Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1227

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Запорізький національний технічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання контрольних робіт з вищої математики

для студентів РПФ заочної форми навчання

(ІІ семестр – контрольна робота №4)

2003

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з вищої математики для студентів РПФ заочної форми навчання (ІІ семестр – контрольна робота №4) / Укл.:Е.І. Карасенко., І.М. Килимник, Л.Г. Скуйбєда, Т.Г. Полякова, Л.І. Паталаха, Г.А.Шишканова –Запоріжжя:

ЗНТУ, 2003.-55 с.

Містить індивідуальні завдання, теоретичні відомості та приклади виконання завдань контрольної роботи з курсу “Вища математика” за темою “Диференціальні рівняння та теорія рядів” для студентів РПФ заочної форми навчання.

Укладачі	Карасенко Е.І., ст..викладач
	Килимник І.М., к.т.н. доцент
	Скуйбєда Л.Г., ст. викладач
	Полякова Т.Г., асистент
	Паталаха Л.І., асистент
	Попригіна Т.Ф., асистент
	Шишканова Г.А., асистент
Рецензент:	Мастиновський Ю.В., к.т.н., доцент
	Мастиновський Ю.В., к.т.н., доцент
Експерт	Кабак В.С., к.т.н., доцент .
Відповідальний
за випуск	Мастиновський Ю.В., к.т.н., доцент
	З а т в е р д ж е н о
	На засіданні кафедри
	прикладної
	математики
	протокол N 3 від 28.12.02

ЗМIСТ

Контрольна робота №4 1 Стислі теоретичні відомості та приклади завдань....…….............…..4

1.1 Диференціальні рівняння..............…………....…………..................4

1.1.1 Диференціальні рівняння першого порядку...............................

1.1.2Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають

зниження порядку......................................................................................

1.1.3Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) із сталими

коефіцієнтами...........................................................................................

1.1.4Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) із

сталими коефіцієнтами............................................................................	12
1.1.5 Системи двох диференціальних рівнянь першого порядку.......	15
1.2 Теорія рядів.........................................................................................	17
1.2.1 Знакододатні ряди. Ознаки збіжності............................................	17

1.2.2Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца для

знакопочережних рядів............................................................................

1.2.3Абсолютна і умовна збіжність знакопочережних рядів.

Властивості абсолютно збіжних рядів...................................................

1.2.4 Функціональний ряд і його область збіжності. Степеневий ряд.

Інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду.......................

1.2.5 Розвинення функцій в ряд. Наближені обчислення за допомогою

рядів...........................................................................................................	28
1.2.6 Розвинення функцій в ряд Фур'є...................................................	31

2 Індивідуальні завдання………….........................................................34

2.1	Розв’язати диференціальні рівняння першого порядку.................	34
2.2	Розв’язати диференціальні рівняння вищих порядків...................	39
2.3	Розв’язати систему диференціальних рівнянь................................	44
2.4	За допомогою ознак збіжності рядів дослідити збіжність рядів...	46
2.5	Дослідити збіжність заданих рядів .................................................	51

2.6 Знайти інтервал збіжності та дослідити поведінку степеневого ряду

на кінцях інтервалу збіжності................................................................

2.7 Розвинути функції у ряд по степенях x, використовуючи готові

розвинення у ряд основних елементарних функцій.............................	52
2.8 Розвинути в ряд Фур'є дані функції у вказаних інтервалах...........	53
Література.................................................................................................	55
.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 4

1.Стислі теоретичні відомості та приклади завдань

1.1.Диференціальні рівняння

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної (чи диференціала) від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння n-го порядку F(x,y,y′,y′′,…,y n ) = 0 називається таке рівняння, в яке входить x, y і довільні сталі С1 ,С2 ,…,Сn і яке дає для y вираз, що задовольняє дане

диференціальне рівняння.

Кожна функція, яку дістаємо з загального розв’язку при окремих значеннях довільних сталих, називається частинним розв’язком.

1.1.1Диференціальні рівняння першого порядку

Розглянемо диференціальні рівняння першого порядку. Існують три форми запису диференціальних рівнянь першого порядку, а саме:

F(x,y,y′) =0 - загальна

y′ = f(x,y) - розв’язане відносно y′ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 – диференціальна

а) Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння y′ = f(x,y) називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо функцію f(x,y) можна відобразити, як добуток функцій φ(x) · ψ(y).

