математика 1874

2

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з вищої математики для студентів заочної форми навчання транспортного факультету (3-й семестр)./ Укл.: Килимник І.М., Паталаха Л.І., Полякова Т.Г., – Запоріжжя: ЗНТУ, 2006.-90 с.

Укладачі: Килимник І.М., к.т.н., доцент Паталаха Л.І., асистент Полякова Т.Г, асистент

Рецензент: Засовенко В.Г., доцент, к.ф.-м.н.

Відповідальний за випуск: Килимник І.М., к.т.н., доц.

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ Протокол № 2 від 27.09.06 р.

4

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕННЯ ТА ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1.Студент повинен виконувати контрольну роботу в окремому зошиті.

2.На обкладинці зошита треба записати назву контрольної роботи, дисципліну, з якої виконується контрольна робота, номер

академічної групи, прізвище, ім′я та по батькові повністю. В правому верхньому куті вказати шифр – номер залікової книжки, а в правому нижньому – домашню адресу.

3.В контрольній роботі повинні бути розв′язані всі завдання вказані викладачем. Розв′язання задач необхідно записувати в порядку номерів завдань, зберігаючи їх послідовність. Умова задачі переписується повністю.

4.Номер задачі в завданні вибирають таким чином: передостанню цифру шифру помножити на номер завдання і додати останню цифру шифру. Номером задачі є число одиниць в отриманому числі.

Наприклад. Дві останні цифри шифру 65. Розв′язуємо 11 завдання. Необхідно 6 11+5=71. Номер задачі в 11 завданні буде 1.

Якщо число одиниць дорівнює нулю, то студент розв′язує 10 задачу завдання.

5. Контрольна робота подається викладачеві на перевірку і захищається студентом на консультаціях. Контрольні роботи виконані не за своїм варіантом не зараховуються.

5

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 5

Диференціальні рівняння

Вказівки до виконання індивідуальних завдань

Загальні поняття

Рівняння, яке, крім незалежних змінних і невідомих функцій цих змінних, має в своєму складі і похідні невідомих функцій або їх диференціали, називається диференціальним рівнянням.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідомі функції, які входять в нього, залежать від однієї незалежної змінної.

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної або диференціала невідомої функції, що входять у диференціальне рівняння.

У загальному вигляді диференціальне рівняння n –го порядку це

F (x, y, y′, y′′,..., y(n))= 0

Функція y = f (x), що задовольняє диференціальне рівняння при будь-якому значенні аргументу в деякій області, називається розв′язком або інтегралом диференціального рівняння.

Загальним розв′язком диференціального рівняння n –го порядку називається таке рівняння, в яке входить x, y і довільні сталі С1,

С2,…,Сп і яке дає для y вираз, що задовольняє задане диференціальне рівняння.

Кожна функція, яку дістаємо з загального розв′язку при окремих значеннях довільних сталих, називається частинним розв′язком диференціального рівняння.

Задача розв′язування диференціального рівняння з початковою умовою називається задачею Коші. Кількість початкових умов відповідає порядку диференціального рівняння. Для диференціального рівняння (ДР) n –го порядку маємо n початкових умов:

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y10 , y′′(x0 ) = y20 ,..., y(n−1)(x0 ) = yn−1,0,

де x0 , y10 , y20 ,..., yn−1,0 - задані числа.

6

Загальний розв′язок – це множина інтегральних ліній. Частинний розв′язок – це одна інтегральна лінія, яка проходить через точку

(x0, y0 ).

Диференціальні рівняння першого порядку (ДР-1)

ДР-1 може бути розв′язане відносно похідної: y′ = f (x, y), де

f (x, y) - задана і неперервна функція двох змінних х і у в деякій області на площині.

ДР-1 не розв′язане відносно похідної:

F(x, y, y′)= 0

де F(x, y, y′)- задана функція трьох зміннихx, y, y′ , які змінюються в деякій області тривимірного простору.

f (x, y)= ϕ (x) Ψ (y)

8

y2 = ln1+ ex − ln 2

Відокремимо змінні

Маємо систему двох ДР-1 з відокремлюваними змінними.

Заміна: y = uv; y′ = u′v + uv′