Г л а в а п я т а я аналитическое решение задач о механических переходных процессах в двигателях с линейной механической характеристикой

5.1 Дифференциальное уравнение переходного процесса

Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при L_Я≈0 и допущениях, указанных в разделе 4.1, дифференциальные уравнения, описывающие механические переходные процессы, получаются из уравнений (5.1) и (5.3), если принять в них L_Я=0. Тогда

, (5.1)

. (5.2)

Эти же уравнения можно получить из исходной системы уравнений:

, (5.3)

, (5.4)

если решать их совместно, поочередно исключая из решения i или .

Общая форма записи механических переходных процессов для двигателя с независимым возбуждением аналогично электромеханическим переходным процессам запишется так:

. (5.5)

Для асинхронного двигателя с линеаризованной механической характеристикой S=f(М) для механического переходного процесса S(t) или М(t) можно получить дифференциальное уравнение аналогично уравнению (5.5).

Для линеаризации упрощенного уравнения Клосса

полагаем для части рабочего участка (приМ=(0,7-0,8)М_К) . Тогда это уравнение принимает вид:. Здесь коэффициент2М_К/S_К – постоянная величина, и М=f(S) – линейная функция. Чтобы перейти к дифференциальному уравнению механического переходного процесса, составим пропорции для линейной части механической характеристики асинхронного двигателя S=f(М), показанной на рисунке 5.1:

, (5.6)

. (5.7)

Здесь S_(Н) – скольжение при номинальной нагрузке (в общем случае может рассматриваться искусственная характеристика при включении в ротор добавочного сопротивления).

Механический переходный процесс, как указывалось ранее, это процесс, который рассчитывается с учетом действия только механической инерции, то есть описываемый уравнением движения электропривода

.

Подставляя сюда значения М и М_С по (5.6) и (5.7) и учитывая уравнение связи между S и , то есть , получим после преобразований

. (5.9)

Обозначим в (5.9)

. (5.10)

Это выражение обозначает электромеханическую постоянную времени (для асинхронного двигателя оно более удобно). Известное нам ранее обозначение , используемое для двигателей постоянного тока, можно следующими преобразованиями привести к виду (5.10):

Итак, дифференциальное уравнение механического переходного процесса на основании (5.9) можно представить как

, (5.11)

что аналогично ранее приведенному уравнению (5.5) для двигателя постоянного тока при Ф=Ф_Н=const.

В общем виде уравнение (5.11) имеет решение следующего вида:

. (5.12)

Вспомним здесь решение линейного уравнения первого порядка, чтобы в дальнейшем не возвращаться к этому.

В (5.12) Х_уст=Х_кон – частное решение уравнения, представляющее конечное (установившееся) значение фазовой координаты привода (, i, M, S);

С – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям переходного процесса.

При t=0 х(0)=Х_нач=С+Х_кон, откуда

С=Х_нач-Х_кон.

Тогда . (5.13)

Учтя, что корень характеристического уравнения ,, решение дифференциального уравнения окончательно можно записать в такой форме:

. (5.14)

Эта форма записи х(t) для механического переходного процесса является универсальной. Конкретные значения Х_кон и Х_нач надо брать в соответствии с формулировкой конкретной задачи (пуск, торможение и т.д.) по статическим механическим характеристикам.

Из (5.14) следует, что механический переходный процесс во всех случаях будет апериодическим и устойчивым (корень характеристического уравнения всегда отрицателен, а коэффициенты в этом уравнении всегда больше нуля).