. ( Тут всі члени ряду un = f (n)) .

Зауваження. Твердження справедливе, якщо всі умови виконані на проміжку [n; + ∞ ).

Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд

∞

∑ 1

n=2 n ln n

Розв′язання. Розглянемо функцію

f (x)= 1 x ln x

( в загальному члені ряду п замінимо на х). Ця функція задовольняє всім умовам інтегральної ознаки: вона додатня, неперервна і не зростає на проміжку [2;+∞) і un = f (n)для п =2, 3,… .

Розглянемо невласний інтеграл

∞		∞				∞
∫	dx	= ∫	d(ln x)	= ln ln x		= lim ln ln x − ln ln 2 = ∞


2 x ln x		2 ln(x)				x→∞

					2

Інтеграл, а значить і ряд, розбігаються.

Звернемо увагу на те, що в цьому прикладі загальний член ряду прямує до 0, тобто, виконується необхідна умова збіжності, але ряд розбігається.

Приклад 11. Дослідити на збіжність ряд

∞

∑

Розв′язання.

n=2 n ln

Розглянемо функцію

f (x)=

x ln3 x

Ця функція задовольняє всім умовам інтегральної ознаки:

функція f (x)

додатня,

неперервна, не зростає на проміжку [2;+∞)

= f (n) для п =2,3,… .

Обчислимо невласний інтеграл

∞

∞ d(ln x)

∞

∫

= ∫

= −

ln−2 x

= lim

−

2 x ln

2 ln

x→∞

2 ln

Інтеграл, а значить і ряд, збігаються.

2. ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ

Перейдемо до вивчення рядів, членами яких є дійсні числа будьякого знаку. Частинним випадком знакозмінного ряду є знакопочережний ряд, тобто ряд виду

∞	(− 1)n−1 un = u1 − u2	+ u3 − u4 + ... + (− 1)n−1 un + ... (un > 0)
∑	(− 1)n−1 un = u1 − u2	+ u3 − u4 + ... + (− 1)n−1 un + ... (un > 0)				(2.1)
n=1
			∞
	Знакозмінний ряд	∑un (2.2)			називається абсолютно	збіжним,
			n=1
	∞
якщо збігається ряд ∑			un	(2.3),	складений із абсолютних величин
якщо збігається ряд ∑			un	(2.3),	складений із абсолютних величин

n=1

членів ряду (2.2).

При дослідженні знакозмінних рядів на збіжність важливими теоремами є теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду ( теорема 1) і ознака Лейбніця. (теорема 2).

Теорема 1. Якщо збігається ряд (2.3), то збігається і ряд (2.2). Теорема 2. (Лейбніця). Якщо в знакопочережному ряді (2.1) члени

такі, що

u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ...un ≥ ...	(2.4)
lim un = 0	(2.5)
n→∞

то ряд (2.1) збігається.

Ряди виду (2.1), що задовольняють умовам (2.4) і (2.5), називаються рядами Лейбніця.

Враховуючи ці дві теореми, можна запропонувати наступну схему дослідження на збіжність знакозмінного ряду (2.2).

Потрібно скласти ряд (2.3) з модулів членів даного ряду і дослідити знакододатній ряд (2.3) на збіжність по одній із ознак, викладених вище.

При цьому може виникнути одна із наступних ситуацій.

1Ряд (2.1) збігається. Тоді по теоремі 1 збігається і ряд (2.2). (Має місце абсолютна збіжність ряду (2.2)).

2Ряд (2.3) розбігається, причому

lim un ≠ 0

n→∞

Цей факт можна встановити або безпосередньо, або, наприклад, застосуванням ознаки Даламбера, або радикальної ознаки Коші. В цьому випадку і для ряду (2.2) необхідна умова також не виконується, із чого випливає, що ряд (2.2) розбігається.

3 Ряд (2.3) розбігається, причому

lim un = 0

n→∞

В цьому випадку збіжність ряду (2.2) можна спробувати установити за допомогою ознаки Лейбніця (теорема 2). Якщо ряд (2.2) є рядом Лейбніця, то він збігається( має місце умовна збіжність ряду (2.2). Якщо ряд (2.2) не є рядом Лейбніця, то потрібні додаткові дослідження.

Зауваження. Зверніть увагу на те, що з розбіжності ряду (2.3) не випливає розбіжність ряду (2.2): ряд (2.2) при цьому може бути або збіжним(див. п. 3 схеми дослідження), або розбіжним (див. п 2 тієї ж схеми)

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряд

	∑ (3− 1)			n
	∞		n
Розв′язання.	n=1 n	− n + 2
Розв′язання.
Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду
∞	n				( )
	n

∑n=1 n3 − n + 2
∑n=1 n3 − n + 2
					∞	1
Порівнюючи останній ряд (				) із збіжним рядом ∑		1	(за
Порівнюючи останній ряд (				) із збіжним рядом ∑		2	(за
					n=1	n

ознакою порівняння 2), можна показати, що ряд ( ) збігається. (Виконайте це самостійно). За теоремою 1 даний ряд також збігається, тобто має місце абсолютна збіжність ряду.