Наприклад, (x 2 +1) (y2 −1)+xyy′ = 0

y′ = -

(x 2

+1) (y2

−1)

y′ = -

(x 2 +1)

y2 −1

У нашому випадку φ(x) = -

x 2

, а ψ(y)

−1

. Запишемо y′ =

. Відокремимо змінні:

= −

x 2 +1

y2 −1

;

ydy

= −

x 2 +1

dx.

y2 −1

Проінтегруємо це рівняння: ∫

ydy

= −∫

x 2 +1

dx + lnC

y2 −1

1 ln y2 −1 = − x 2

−ln x + lnC ln x

y2 −1 = − x 2 + lnC

y2 −1 =

-x 2

y =

−x 2

2 -

загальний розв’язок заданого диференціального

рівняння.

б) Однорідні диференціальні рівняння.

Диференціальне рівняння першого порядку y′ = f(x,y) називається однорідним, якщо функція f(x,y) однорідна “0” виміру

(степеня), тобто F(xt,yt)=f(x,y), де t-const

За допомогою підстановки y = u x, де u = u(x), однорідне диференціальне рівняння зводиться до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Наприклад, (2y

−

′

+ y

= 0 .

3xy)y

′

3xy - 2y2

Запишемо це рівняння у вигляді: y

Маємо: f(x,y) =

3xy - 2y2

Перевіримо функцію на однорідність. Знайдемо:

f (xt, xy) =

(3xt yt - yt)2

t2 (3xy - 2y2 )

= 3xy - 2y2

= f (x, y)

(yt)2

t2 y2

Маємо однорідне диференціальне рівняння. Зробимо заміну

′	′
y = ux, y	= u x + u

Тоді задане рівняння матиме вигляд:

				6
′		3x ux - 2u2x2		′			3u - 2u2
u x + u =			u2x2	u x + u =			u2
′	3 - 2u			′		3 - 2u - u 2
u x =			− u	u x	=
	u						u

Отримали диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

udu

∫

udu

= − ∫

= −

x + lnC

u2 + 2u - 3

∫

2u + 2 - 2

du = -ln

+ ln C

u2 + 2u - 3

∫

2u + 2

du -

∫

2du

= −ln

+ ln C

u2 + 2u - 3

(u+1)2 − 4

1 ln

u2 + 2u - 3

−

u +1- 2

= −ln

+ ln C

u +1 + 2

u2 + 2u - 3

u -1

2ln

−ln

= −4ln

+ 4lnC

u +3

(u 2 + 2u - 3)2

+3)

= ln

x 4

u -1

2 + 2u - 3)2 (u +3)

u =

u -1

−

−1

(y2 + 2xy - 3x2 )2 y +3x

4 y - x

(y2 + 2xy - 3x2 )2 (y +3x) = C(y - x) -

загальний розв’язок

диференціального рівняння.

в) Лінійні диференціальні рівняння.

Це диференціальні рівняння виду: y′+ p(x)y = q(x)

де p(x) і q(x) – задані неперервні в деякому проміжку функції аргументу х. Рівняння лінійне відносно шуканої функції у і її похідної у΄.

Запишемо у вигляді добутку двох функцій u(x) та v(x):

у = u v

Тоді	′	′	′
	y	= u v + uv

Підставимо у та y′у задане рівняння і знайдемо розв’язок відносно функцій u(x) та v(x).

Наприклад, y′+ y cosx = 12 sin2x y = u v , y′ = u′v + uv′

u′v + uv′+ uv cosx = 12 sin2x

u′v + u(v′+ v cosx) = 12 sin2x

Знайдемо розв’язок цього рівняння. Підберемо функцію v так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю. Матимемо:

v′+ v cosx = 0

u′v = 1 sin2x


З першого рівняння отримаємо
	dv		= −cosxdx		∫	dv	= − ∫cos xdx
			= −cosxdx		∫	v	= − ∫cos xdx
	v					v
ln		v		= −sinx	v = e-sinx
ln		v		= −sinx	v = e-sinx

Знайдене значення функції v підставимо у друге рівняння системи:

u′ e	-sinx	=	1		u′ =	1	sinx
			2 sin2x			2 sin2xe

u′ = 12 sin2x esinx dx = 12 ∫ 2sinx cosx esinx dx + C =

= sin x,

dV = e

sinx

∫

d(sinx)

=Тоді

sinx esinx d(sinx) + C =

sinx

V = e

dU = dsinx,

= sin xesin x − ∫esinx dsinx + C = sinx esinx - esinx

+ C

y = uv = e-sinx [sin xesinx - esinx

+ C] -

загальний

розв’язок

заданого

диференціального рівняння.

