Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1229

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

459.93 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання контрольних робіт

та самостійної роботи студентів факультетів радіоприладобудівного та інформатики і обчислювальної техніки денної та заочної форм навчання за темою “ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ”

2003

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт та самостійної роботи студентів факультетів радіоприладобудівного та інформатики і обчислювальної техніки денної та заочної форм навчання за темою “Інтегральне числення”/ Укл. : Левицька Т.І. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2003. – 50с.

Укладач: Левицька Т.І., доцент, к. т. н.

Рецензент: Мастиновський Ю.В. , доцент, к. т. н.

Відповідальний за випуск : Левицька Т.І . , доцент, к .т .н .

Затверджено на засіданні кафедри

прикладної математики ЗНТУ Протокол № 3 від 28.12.2002 р.

Затверджено радою РПФ ЗНТУ

Протокол № 3 від 07.02.2003 р.

	3
	ЗМІСТ	С.
	Контрольна робота № 3
	Невизначений та визначений інтеграли
1	Первісна. Невизначений інтеграл …………………………………	4
2	Техніка інтегрування ………………………………………………	6
3	Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен	10
4	Інтегрування раціональних функцій ……………………………..	12
5	Інтегрування тригонометричних функцій ……………………….	15
6	Деякі інтеграли від ірраціональних функцій …………………….	18
7	Обчислення визначеного інтеграла ………………………………	21
8	Невласні інтеграли ………………………………………………...	22
9	Застосування визначеного інтеграла ……………………………..	27

Індивідуальні завдання ……………………………………………… 35

Література …………………………………………………………… 50

Контрольна робота № 3

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ТА ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛИ

1 ПЕРВІСНА. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Функція F(x ) називається первісною функції

f (x )

на деякому

проміжку,

якщо

вона

диференційовна

кожній

внутрішній

точці

′

цього проміжку, причому F (x ) = f (x ) .

Теорема. Якщо F(x )

первісна

функції

f (x ) на [a, b] , то

всяка інша первісна функції

f (x )

на цьому проміжку має вигляд

F(x ) +C

, де C

- стала величина .

Сукупність

усіх

первісних

функції

f (x )

називається

невизначеним інтегралом функції

f (x )

і позначається

∫ f (x ) dx .

Тобто

за

означенням

попередньою

теоремою

маємо

∫ f (x ) dx = F(x ) +C ,

де

F(x )

– деяка первісна функції

f (x ) ,

C – довільна стала.

Основні властивості:

(∫ f (x ) dx )′ = f (x )

∫ dF(x ) = ∫ F ′(x ) dx = F(x ) +C

∫ kf (x ) dx = k ∫ f (x ) dx , k R

∫ ( f1(x ) ± f2 (x ) ) dx = ∫ f1(x ) dx ±∫ f2 (x ) dx

Якщо ∫ f (x ) dx = F(x ) +C

u =ϕ (x )

- довільна функція,

що має неперервну похідну , то ∫ f (u) du =F(u) +C .

Таблиця основних інтегралів

Нехай функція u = u(x ) неперервна разом із своєю похідною. Тоді справедливі такі формули:

uα+1

1. ∫ uαdu = α +1 + c , α ≠ −1


2.	∫	du	= ln	u	+ c

		u
				au
3.	∫ audu =					+ c
				ln a

4.∫ eudu = eu + c

5.∫ sin u du = −cos u + c

6.∫ cos u du = sin u + c

7.∫ shu du = chu + c

8.∫ chu du = shu + c

9.∫ tgu du = −ln cos u + c

10.∫ ctgu du = ln sin u + c

11.∫ cosdu2 u = tgu + c

12.∫ sindu2 u = −ctgu + c

13.

∫

= thu + c

ch2u

14.

∫

= −cthu + c

sh2u

15.

∫

= ln

+ c

sin u

∫

16.

= ln

+ c

cos u

17.

∫

arctg

+ c

u2 + a2

18.

∫

= arcsin

u + c

− u

∫

u − a

+ c

19.

u2 − a2

u + a

20.

∫

= ln u +

u2 ± a2 + c

u2 ± a2

21.

∫

u2 ± a2 du = u

u2 ± a2

± a2

ln u +

u2 ± a2 + c

22.

∫

a2 − u2 du = u

a2 − u2

+ a2

arcsin

+ c

2 ТЕХНІКА ІНТЕГРУВАННЯ

2.1 Метод безпосереднього інтегрування

Це обчислення інтеграла за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів.

	x −	7
∫ 3x +	x −	x	dx = ∫ 3x dx + ∫
		x

			1		x 2
= 3∫ x dx + ∫ x 2 dx − 7∫ dx				= 3	x 2
			x		2
=	3 x 2	+	2 x x −7 ln x + c
	2		3

x dx − ∫ 7 dxx =

1 +1

+ x 2 − 7 ln x + c =

21 +1

2.2 Метод підстановки

Базується на властивості 5 невизначеного інтеграла.

Нехай ∫ f (x ) dx = F(x ) +C та x =ϕ (t ) .

Тоді ∫ f ( ϕ (t ))ϕ′(t )dt = F(ϕ (t )) +C .

Розрізняють ,,введення функції під знак диференціала’’ та просто

підстановку. Розглянемо перший спосіб.

ПРИКЛАДИ

sin6 x

∫ sin5 x cos x dx = ∫ sin5 x d(sin x ) =

+ c

Тут використано формулу з таблиці інтегралів

∫ u5du =

+ c

де слід потім покласти u = sin x .

