зеленов / УЧЕБ_ПОСОБИЕ_часть_2 / редакт / 4 ЭЛЕКТРОМЕХ_ПП-измен_A5

; ;

.

Симметрируем последнее выражение, деля на , и получаем:

.

Учтем теперь, что , , .

Тогда после преобразований получим:

. (4.3)

Дифференциальное уравнение для i(t) получается из той же исходной системы (4.2) следующим образом.

Продифференцировав уравнение электрического равновесия системы (4.2), получим

.

Подставив сюда значение из уравнения движения системы (4.2), то есть , получим

.

Симметрируя, деля на L_Я, получим:

.

С учетом приведенных выше выражений для Т_Я и Т_М:

. (4.4)

Сравнивая (4.1) и (4.4), легко заметить, что дифференциальные уравнения процессов i(t) и (t) в рассматриваемой задаче однотипны и обобщенно могут быть записаны так:

. (4.5)

Здесь Х_С в общем виде выражает установившееся значение фазовой координаты электропривода.

Предварительный анализ переходных процессов х(t) проводится по характеристическому уравнению

, (4.6)

корни которого

.

Преобразуем это выражение к более удобному для анализа виду:

или (4.7)

.

В зависимости от вида корней характеристического уравнения (4.6) различают следующие переходные процессы:

а) Т_М4Т_Я, корни вещественные отрицательные. Переходный процесс устойчив, имеет апериодический характер. Решение х(t) ищется в виде:

, (4.8)

где Х_уст – частное решение дифференциального уравнения (4.5), то есть значение переменной х в установившемся режиме при t=. В рассматриваемом случае Х_уст=_С или Х_уст=I_C;

С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, определяемые в общем решении (4.8) по начальным условиям для соответствующего переходного процесса (тока, скорости) при конкретных условиях рассматриваемой задачи (пуск, торможение, наброс или сброс нагрузки);

б) Т_М4Т_Я, корни комплексные сопряженные, с отрицательной вещественной частью. Переходный процесс устойчив и имеет затухающий колебательный характер. В этом случае

,

где ,

- собственная частота затухающих колебаний.

Переходный процесс х(t) ищется в виде

. (4.9)

Можно решение х(t) получить и в ином виде, если обозначить и . Тогда

; .

Здесь А – амплитуда колебаний;

 - угол начальной фазы колебаний.

Найдя предварительно С₁ и С₂ для конкретных начальных условий, определяют затем А и  (;), а затем находится решение х(t):

, или

. (4.10)

Квадрант углов  легко определить по соотношению знаков постоянных интегрирования С₁ и С₂, как это указано в таблице 4.1 и на рисунке 4.1.

Таблица 4.1

С1	С2	квадрант угла 
+ + - -	+ - - +	I II III IV

Для определения С₁ и С₂ при решении конкретной задачи необходимо знать для этой задачи (пуск, реверс, торможение, наброс или сброс нагрузки) значение i и  при t=0, а также значение производных и при t=0. Эти значения вводятся в решение (4.8) или (4.9), полагая t=0, и из полученной системы уравнений находятся постоянные интегрирования С₁ и С₂;

в) Т_М=4Т_Я. При этом =0, .

Это граничный случай между апериодическим и колебательным переходными процессами с нулевой собственной частотой колебаний. Так как в этом случае р₁=р₂, то из (4.8) следует, что

. (4.11)

Отметим, что для всех рассматриваемых случаев соотношений Т_Я и Т_М переходный процесс устойчив, так как всегда 0 (при любых значениях параметров двигателя). Иными словами – все переходные процессы в двигателе, питающемся от сети с U=const, всегда устойчивы.

Характер корней р_1,2 и, следовательно, характер переходного процесса зависит от соотношения постоянных времени Т_Я и Т_М. Если Т_Я зависит лишь от R_Я и L_Я, то есть от параметров двигателя, то Т_М определяется не только параметрами двигателя (СФ_Н, R_Я, L_Я), но и параметрами механизма (, где i – передаточное число редуктора). Чем больше J, тем спокойнее (апериодичнее) переходный процесс. Для реальных электроприводов очень часто встречается такое соотношение Т_М и Т_Я, которое определяет колебательный характер переходных процессов.

