Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1874

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

530 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

nπx

−

(− 3cosπn − 9cos(− πn))−

sin

πn

−3

cos nπ = (− 1)n

nπ

Отже, ряд Фур′є для даної функції має вигляд

πx

2πx

3πx

4πx

3 −

sin

−

sin

−

sin

+ ... .

Розклад в ряд функцій, заданих на інтервалі (0; l].

Іноді маємо справу з функціями,

заданими тільки на інтервалі

0 < x ≤ l . В цьому випадку можна продовжити по деякому закону функцію на інтервал − l < x ≤ 0 , а потім продовжити її на всю числову пряму періодично з періодом 2l. Продовжити функцію з інтервала 0 < x ≤ l на інтервал − l < x ≤ 0 можна довільним способом. Найчастіше функцію продовжують парним чи непарним способом. Якщо функцію продовжують парним способом, то ряд Фур′є містить тільки косинуси і вільний член. Якщо продовжити непарним способом, то ряд Фур′є містить тільки синуси. Одержані ряди представляють на інтервалі 0 < x ≤ l задану функцію.

Приклад 28. Розкласти в ряд по синусам функцію f (x) = x ,

задану на інтервалі 0 < x ≤ 1. Розв′язання.

Для розкладу функції в ряд по синусам потрібно спочатку її

продовжити на інтервал	− 1 < x ≤ 0	непарним способом, а потім
одержану функцію продовжити періодично на всю числову вісь:
	у
	1
-2 -1	0 1 2	3	4 х

-1

Так

як

продовжена

функція

a0 = 0, an = 0 (n = 1,2,3...), а для нашого приклада

u = x, dv = sin nπxdx

= 2∫ x sin nπxdx =

du = dx, v = −

cos nπx

nπ

2 −

cos nπx

∫cos nπx dx =

nπ

2 −

cos nπ +

sin nπx

= −

cos nπ =

nπ

= (− 1)n+1

(n = 1,2,3...)

nπ

Отже, одержуємо наступний розклад:

непарна, то

−2 (− 1)n = nπ

2		1		1		1
	sinπx −		sin 2πx +		sin3πx −		sin 4πx + ...
π	sinπx −		sin 2πx +		sin3πx −		sin 4πx + ...
π		2		3		4

На інтервалі 0 < x < 1сума цього ряду дорівнює х.

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

Завдання 1. Довести безпосередньо збіжність рядів і знайти їх суми

1.	∞	1
	∑n=1	1

		(3n + 1)(3n + 4)
3.	∞	1
	∑n=1	1

		(n + 3)(n + 4)
5.	∞	1
	∑n=1	1

		n(n + 4)

2.	∞	1
	∑n=1	1

		(n + 2)(n + 3)
4.	∞	1
	∑n=1	1

		n(n + 1)
6.	∞	1
	∑n=1	1

		2n(2n + 2)

7.	∞	1
	∑n=1

		(n + 1)(n + 2)
9.	∞	1
	∑n=1

		(3n − 1)(3n + 2)

8.	∞	1
	∑n=1

		(3n − 2)(3n + 1)
10.	∞	1
	∑n=1

		(4n − 3)(4n + 1)

Завдання 2. Дослідити збіжність числового ряду за необхідною ознакою збіжності.

∑ ln

∑

(n − 1)

∞

n=1 n

n=1 n3 + 5n2 + 3

∞

1+ 9n

∞

∑

∑arccos

16n + 3

n=1

∞

nπ

∞

n + 4

∑tg

∑ln

+ 4n

n=1

∞

2n + 1

∞

∑

∑arctg

n 5

+ 1

n=1

∞

+ 2

10.

∞

∑

1+ 5n

+ n3

n=1

n=11

Завдання 3. Дослідити на збіжність ряди за ознакою порівняння.

1.	∞	1		2.	∞	2n + 1
	∑	1			∑	2n + 1
	n=1	2n2 + 5			n=1 n2 + 4
3.	∞	n	2	4.	∞
	∑	n			∑ n + 1
	∑	(n2 + 1)(n + 6)			∑ n + 1
	n=1	(n2 + 1)(n + 6)			n=1 n3
5.	∞	5n		6.	∞	3n
	∑n=1	5n			∑n=1	3n

		1+ n3				(2n − 1)(2n + 1)

7.	∞		n	8.	∞	3n − 1
	∑				∑
	n=1 n		2 + 2		n=1	n(n + 4)
9.	∞		n + 5	10.	∞	n

	∑n=1				∑n=1 2n − 1
		n(2n + 1)

Завдання 4. Користуючись ознакою Даламбера, дослідити на збіжність ряди:

1.∞ 3 n 1

5 nn=1

3. ∞ n

∑n=1 2n

5. ∞ 7n

∑ n + 1

n 1

7.∑∞ 2nn!− 1=

n 1

9.∑∞ 2n2 − 1n=1 n

2.	∞	2	n
	∑	2
	∑	(n + 2)!
	=	(n + 2)!
	n 1

4.∞ 3n

∑(n + 1)2n=1

6.∞ n!

