математика 1874

∫

dy

= x + C2 .

ϕ (y,C

)

1

Приклад 13. Знайти частинний розв′язок ДР-2

y3 y′′ = y 4 − 16, y(0) = 2 2, y′(0) = 2

ДР-2

шляхом

заміни

y′ = p; y′′ = pp′ .

Маємо ДР-1

y3 p p′ = y 4 − 16

з відокремлюваними змінними. Розв′яжемо його:

y

4

− 16

16

pdp =

dy

∫ pdp = ∫ y

−

dy + C1

y

3

y

3

p2

=

y2

+

8

+ C | 2 p2 = y2

+

16

+ 2C ;

2

2

y2

1

y 2

1

p =

y2 + 16 + 2C

або y′ =

y

2 + 16 + 2C

y 2

1

y2

1

Знайдемо значення сталої С1,

застосовуючи початкові умови:

2 =

8 + 16 + 2C ;

2 = 2

5 + C C = −4

8

1

1

1

Маємо

ДР-1

y′ =

y2 + 16 −

8 = y 2 − 4

з

відокремлюваними

y2

y

22

ydy

= dx;

∫

ydy

=

∫

dx + C

y2 −

4

y2 − 4

2

ДР-2 шляхом заміни y′ = p; y′′ = p p′.

Маємо ДР-1 :

(y − 1)p p′ = p2

з відокремлюваними змінними.

Розв′яжемо його.

p = 0,

p((y − 1)p′ − p) = 0

(1)

(2)

З (1) маємо y′ = 0;

( y − 1) p′ − p = 0

y = C - загальний розв′язок ДР-2

dp

=

dy

dp

=

dy

+ lnC

p

y − 1

∫ p

∫ y −

1

1

ln

p

= ln

y − 1

+ ln C1 ;

p = C1 (y − 1).

y′ = C1(y −1) це

ДР-1 з відокремлюваними змінними. Знайдемо

його розв'язок

dy

= C dx;

dy

= C

dx + lnC

2

y − 1

1

∫ y − 1

1

∫

ln

y − 1

= C x + ln C

2

.

y − 1 = C

eC1x

;

1

2

24

4 Диференціальне рівняння F(y′, y′′) = 0 , яке не містить шукану

функцію у та змінну х.

y′′ = (y′)′ , можна знизити порядок ДР шляхом

Враховуючи, що

заміни y′ = z,

y′′ = z′ . Матимемо ДР-1 F(z; z′) = 0 . Розв’яжемо

його відносно z:

z = f (x)+ C1 або y′ = f (x)+ C1 . Проінтегруємо це

рівняння:

y = ∫( f (x)+ C1 )dx + C2

- загальний розв′язок ДР-2.

Приклад 16. Знайти загальний розв′язок ДР-2.

y′ + 2 = y′′

Розв′язання.

Враховуючи, що y′′ = (y′)′

=

d

(y′), зробимо заміну y′ = z , y′′ = z′

матимемо:

dx

z + 2 = z′

dz

= dx . Проінтегруємо це рівняння:

z + 2

dz

=

dx + lnC ln

z + 2

= x + lnC

∫ z +

2

∫

1

1

z + 2 = C ex ;

z = C ex − 2

або y′ = C e x − 2

1

1

1

Маємо ДР-1 з відокремлюваними змінними.

y = ∫(C1e x − 2)dx + C2 = C1e x − 2x + C2

y = C ex − 2x + C

2

- загальний розв′язок заданого ДР-2.

1

5 Для ДР-2

F(x, y, y′, y′′) = 0

необхідно підібрати відповідну

Маємо алгебраїчне рівняння другого степеня:

k

2 + a k + a

2

= 0 .

1

Розв′яжемо

його.

Дискримінант

D = a2

− 4a

2

. За формулою

1

k1,2 =

− a1 ±

D

знаходимо корені цього рівняння.

Можемо мати

2

три випадки:

а)

D > 0 k1 , k2

- дійсні,

різні.

Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд:

y = C ek1x

+ C

2

ek2x ;

1

б)

D = 0 k1 = k2 = k - дійсні, рівні.

Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд:

y = (C + C

2

x)ekx ;

1

в)

D < 0 k1,2 = α ± β i

-

комплексні,

де

− 1 = i - уявна

одиниця, α = a1 ;

β =

D

.

2

2

Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд:

y = eαx (C cos βx + C

2

sin βx)

1

Приклад 17. Знайти загальний розв′язок ЛОДР-2.

y′′ + 4y′ − 5y = 0

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння k 2 + 4k − 5 = 0 ,

знайдемо його

корені:

x

− 10b1 = 1

b1 = −0,1

xo

− 3b + 2b = 4

b = −1,4

0

1

0

Частинний розв′язок ЛНДР-2

= e−2x (− 1,4x2 − 0,1x).

y

Загальний розв′язок ЛНДР-2

e3x + e−2x (− 1,4x2 − 0,1x)

y = C e−2x

+ C

2

1

Приклад 21. Знайти частинний розв′язок ЛНДР-2.

y′′ − 3y′ + 2y = 36e− x , y(0) = 8, y′(0) = 2

Розв′язання.

y = yодн +

Загальний розв’язок має вигляд

y

Знаходимо загальний розв′язок

ЛОДР-2:

y′′ − 3y′ + 2y = 0 .

Характеристичне

рівняння

для

нього

k 2 − 3k + 2 = 0

k1 = 1;

k2 = 2 . Тоді загальний розв′язок ЛОДР-2 має вигляд

y

одн

= C ex

+ C

2

e2x .

1

f (x) = 36e− x ,

В

правій

частині

ЛНДР-2

функція

де

α = −1,

n = 0, s = 0 (α ≠ k1;

α ≠ k2 ). Частинний розв′язок ЛНДР-2

шукатимемо у вигляді

= Ae− x . Знайдемо значення коефіцієнта А.

y

Для цього

,

′ ,

″ , а саме :

′ = − Ae− x ,

″ = Ae− x , підставимо в

y

y

y

y

y

задане ЛНДР –2. Отримаємо рівняння

Ae− x + 3Ae− x + 2Ae− x = 36e− x | ÷e− x

6A = 36 A = 6 . Тоді

= 6e− x .

y

Загальний розв′язок ЛНДР-2 має вигляд

y = C ex

+ C

2

e2x + 6e− x

1