Запишемо формулу знаходження функцій u(x) та v(x)

v(x) = e-∫p(x )dx ;

u(x) = ∫q(x)e∫p(x)dxdx + C

Тоді

y = e

−∫p(x)dx

∫p(x)dx

∫q(x)e

+ C

г) Диференціальні рівняння Бернулі.

′

′′

+ p(x)y = q(x)y

де n ≠ 0 - дійсне число.

Це рівняння зводиться до лінійного підстановкою z = y-n +1

′

(- n +1)y

-n

′

y . Поділимо рівняння на y

-n

′

+ p(x)y

-n +1

= q(x) ,

z′

+ p(x)z = q(x) - лінійне диференціальне рівняння (див. в))

- n +1

Наприклад,

′

+ 2y = y

÷ y

-3

′

-2

y +

Зробимо заміну:

-2

′

-3

′

z = y

z = -2y

Тоді рівняння матиме вигляд:

−

z′

+ 2z =1,

або

′

= -2

z - 4z

Позначимо p(x)=-4; q(x)=-2, та знайдемо функції u(v) та v(x), а

потім z=u(x)v(x)

v(x) = e−∫(−4)dx

= e4x

u(x) = ∫(-2)e

-∫4dx

dx + C =

-2∫e

-4x

dx + C

−

-4x

+ C

-4x

-2

-4x

+ Ce

y =

z = u(x) v(x) =

+ C e

x = 1

- загальний розв’язок диференціального рівняння.

+ Ce4x

y(x0 ) = y0

д)

Якщо

задана

початкова

умова

+ C

для

диференціального рівняння першого порядку, то треба знайти частинний розв’язок, або розв’язати задачу Коші.

Наприклад, (x2 - yx)y′+ y2 + yx = 0 , якщо y(1)=1. Треба знайти загальний розв’язок. Він має вигляд

xy = ln(yx) + C

використовуючи початкові умови, знайдемо С:

1/1 = ln(1 1) +C C = 1.

Тоді частинний розв’язок буде мати вигляд: xy = ln(yx) +1

y= xln(yx) +1

1.1.2Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають

зниження порядку

′ ′′	′′	′
F(x, y, y , y ) = 0 або	y	= f(x, y,y ).

Розглянемо деякі з них.

а) Диференціальні рівняння виду F(x, y′, y′′) = 0 , функція у –

відсутня .

Знижуємо його порядок, роблячи заміну

′	= z(x),	′′	′
y	= z(x),	y	= z (x)

′
F(x,z,z ) = 0 - диференціальне рівняння першого порядку.
Наприклад:	′′		′
Наприклад:	y tgx = y +1				′
Зробимо заміну:	′	= z(x),		′′	′
Зробимо заміну:	y	= z(x),		y	= z (x)
′				рівняння		першого	порядку,	лінійне.
z tgx = z +1- диференціальне				рівняння		першого	порядку,	лінійне.
Його розв’язком є вираз z = C1sinx -1
		′
Підставимо z = y . Матимемо:
y′ = C1sinx -1
y = ∫(C1sinx -1)dx + C2			= −C1cosx - x + C2
y = -C1cosx - x + C2			є	загальним		розв’язком		заданого
диференціального рівняння другого порядку.
б) Диференціальне рівняння					виду	′	′′
б) Диференціальне рівняння					виду	F(y,y , y ) = 0 , змінна х –
відсутня.
Знижуємо порядок його, роблячи заміну
′		′′	′	′	′
y = p(y),		y	= p (y)y = p (y) p(y)

F(y,p,pp′) = 0 - диференціальне рівняння першого порядку.

Наприклад:	′′			′2	= 0
Наприклад:	yy	+ y			= 0
			′	= p(y),		′′	′	′
Зробимо заміну y				= p(y),		y	= p (y) p(y) = p p
′	+ p	2	= 0				′	+ p) = 0
y pp	+ p		= 0				p(yp	+ p) = 0
1) p + 0,					′		y = C ;
1) p + 0,				y = 0			y = C ;

2) yp′+ p = 0 - диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його розв’язком є вираз p = Cy1 .

Підставимо p = y′. Матимемо y′ = Cy1 ydy = C1dx

∫ ydy = C1 ∫dx + C2

y2 = C1x + C2 2

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.201993.7 Кб5Макросы в Word.doc
#
25.09.20192.19 Mб8Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016171.52 Кб6Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125.44 Кб4Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588.27 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб6математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016594.89 Кб716математика 3701.pdf