∑3nn=1

8.	∞	3	n
	∑	3
	∑	n(n + 1)
	=	n(n + 1)
	n 1

10.∑∞ nn!+ 3=

n 1

Завдання 5. Дослідити на збіжність ряди, користуючись ознакою Коші (радикальною).

∞ 1 n + 1 n2

∞

3n2 n

∑

n=1

+ n − 1

∞

n + 1

∞ 3n

+ 1 n2

∑

n=1

∑n=1 3n

∞

∑

arcsin

∑

1 n

n=1

n=1 n

∞

n + 1

∞

∑

− n

n=1

7n2 + 2

10.

∞

∑

∞

n=1

2n − 1

∑

n=1

Завдання 6. Користуючись дослідити на збіжність ряди:

1.	∞	1
	∑	1

		(5n − 2)ln(5n − 2)
	n=1
3.	∞	1
	∞	7 n
	∑	7 n
	n=1	n2

5.∞ ln2 (n + 1)

∑n + 1=

	n 1
7.	∞				1
	∑n=1				1

		(n + 2)ln3 (n + 2)
9.	∞			1
	∑			1

			2		2 1
	n=1 n		2	cos	2 1
	n=1 n			cos

інтегральною ознакою Коші,

2	∞	arctg n
	∑	arctg n
	∑	1+ n2
	n=1	1+ n2
4.	∞		− n
	∑ e		n
	n=1		n
	n=1
6.	∞			1
	∑n=1			1
8.	∑n=1	(1+ n2 )arctg n
8.	∞		e	n
	∑		e
	n=1		1+ e2n
10.	∞			1
	∑n=1			1
	∑n=1	(1+ n2 )arctg 2n

Завдання 7. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди:

∑ (− 1) (2n

− 1)

∑

(− 1)

∞

n+1

n=1

(n + 1) 3n

n=1

∞

(− 1)n

2n + 1

∞

(− 1)n

∑

3n2 + 1

n=1

3n4 + 2

n=1

∞

n − 1

∑

(− 1)

∑

(− 1)n

(3n + 1)2n

4n + 3

n=1

n 1

∞

(− 1)

∞

(− 1)

n + 1

∑

− 1

n=1

2n + 3

n=1

n n

∞

2n − 1

10.

∞

(

∑

(− 1)n

− 1

n3 + n + 1

∑n=1 (2n − 1)!

n=1

Завдання 8. Вказати радіус збіжності степеневого ряду.

∞ (x − 2)n

∞ 2n + 1

n∑=0

3n − 2

(m + 1)9n

∞

(x +

∞

∑

(x + 2)n

n=1

3n − 1

n=2 n3 −

∞

n + 2

∑

+ 1)

∑

n=1 n2 + 1

n=1

∞

n + 2

∞

(

∑

+ 1)n

∑

−

(

x +

2n − 1

n3 n

n=1

∞

(x + 1)n

∑

10.

3 n 2n

n∑=0 (2n + 1)2n

n=1

Завдання 9. Розкласти в степеневий ряд за степенями х функції.

1.	sin	2	x	2.	x sin 2x	3.	x	3	e	− x
	sin		x				x		e
4.	x2 e1− x			5.	x3 cos 2x	6.	5 1− 3x
7.	x			8.	ln(10 + x)	9.	4 16 + x

1− x

10.x arctg 3x

Завдання 10. Користуючись розкладом в степеневий ряд, обчислити наближено; взяти вказане число членів розкладу, оцінити похибку.

	1							0,5		dx
1.	∫arctg x2dx					(3 члени)	2.	∫		dx				(4 члени)
1.	∫arctg x2dx					(3 члени)	2.	∫		1− x4				(4 члени)
	0							0		1− x4
3.	0,1		−	x3		(4 члени)	4.	0,1		dx				(2 члени)
	0,1									dx

	∫e			2 dx				∫				3
	∫e			2 dx				∫				3
	0							0 1+ x
	0
	1							1	sin x
5.	∫ 1+ x5 dx					(3 члени)	6.	∫	sin x		dx			(3 члени)
5.	∫ 1+ x5 dx					(3 члени)	6.	∫			dx			(3 члени)
	0							0		x
	0							0
	0,1							1
7.	∫	sin 2x			dx	(2 члени)	8.	∫e		− x3 dx				(3 члени)
7.	∫				dx	(2 члени)	8.	∫e		− x3 dx				(3 члени)
	0			x				0
	0							0
	0,5							0,5		arctgx2
9.	∫ x4 sin xdx					(4 члени)	10.	∫		arctgx2			dx	(3 члени)
9.	∫ x4 sin xdx					(4 члени)	10.	∫					dx	(3 члени)
	0							0		x
	0							0

Завдання 11. Знайти розклад в степеневий ряд за степенями х розв′язку диференціального рівняння (записати три перших, відмінних від нуля, члени цього ряду).

