матанчик 4 идз
.pdf1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи
з вищої математики
для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання
(3-й семестр)
2014
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної
форми навчання (3-й семестр) / Укл.: Засовенко А.В., Слюсарова Т.І., Шаніна З.М., Штефан Т.О. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2014. - с.82
Укладачі: |
А.В. Засовенко, к.т.н., доцент; |
|
Т.І. Слюсарова, асистент; |
|
З.М. Шаніна, к.т.н., доцент; |
|
Т.О. Штефан, ст. викладач. |
Рецензенти: І.М. Килимник, к.т.н., доцент; Т.Г. Полякова, асистент.
Відповідальний |
|
за випуск: |
Т.О. Штефан, ст. викладач. |
Комп’ютерна верстка |
Т.О. Штефан, ст. викладач. |
Затверджено на засіданні кафедри
вищої математики Протокол № 2
від 03.09.2014 р.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
ЗМІСТ
Правила виконання та оформлення розрахунково-
графічної роботи. |
4 |
||
1. |
Числові та функціональні ряди |
5 |
|
|
1.1. |
Довідковий матеріал |
5 |
|
1.2. |
Аудиторні завдання |
13 |
|
1.3. |
Індивідуальні завдання |
15 |
2. |
Елементи функції комплексної змінної |
26 |
|
|
2.1. |
Довідковий матеріал |
26 |
|
2.2. |
Аудиторні завдання |
37 |
|
2.3. |
Індивідуальні завдання |
40 |
3. |
Елементи операційного числення |
59 |
|
|
3.1. |
Довідковий матеріал |
59 |
|
3.2. |
Аудиторні завдання |
65 |
|
3.3. |
Індивідуальні завдання |
67 |
Література |
81 |
||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
ПРАВИЛА ВИКОНАННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ.
Розрахунково-графічна робота (РГР) виконується студентом самостійно згідно номеру індивідуального варіанту, який визначається викладачем. Роботи виконані не за своїм варіантом, не зараховуються.
РГР подається викладачеві на перевірку і захищається студентом на консультаціях у терміни, визначені учбовим планом.
На титульній сторінці треба записати назву РГР, дисципліну, з якої виконується РГР, номер академічної групи, прізвище, ім’я та по батькові студента повністю, рік виконання роботи. Також необхідно зазначити посаду, науковий ступінь, прізвище, ім’я та по батькові викладача.
В роботі повинні бути розв’язані всі завдання вказані викладачем. Розв’язання задач необхідно подавати в порядку номерів завдань, зберігаючи їх послідовність. Умова задачі наводиться повністю.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
1.ЧИСЛОВІ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
1.1 Довідковий матеріал
Числові ряди
|
|
u1 |
∞ |
|
Вираз виду |
+ u2 + u3 + ...+ un + ... = åun , |
(1.1) |
||
де un Î R , |
|
|
n=1 |
|
називається числовим рядом. Числа u1,u2,u3,...,un ,... |
||||
називаються членами ряду, un = f (n) - n-й член ряду (1.1). |
||||
Суми |
S1 = u1, S2 |
= u1 + u2 ,..., Sn = u1 + u2 + ...+ un |
називаються |
|
частинними сумами, а Sn - n-ою частинною сумою ряду (1.1). Якщо
послідовність частинних сум {Sn} збіжна і lim Sn = S , то ряд (1.1)
n→∞
називається збіжним,а число S називається сумою ряду. Якщо lim Sn
n→∞
не існує (або нескінчена), то ряд (1.1) називається розбіжним.
Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд (1.1)
збіжний, то
|
lim un = 0 . |
|
|
||
|
n→∞ |
|
|
|
|
Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів |
|||||
|
|
|
|
|
∞ |
-Ознака |
Д’Аламбера. Якщо для |
ряду |
åun існує |
||
(скінчена або нескінчена) границя |
|
n=1 |
|||
|
|
||||
|
lim |
un+1 |
= 0 , |
|
|
|
un |
|
|
||
то при D <1 |
n→∞ |
|
D >1 |
|
|
ряд збігається, |
а при |
розбігається. |
|||
При D =1 питання про збіжність ряду потребує додаткових досліджень.
∞
-Ознака Коші (радикальна). Якщо для ряду åun існує (скінчена
n=1
або нескінчена) границя
lim n un = K ,
n→∞
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
то при К<1 ряд збігається, а при К>1 розбігається. При К=1 питання про збіжність ряду залишається відкритим і потрібні додаткові дослідження.
-Інтегральна ознака Коші. Якщо функція f (x)³ 0 неперервна і
монотонно спадна на проміжку [1; + ∞), то інтеграл ∞ò f (x)dx і ряд
0
∞
å f (n) = f (1)+ f (2)+ ... + f (n)+ ... одночасно збігаються або n=1
розбігаються (тут всі члени ряду un = f (n)) . Твердження справедливе, якщо всі умови виконані на проміжку [n; + ¥).