Приклад 13. Дослідити на збіжність ряд

∞ (− )n

∑ 1

n=2 n ln n

Розв′язання.

Складемо ряд з модулів членів даного ряду

∞

∑ 1

n=2 n ln n

Застосовуючи до цього ряду інтегральну ознаку збіжності, можна показати, що даний ряд розбігається. (Зробіть це самостійно). Знайдемо границю загального члену un даного ряду.

lim un	= lim	1	= 0
		ln n
n→∞	n→∞ n

Ми знаходимось в ситуації, що описана в п.3 схеми дослідження. Перевіримо, чи буде даний ряд рядом Лейбніця.

Даний ряд –знакопочережний, загальний член його прямує до нуля. Крім того, виконана умова (4).

1	>		1	> ... > n	1	> (n + 1)
2 ln 2	>	3	ln 3	> ... > n	ln(n + 1)	> (n + 1)

Всі умови теореми Лейбніця виконано. збігається. (Збіжність умовна).

Приклад 14. Дослідити на збіжність ряд

	∞	π
	∑(− 1)n n!sin	π
	∑(− 1)n n!sin	n
	n=1	2

1	> ...
ln(n + 1)	> ...
Значить,	даний ряд

Розв′язання.

Складемо ряд з абсолютних величин членів даного ряду

	∞	π
	∑n!sin	π
	∑n!sin	n
	n=1	2

Застосовуючи до цього ряду ознаку Даламбера, одержимо:

(n + 1)!sin

n!(n + 1)

lim

un+1

= lim

2n+1

= lim

2n+1

= ∞

n→∞ u

n→∞

n!sin

n→∞

Звідси випливає, що

un+1 > un для

тому для ряду з

абсолютних членів, а значить, і для даного ряду, не виконується необхідна умова збіжності ряду:

lim un ≠ 0

n→∞

Тому даний ряд розбігається.

3. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Функціональним рядом називається ряд виду

∞	(x)= u0 (x)+ u1 (x)+ ... + un (x)+ ....
∑un	(x)= u0 (x)+ u1 (x)+ ... + un (x)+ ....	(3.1)

n=0

де функції u(x) визначені на деякій множині D дійсної вісі.

Множина точок з області D, в якій ряд (3.1) збігається, називається областю збіжності ряду (3.1).

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

∞
∑an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 +... + an xn + ...	(3.2)

n=0

де a0 , a1 , a2 ...- дійсні числа (коефіцієнти ряду).

Область збіжності степеневого ряду (3.2) завжди є інтервал довжиною 2R з центром у початку координат. В кожній внутрішній точці цього інтервалу ряд (3.2) збігається абсолютно, а в точках, що лежать за ним, ряд розбігається (рис.4.1).

	Ряд збігається
-R	0	R	x
Ряд розбігається			Ряд розбігається

Рисунок 3.1

Число R називається радіусом збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулами

R = lim	an	або	R =	1		(3.3)
R = lim	an+1	або	R =			(3.3)
n→∞	an+1			lim n	an
при умові, що границі існують.				n→∞
при умові, що границі існують.
На кінцях інтервалу		збіжності (тобто при х=R та				при х=-R)

питання про збіжність чи розбіжність даного ряду для кожного конкретного ряду розглядається окремо.

Степеневим рядом називається також функціональний ряд виду

∞

+ a1 (x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − xn )n + ...

∑an (x − x0 )n = a0

(3.4)

n=0

При х=0 одержимо ряд (3.2), який є частинним випадком ряду

(3.4). Інтервалом

збіжності

ряду (3.4)

є інтервал

( x0 − R; x0

+ R) з

центром в точці x0

(рис.4. 2)

Ряд збігається

x0-R

x0+R

Ряд розбігається

Рисунок 3.2

Радіус збіжності R ряду (3.4) знаходять за тими ж формулами

(3.3), що і для ряду (3.2).

Приклад 15. Знайти область збіжності степеневого ряду:

∞

(x − 1)n

∑n−1

(2n + 1)3n

Розв′язання.

Знайдемо радіус збіжності ряду по одній із формул (3.3):

3(2n

+ 3)

R = lim

= lim

(2n + 1)3n

= lim

= 3

an+1

n→∞

n→∞ 2n + 1

(2n + 3) 3n+1

Значить ряд збігається абсолютно в інтервалі (-2; 4) з центром в

точці x0 = 1.