1. y′ = xy − y 2

y(0) = 0,2 2. y′ = e2x + 3xy2

y(0) = 1

3.	y′ = 2cos x − xy2						y(0) = 1	4. y′ = 2x + e3y						y(0) = 0
5.	y′ = xy + e y						y(0) = 0	6. y′ = x2 − y2						y(0) = 1/ 2
7.	y′ = e4x + 2xy2						y(0) = 1	8. y′ = x2 − 3xy + y 2 y(0) = 0,5
9.	y′ = 3cos 2x − xy3						y(0) = 1	10. y′ = xex + 2y2						y(0) = 0
	Завдання 12. Розкласти в ряд Фур′є функцію f (x)з періодом 2π ,
		a, якщо -π < x ≤ 0
яка задана так: b, якщо 0 < x ≤ π
1.	a = −1,					b = 2		6.	a = −2 ,					b = 1
2.	a = 3 ,					b = −1		7.	a = 1,					b = 4
3.	a = 1,					b = −2		8.	a = 1,					b = 3
4.	a = −4 ,					b = 1		9.	a = −1,					b = 4
5.	a = −3 ,					b = 1		10.	a = −2 ,					b = 3
	Завдання 13.					Розкласти в ряд Фур′є функцію з періодом 2π ,
задану на інтервалі − π < x ≤ π формулою:
1.	f (x) =	1			x			6.	f (x) =	1			x	2


	2								8
2.	f (x) =	1			x2			7.	f (x) =	3			x


	5								8
3.	f (x) = −				2	x		8.	f (x) = −				2	x2


	5								7
4.	f (x) = −			1		x2		9.	f (x) =	3		x


	2								7
5.	f (x) =	4	x					10.	f (x) =	3	x			2


	5								8

Завдання 14. Розкласти в ряд Фур′є функцію f (x) задану на інтервалі − l < x ≤ l за формулою f (x) = ax + b , якщо

1.	a = 2 ,	b = 1,
3.	a = −1,	b = 3 ,
5.	a = 2 ,	b = −1,
7.	a = 2 ,	b = 5 ,
9.	a = 2 ,	b = −4 ,

l = 3	2.	a = 1,	b = 2 ,	l = 3
l = 2	4.	a = 1,	b = 2 ,	l = 4
l = 4	6.	a = −4 ,	b = 2 ,	l = 5
l = 4	8.	a = 4 ,	b = 2 ,	l = 4
l = 6	10.	a = −2 ,	b = −4 ,	l = 6

Завдання 15. Розкласти в ряд Фур′є функцію	f (x) задану на
інтервалі 0 < x ≤ l ( в прикладах з непарними	номерами по

косинусам, в прикладах з парними номерами по синусам).

1.f (x) = 3x + 1

3.f (x) = x − 3

5.f (x) = 2x − 1

7.f (x) = 8 + x

9.	f (x) = 3 − x

l = 2	2.	f (x) = 2 − x
l = 3	4.	f (x) = x − 1
l = 3	6.	f (x) = x − 4
l = 4	8.	f (x) = x + 3
l = 5	10.	f (x) = 5 + x

l = 2 l = 4 l = 2 l = 2 l = 4

ЛІТЕРАТУРА

1. Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник /

В.П.Дубовик, І.І.Юрик, І.П.Вовкодав та ін; За ред.

В.П.Дубовика, І.І.Юрика. К.:-К.:А.С.К., 2001.-480 с. 2. Высшая математика: Учеб. пособие/ Под общ. ред.

П.Ф. Овчинникова.-К.: Вища шк., 1989.-679 с.

3. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. –Мн.: Узд. БГУ, 1973.-532 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учебное пособие для студентов втузов.-М.: Высш. школа,

1980.-365 с.

5. В.П.Дубовик, І.І.Юрик. Вища математика.-К.:”Вища школа”,1993. -648 с.

6. Запорожець Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.-М.:Высш школа,1964.-

480 с.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов.Т.2.-М.:”Наука”,1985.-576 с.

8. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие.-М.: Высш.шк.,1989.-383 с.

9. Сборник задач по курсу высшей математики. Под ред. Г.И.Кручковича. Учебное пособие для втузов.-

М.: Высш. школа, 1973.-576 с.

10. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Кн. 2. Диференціальне та інтегральне числення функції однієї змінної. Ряди.-К.:”Либідь”,

1994.-352 с.

11. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Кн. 3. Диференціальне та інтегральне числення функції багатьох змінних. Диференціальні рівняння.-К.:”Либідь”, 1994.-352 с.

12. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях: Учеб. пособие для студентов втузов.-

М.: Высш. шк., 1983.-176 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2016172 Кб8Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125 Кб5Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161 Мб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016460 Кб8математика 1229.pdf
#
07.02.2016530 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476 Кб9МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016595 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163 Мб15Математика задания(30 вариантов).doc
#
07.02.20163 Мб23материаловедение.pdf