При

введенні

функції

під

знак

диференціала

необхідно

користуватися формулою

′

Тобто

у даному

d(u(x )) = u (x ) dx .

прикладі d(sin x ) = (sin x )′dx = cos x dx

∫

(7 ln x + 4)3

dx =

∫ (7 ln x + 4)3

dx =

∫ (7 ln x + 4)3 d(7 ln x + 4) =

(7 ln x + 4)4

+ c =

(7 ln x + 4)4

+ c

Далі розглянемо другий спосіб – заміну змінної (безпосередньо

підстановка).

ПРИКЛАДИ

∫ x

1 + x dx

Зробимо підстановку

1 + x

= t

. Звідки 1 + x = t2 , x = t2 −1 .

dx = d(t2 −1) = (t2 −1)′dt = 2t dt .

Переходячи в інтегралі до нової змінної, будемо мати

∫ x 1 + x dx = ∫ (t2 −1)t 2t dt = 2∫ (t4 −t2 ) dt =

− t

(1 + x )

= 2 t

+ c =

t =

1 + x

= 2

−

+ c

Зауваження. Функцію x = ϕ (t ) у підстановці слід вибирати таким

чином, щоб вираз під знаком інтеграла став зручнішим для інтегрування.

x = sin t

∫ 1 − x 2 dx = dx = d(sin t ) = cos tdt

= ∫ cos2 t dt =

1 − x 2

= 1 −sin2 t

= cos t

∫ (1 + cos 2t ) dt =

t +

∫ cos 2t d(2t ) =

sin 2t =2 sin t cos t =

(t + 1 sin 2t ) + c = =2 sin t

1 − sin2 t =

=2x

1 − x 2 , t = arcsin x

1 arcsin x + 1 2x 1 − x 2 + c = 1

(arcsin x + x 1 − x 2 ) + c

За

допомогою

підстановки

обчислюють

інтеграли виду

∫ R(ex )dx , де R - деяка раціональна функція.

Підстановка: ex

= t ,

x = ln t , dx =

3) ∫

e2x dx

ex = t

= ∫

t2 dt

= ∫

dt = ∫ (1 −

)dt =

ex +1

t +1 t

t +1

= t − ln t +1 + c = ex − ln(ex +1)+ c

2.3 Інтегрування частинами

Нехай маємо дві диференційовні функції u(x ) та v(x ) . Тоді справджується формула ∫ u dv =uv − ∫ v du , яка має назву формули

інтегрування частинами. Щоб скористатись цією формулою необхідно деяку частину підінтегрального виразу позначити через функцію u , а

та що

залишилася

через

d v

. Далі

знаходять

′

d u = ux dx та

v = ∫ d v .

ПРИКЛАДИ

∫ arctgx dx =

u = arctgx

dv = dx

du =

dx v = ∫ dx = x

+ x 2

= arctgx x − ∫

xdx

= x arctgx − 1

∫

d(1 + x 2 )

+ x 2

1 + x 2

=x arctgx − 21 ln(1 + x 2 ) + c

Удеяких випадках для обчислення інтеграла формула інтегрування частинами застосовується кілька разів.


2) ∫ x 2e−x dx =	u = x 2		dv = e−x dx			=

	du = 2xdx		v = ∫ e−x dx = −∫ e−x d(−x ) = −e−x
				dv = e−x dx
= −x 2e−x + ∫ 2xe −x dx =		u = x			=
		du = dx		v = −e−x

= −x 2e−x +2 (−xe −x + ∫ e−x dx ) = −x 2e−x −2xe −x −2e−x + c = = −e−x (x 2 +2x +2) + c

Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

І. ∫ P(x )aαx dx , ∫ P(x )eαx dx , ∫ P(x ) sin β xdx ,

∫ P(x ) cos β xdx , де P(x ) - многочлен степеня n ,

α ≠ 0 , β ≠ 0 – дійсні числа.

Покладають u = P(x ) . Інтегрують n разів частинами. II . ∫ P(x ) log a xdx , ∫ P(x ) ln xdx , ∫ P(x ) arcsin xdx ,

∫ P(x ) arccos xdx , ∫ P(x )arctgxdx , ∫ P(x )arcctgxdx .

Покладають dv = P(x )dx

III . ∫ eα x cos β xdx , ∫ eα x sin β xdx , α ≠ 0, β ≠ 0.

Ці інтеграли двічі інтегрують частинами, та отримують в правій частині заданий інтеграл. Далі знаходять його як розв’язок рівняння.

3 ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ВИРАЗІВ, ЩО МІСТЯТЬ КВАДРАТНИЙ ТРИЧЛЕН

До цього класу інтегралів відносяться
J1	= ∫	dx			, J2 = ∫		Ax + B	dx ,
		ax 2 + bx + c				ax 2 + bx + c
J3	= ∫	dx			, J4 = ∫		Ax + B	dx ,
		ax 2 + bx	+ c				ax 2 + bx
								+ c
де A , B , a , b , c - деякі сталі.
Інтеграли J1 , J3				за допомогою виділення повного квадрата у

квадратному тричлені зводять до табличного.

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.19 Mб8Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016171.52 Кб6Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125.44 Кб4Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588.27 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб6математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016594.89 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163.15 Mб15Математика задания(30 вариантов).doc