математика 1874

33

3 Якщо права частина ЛНДР-2 є сумою скінченої кількості

функцій,

наприклад,

f (x) = f1

(x)

+ f2 (x)

, то частинний

розв′язок

ЛНДР-2 шукаємо у

вигляді:

=

+

де

i є

частинними

y

y1

y2

,

y

розв′язками ЛНДР-2

з функціями

fi

(x) у правій частині рівняннь

(і=1,2).

Зауваження. Функції fi (x) мають вигляд функцій з 1 або з 2.

Приклад 24. Знайти загальний розв′язок ЛНДР-2

y′′ + 4y′ = 12x2 − 2x + 75 sin3x

Розв′язання.

f (x) = f1(x)+ f2 (x)

В

правій

частині

рівняння

де

f1(x) = 12x2 − 2x

і

f2 (x) = 75 sin3x .

Загальний розв′язок ЛНДР-2

y = yодн +

, де

=

1 +

2 .

y

y

y

y

Знайдемо

загальний

розв′язок

відповідного ЛОДР-2:

y′′ + 4y′ = 0 .

Характеристичне

рівняння

для

нього

k 2 + 4k = 0

k

= 0,

1

k

2

= −4 . Тоді y

одн

= C + C

2

e−4x .

1

Знайдемо частинні розв′язки

1 і

2 .

y

y

Для

f

1

(x) = 12x

2 − 2x маємо

α = 0, n = 2, s = 1, так як

α = k .

1

Тоді

1 = (Ax2 + Bx + C)x = Ax3 + Bx2 + Cx .

Знайдемо коефіцієнти

y

А, В, С. Для цього

1,

1′ ,

1″ ,

а саме

1′ = 3Ax2 + 2Bx + C,

y

y

y

y

1″ = 6Ax + 2B

підставимо у

ЛНДР-2

з

правою

частиною

y

,

f1(x) = 12x2 − 2x . Матимемо

6Ax + 2B + 4(3Ax2 + 2Bx + C)= 12x2 − 2x

6Ax + 2B + 12Ax2 + 8Bx + 4C = 12x2 − 2x

x2

12A = 12

A = 1

x

6A + 8B = −2

= −1

B

x

0

2B + 4C = 0

= 0,5

C

= Acos 3x + B sin3x . Знайдемо коефіцієнти А і В для цього

2 ,

y

2

y

′

,

2

″ , а саме

′

2 = −3A sin 3x + 3B cos 3x,

y

2

y

y

″

= −9Acos 3x − 9B sin 3x підставимо у ЛНДР-2 з правою

y

2

y = C (x)e5x + C (x) x e5x

1

2

Для

знаходження

невідомих функцій C1(x)i C2 (x) складемо

систему двох рівнянь відносно похідних цих функцій.

C ′

(x) e5x + C

′

(x) x e5x

= 0

1

2

′ (x) (e5x

+ x 5 e5x )=

C ′

(x) 5 e5x + C

e5x

1

2

x2 − 4

Скоротимо обидва рівняння на e5x .

C ′ (x)+ C

′

(x) x

= 0

1

2

′ (x) (1+ 5x) =

5C ′ (x)+ C

1

1

2

x2 − 4

Розв′яжемо систему відносно C ′

(x) i

C

′ (x):

1

2

C

′ (x)

= −

x

,

C

′ (x) =

1

1

x2 − 4

2

x2 − 4

Проінтегруємо отримані рівняння і знайдемо C ′ (x) i

C

′ (x):

1

2

C (x)= −

xdx

= − 1

2xdx

= −

x2 − 4 +C1

1

∫ x2 − 4

2 ∫ x2 − 4

C2 (x)=

∫

dx

= ln x + x2 − 4 + C 2

x2 − 4

x′

= x − 5y

, де x = x(t); y = y(t)

y′ = − x − 3y

Розв′язання.

а) продиференціюємо перше рівняння по змінній t:

x′′ = x′ − 5y′

б) значення y′

з другого рівняння системи підставляємо в

отримане рівняння:

x′′ = x′ − 5(− x − 3y)

останнє отримане рівняння:

y =

1

(x − x′)

( )

5

x′′ = x′ + 5x + 15

1

(x − x′)

5

x′′ = x′ + 5x + 3x − 3x′

x′′ + 2x′ − 8x = 0

Маємо ЛОДР-2 відносно

функції x(t).

Складемо

характеристичне

рівняння

k 2 + 2k − 8 = 0 k = −4, k

2

= 2

1

Загальний розв′язок ЛОДР-2 має вигляд

x = C e−4t

+ C

2

e2t

1

Знайдемо у по формулі ( )

x′ = −4C e−4t

+ 2C

2

e2t

(C e

1

e2t )=

(5C e

e2t )=

y =

1

−4t + C

e2t + 4C e−4t − 2C

1

−4t − C

2

2

2

5

1

1

5

1

38

= C1e

−4t

+ C2e

2t

x

Відповідь:

−4t

2t

= C1e

− 0,2C2e

y

Приклад 27. Розв′язати систему диференціальних рівнянь

x′

= −3x − 4y + 2t

y′ = x + y + t

Розв′язання.

Виконуємо дії як у попередньому прикладі:

а) x′′ = −3x′ − 4y′ + 2 ;

б) x′′ = −3x′ − 4(x + y + t)+ 2 ,

x′′ = −3x′ − 4x − 4y − 4t + 2 ;

в) y =

1

(2t − 3x − x′),

( )

4

x′′ = −3x′ − 4x − 4

1

(2t − 3x − x′)− 4t + 2 ,

4

x′′ = −3x′ − 4x − 2t + 3x + x′ − 4t + 2 ,

x′′ + 2x′ + x = −6t + 2

Отримали ЛНДР-2. Загальний розв′язок його x = xодн

+

. Знаходимо

x

розв′язок відповідного ЛОДР-2:

x′′ + 2x′ + x = 0 . Характеристичне

рівняння

для

нього

k 2 + 2k + 1 = 0, k

= −1.

Тоді

(C

t)e−t .

1,2

x

одн

=

+ C

2

Функція в правій частині

f (t) = −6t + 2 . Тому

1

частинний

розв’язок

шукаємо

у вигляді

= At + B .

Знайдемо

x

x

значення

коефіцієнтів

А

і В.

Для цього

,

′ ,

″ ,

а

саме

x

x

x

′ = A;

″ = 0 , підставляємо в отримане ЛНДР-2:

x

x

2A + At + B = −6t + 2 .

t

A = −6

t 0

2A + B = 2, B = 14

Тоді

= −6t + 14 .

Загальний

розв′язок

ЛНДР-2 має

вигляд

x

x = (C

+ C

2

t)e−t − 6t + 14 .

Знайдемо у по формулі ( )

1

x′ = C

e−t − (C + C

t)e−t − 6

2

1

2

y =

1

( 2t − 3 (C + C

t)e−t + 18t − 42 − C

e

−t + (C + C

t)e−t + 6 ) =

4

1

2

2

1

2