Дослідимо ряд на збіжність при х=4 і х=-2. При х=4 одержимо ряд

∞	3	n		∞	1
∑				= ∑
	(2n + 1)3		n		2n + 1
n=1				n=1

Порівнюючи його з гармонійним рядом

		1		2n + 1
lim		n	= lim		= 2
	1			n
n→∞			n→∞
	2n + 1

за другою ознакою порівняння робимо висновок, що він розбігається. При х=-2 одержимо знакопочережний ряд

∞ (− )n

∑ 1

n=1 2n + 1

З попередніх міркувань випливає, що ряд з модулів членів даного ряду розбігається. За теоремою Лейбніця одержимо, що при х=-2 ряд збігається умовно.

Отже. Областю збіжності даного ряду є півінтервал [-2; 4). Приклад 16. Знайти область збіжності степеневого ряду:

∞

∑(− 1)n n!xn

n=1

Розв′язання.

Знайдемо радіус збіжності ряду

R = lim		an		= lim	n!

	a
n→∞			n+1	n→∞ (n +1)!

= lim 1 = 0

n→∞ n +1

Це означає, що ряд збігається тільки в одній точці при х=0. Приклад 17. Знайти область збіжності степеневого ряду:

∞		4	n
∑				x2n+1.
	n	2
n=0			+ 1

Розв′язання.

Звернемо увагу на те, що коефіцієнти an , що стоять при xn з п

парним, дорівнюють нулю. Тому границі в формулах (3.3) не існують, отже, формули (3.3) в цьому випадку використовувати не можна.

Розглянемо при будь-якому фіксованому х числовий ряд

∞		n
n∑=0	4		x	2n+1 ,	( )

	n2	+ 1

складений з модулів членів даного ряду. Застосуємо до нього ознаку Даламбера

lim

un+1

= lim

4n+1

2n+3

+ 1

= 4x2 lim

+ 1

= 4x2

2n+1

n→∞ un n→∞ n2 + 2n

+ 2 4n

n→∞ n2 + 2n + 2

Якщо 4x2 < 1, то ряд (

)

збігається, якщо 4x2

> 1,

то ряд ( )

розбігається. Розв′язуючи ці нерівності, одержимо, що при

−

< x <

ряд ( ), а звідси і даний ряд збігаються, а при x > 1обидва ряди: ( ) і даний, розбігаються.

∞

1 2n+1

∞

∑

= ∑

+ 1

2(n

n=0

+ 1)

Порівняємо його з узагальненим гармонійним рядом

∞ 1

∑n=1 n2 .

Одержимо, що він збігається (доведіть самостійно).

∞

1 2n+1

∞

− 1

При

x = −

одержимо ряд

∑

−

= ∑

2(n

+ 1)

n=0

+ 1

n=0

який також, як і попередній ряд збігається. Отже, областю збіжності

даного ряду є відрізок −	1	;	1

	2	2

Розкладання функцій в ряд Тейлора

Якщо функція f (x) визначена в деякому околі точки x0 і в самій точці x0 має похідні всіх порядків, то до неї може бути застосована формула Тейлора:

f (x) = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )+ f ′′(x0 )(x − x0 )2 + ...

(n−1) (x

)

(x − x0 )n−1

+ Rn

(n − 1)!

(n) (ξ )

де

Rn =

(x − x0 )

ξ -між х0

і х , п –

будь-яке натуральне

(

число)

Якщо для деякого значення х Rn

→ 0 при

n → ∞ , то в границі

формула Тейлора перетворюється для цього значення х в ряд Тейлора
f (x) = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )+ ... +					f (n) (x	0	)	(x − x0 )	n	+ ... =
f (x) = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 )+ ... +					n!			(x − x0 )		+ ... =
			(x0 )		n!
∞		(n)
= ∑	f			(x − x0 )n
= ∑				(x − x0 )n
n=0		n!

Таким чином, функція f (x) може бути розкладена в ряд Тейлора

для розглядуваного значення х, якщо: 1) вона має похідні всіх порядків;

залишковий

член

R0 → 0 при

n → ∞

для розглядуваного

значення.

Якщо х=0, то ряд Тейлора називають рядом Маклорена і тоді

f (x) = f (0)+ f ′(0)x +

f ′′(0)

(n) (0)

∞ f

(n) (0)

+ ... +

+ ... = ∑

n=0

Справедливі такі розклади елементарних функцій:

ex = 1 + x +

+ ... +

+ ...

(− ∞ < x < ∞)

x2n+1

sin x = x −

−

... + (− 1)

+ ... (− ∞ < x < ∞)

(2n + 1)!

x2n

cos x = 1−

−

... + (− 1)

+ ...

(− ∞ < x < ∞)

(2n)!

ln(1 + x)= x −

− ... + (− 1)n−1

+ ...

(− 1< x < 1)

arctgx = x −

− ... + (− 1)n

x2n+1

+ ...

(− 1≤ x ≤ 1)

2n + 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2016171.52 Кб7Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125.44 Кб4Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588.27 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016594.89 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163.15 Mб15Математика задания(30 вариантов).doc
#
07.02.20165.01 Mб110Матеріалознавство.pdf