-Ознаки порівняння рядів. Нехай маємо два ряди з невід¢ємними
∞ |
∞ |
членами: 1) åun та 2) |
åvn . |
n=0 |
n=0 |
1. Якщо un £ vn для будь-якого n ³ N , то із збіжності ряду 2)
випливає збіжність ряду 1), а із розбіжності ряду 1) випливає розбіжність ряду 2).
2. Якщо існує lim un = r, 0 < r < +¥ , то ряди 1) і 2) одночасно
n→∞ vn
збігаються, або розбігаються.
На практиці найчастіше досліджувані ряди порівнюють з а) узагальненим гармонічним рядом
∞ 1 nå=1nα ,
що збігається при a>1 і розбігається при a£1;
б) рядом, що представляє собою геометричну прогресію
∞
åa ×qn , де a = const ,
n=1
який збігається при q <1, його сума S = 1−a q і розбігається при q ³1.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7
Знакозмінні ряди
¥
Ряд åun називається знакозмінним, якщо серед його членів є n=1
як від’ємні, так і додатні.
¥
Знакозмінний ряд åun називається абсолютно збіжним, якщо n=1
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряд å |
|
un |
|
, складений з модулів його членів, є збіжним. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
un |
|
= |
|
u1 |
|
+ |
|
u2 |
|
+ |
|
u3 |
|
+ |
|
u4 |
|
+...+ |
|
un |
|
+... |
|
|
(1.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частинним випадком знакозмінного ряду |
|
є знакопочережний |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд, знаки членів якого строго чергуються: |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
- u |
2 |
+ u |
3 |
- u |
4 |
|
+...+ (-1)n-1u |
n |
+... = |
|
(-1)n-1u |
n |
, |
(1.3) |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1
де un > 0, n = 1,2,...
Цей ряд досліджують на збіжність за ознакою Лейбніца. Теорема 1 (ознака Лейбніца). Якщо в знакопочережному ряді
(1.3) члени такі, що |
|
uk ³ uk +1 ³ uk +2 ³ ..., де k N , але не обов’язково k =1 |
(1.4) |
lim un = 0 , |
(1.5) |
n→∞ |
|
то ряд (1.3) збігається.
Ряди вигляду (1.3), що задовольняють умовам (1.4) і (1.5), називаються рядами Лейбніца.
Теорема 2. Якщо збігається ряд (1.2), то збігається і знакозмінний ряд.
Враховуючи ці дві теореми, можна запропонувати наступну схему дослідження на збіжність знакопочережного ряду (1.3): потрібно скласти ряд (1.2) з модулів членів даного ряду і дослідити знакододатний ряд (1.2) на збіжність по одній з достатніх ознак для знакододатних рядів викладених вище.
При цьому може виникнути одна із наступних ситуацій:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
8
1)Якщо ряд (1.2) збігається, то по теоремі 1 ряд (1.3) збігається абсолютно.
2)Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця не виконується, то ряд (1.3) розбіжний.
3)Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця виконується,
то ряд (1.3) збігається умовно.
Зауваження. Зверніть увагу на те, що з розбіжності ряду (1.2) не випливає розбіжність ряду (1.3): ряд (1.3) при цьому може бути або збіжним умовно (див. п. 3 схеми дослідження), або розбіжним (див. п 2 тієї ж схеми).
Степеневі ряди. |
|
|
Функціональним рядом називається ряд вигляду |
|
|
∞ |
(x)+ u1(x)+ ... + un (x)+ .... , |
|
åun (x)= u0 |
(1.6) |
|
n=0 |
u n (x) визначені на деякій |
множині D |
де члени ряду – функції |
||
дійсної вісі. Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (1.6) є збіжним в точці xo , то ця точка є точкою збіжності
функціонального ряду (1.6). Множина точок з області D , в якій ряд (1.6) збігається, називається областю збіжності ряду (1.6).
Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду
∞ |
2 +... + an xn + ..., |
|
åan xn = a0 + a1x + a2x |
(1.7) |
n=0
де a0, a1, a2...- дійсні числа (коефіцієнти ряду). Областю збіжності степеневого ряду (1.7) завжди є інтервал довжиною 2 R з центром в
початку координат. В кожній внутрішній точці цього інтервалу ряд (1.7) збігається абсолютно, а в точках, що лежать за ним, ряд розбігається. На кінцях інтервалу ряд (1.7) може бути як збіжним, так і розбіжним.
Число R називається |
радіусом збіжності степеневого |
ряду. |
|||||||
Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулами |
|
||||||||
R = lim |
|
an |
|
або R = |
1 |
|
|
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
an+1 |
|
lim n |
|
|
||||
n→∞ |
|
|
|
an |
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
9
при умові, що границі існують.
Питання про збіжність чи розбіжність даного ряду на кінцях інтервалу збіжності (тобто при x = − R та при x = R ) для кожного
конкретного ряду розглядається окремо.
Степеневим рядом називається також функціональний ряд вигляду
∞
åan (x − x0 )n = a0 + a1(x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 + ...+ an (x − xn )n + ...
n=0
(1.9)
При xo = 0 одержимо ряд (1.7), який є частинним випадком ряду (1.9). Інтервалом збіжності ряду (1.9) є інтервал ( x0 − R; x0 + R) з центром в точці x0 . Радіус збіжності R ряду (1.9) знаходять за тими ж
формулами (1.8), що і для ряду (1.7).
Степеневий ряд можна почленно диференціювати або інтегрувати всередині його інтервалу збіжності
Розкладання функцій в ряд Тейлора
Якщо функція f (x) визначена в деякому околі точки x0 і в самій точці x0 має похідні всіх порядків, то вона може бути представлена
формулою Тейлора:
f (x)= f (x0 )+ f ¢(x0 )(x - x0 )+ |
f |
¢¢(x |
) |
(x - x0 )2 +... + |
f (n)(x |
0 |
) |
(x - x0 )n + Rn , |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2! |
|
n ! |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де R |
n |
= |
f (n+1)(ξ ) |
(x - x |
0 |
)n+1 – |
|
залишковий член формули Тейлора, |
|||||||||||||
(n +1)! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
f n (x |
) |
(x - x0 )n |
|
|
|
|
|
деξ = xo |
+θ (x − xo ), |
0 < θ < 1. |
Ряд |
å |
0 |
|
називають рядом |
||||||||||||||
n! |
|
||||||||||||||||||||
Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для того щоб ряд Тейлора збігався до функції |
f (x) в інтервалі |
||||||||||
( x0 − R; x0 + R) |
необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція |
||||||||||
мала похідні |
всіх |
порядків і |
залишковий член |
формули |
Тейлора |
||||||
Rn → 0 при n → ∞ для всіх x з цього інтервалу: |
|
|
f n (x ) |
|
|||||||
f (x)= f (x )+ |
f (x )(x − x )+ ... + |
|
f (n)(x |
|
) |
(x − x )n + ... = |
∞ |
|
(x - x )n . |
||
|
|
0 |
|
å |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
|
n! |
|
|
0 |
n=0 n! |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
Якщо x0 = 0 , то ряд Тейлора називають рядом Маклорена і тоді
f (x) = |
|
(0)x + |
f (0) |
2 |
f (n)(0) n |
∞ f (n)(0) n |
||||
¢ |
|
|
x +...+ = |
|
x |
+... = å |
|
x . |
||
|
|
|
|
|||||||
f (0)+ f |
2! |
|
n! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|||
Справедливі такі розклади елементарних функцій в ряд Маклорена:
1. ex =1+ x + x2 + x3 + ...+ xn + ... (− ∞ < x < ∞) 2! 3! n!
2. |
sin x = x - |
x3 |
|
|
|
|
|
x5 |
|
+...+ (-1)n |
|
x2n+1 |
|
(− ∞ < x < ∞) |
||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... |
|
||||||||||||||||||
3! |
5! |
(2n +1)! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
cos x =1- |
|
x2 |
|
+ |
|
|
x4 |
|
+ ...+ (-1)n |
|
x2n |
+ ... |
|
(− ∞ < x < ∞) |
|||||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
|
(2n)! |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|||||||||
4. |
ln(1+ x) = x - |
|
|
|
+ |
|
|
|
-...+ (-1)n−1 |
|
|
|
+... |
|
(−1< x <1) |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||
5. |
arctgx = x - |
|
x3 |
|
|
|
|
|
x5 |
(-1)n |
x2n+1 |
|
(−1≤ x ≤1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
-...+ |
|
+... |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
5 |
2n +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
(1+ x)α = 1+ |
α |
x + |
α(α -1) |
x2 |
+...+ |
α(α -1)...(α - (n -1)) |
xn +... |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
α R, (−1 < x < 1) |
|
7. |
|
|
1 |
= 1+ x + x2 + ...+ xn + ... |
(−1< x <1) |
|
1 |
- x |
|||||
|
|
|
||||
Степеневі ряди застосовують для наближеного обчислення визначених інтегралів і наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.
Ряди Фур′є
1. Розклад в ряд Фур′є 2π - періодичної функції.
Рядом Фур′є функції f (x), яка є періодичною з періодом 2π, називається тригонометричний ряд
a20 + å∞ (an cos nx + bn sin nx),
n=1
де a0 , an , bn називаються коефіцієнтами Фур′є і визначаються за формулами:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com