4.3 Переходные процессы при пуске двигателя для Ф=Ф_Н

Рассмотрим задачу переходного процесса при ступенчатом пуске двигателя путем выведения ступеней пускового сопротивления из цепи якоря. При этом остановимся на методике и особенностях определения постоянных интегрирования С₁ и С₂, а также частного ре-шения Х_уст.

Для определения Х_уст, а также для определения начальных условий хорошо и наглядно пользоваться статическими механическими характеристиками.

При решении задачи переходного процесса при ступенчатом пуске имеются некоторые отличия в решениях этой задачи для первой ступени пуска (разгон двигателя на первой пусковой характеристике) и на любой промежуточной характеристике.

а) Рассмотрим вначале процесс по второй пусковой характеристике (аналогично будет решаться задача пуска и на любой последующей характеристике), то есть пуск по статической механической характеристике между точками а и б (см. рис. 4.2).

При t=0 справедливы следующие начальные условия: =_нач; i=I_нач=I₂ (как показано на рисунке 4.2 пунктиром, ток якоря не может увеличиться мгновенно до значения I₁ из-за влияния L_Я, но в расчетах это не учитывается). Кроме того, для определения С₁ и С₂ необходимо знать значения производных и при t=0.

Из уравнения электрического равновесия цепи якоря и уравнения движения, то есть из исходных уравнений (4.2) имеем:

;

.

Найденные начальные условия используются для определения С₁ и С₂. Рассмотрим запись решения дифференциального уравнения (4.3) и (4.4), например, в форме (4.8), для момента времени t=0 и учтя значение Х_уст, то есть _уст_С, i_уст=I_С (см. точку б на пусковой характеристике рис. 4.2). В этом случае для апериодического переходного процесса можно записать:

(4.12)

(4.13)

По системам уравнений (4.12) и (4.13) определяются значения постоянных интегрирования С_1, С_2, С_1i и С_2i.

Графики переходных процессов (t) и i(t), получаемые для рассматриваемого вида корней характеристического уравнения, показаны на рисунке 4.3 и 4.4.

б) Рассмотрим теперь задачу переходного процесса пуска на первой пусковой характеристике. Этот процесс пуска протекает в два этапа.

Н а п е р в о м э т а п е после включения номинального напряжения растет ток якоря i при стоящем двигателе (=0) до тех пор, пока увеличивающийся момент двигателя не достигнет значения момента трогания. Приближенно считается, что движение начинается, когда М=М_С (то есть i=I_C), когда момент трения покоя равен моменту трения при движении. По некоторым исследованиям трогание наступает при i>>I_С (например, при i=I₁), так как момент, развиваемый двигателем, растет медленнее, чем растет i, так как фактический поток ФФ_Н из-за действия реакции якоря и вихревых токов. Однако точных методик определения тока трогания нет, и все расчеты ведутся из условия, что трогание начинается при i=I_C. На этом первом этапе пуска переходный процесс электромагнитный.

Н а в т о р о м э т а п е пуска, начинающемся после трогания, переходный процесс имеет электромеханический характер.

Итак, на первом этапе пуска, когда =0 и Е_Д=0, справедливо описание электромагнитного процесса лишь одним уравнением электрического равновесия цепи якоря:

. (4.14)

Решение этого уравнения первого порядка имеет следующий вид:

, (4.15)

где I₁=U_Н/R_Я – установившееся значение тока якоря, к которому он стремится при стоящей машине;

Т_Я=L_Я/R_Я – электромагнитная постоянная времени цепи якоря двигателя.

По закону (4.15) ток якоря меняется некоторое время t=t_З (время запаздывания при пуске) до тех пор, пока не достигнет величины тока трогания i=I_С. Время запаздывания t_З легко найти из (4.15):

,

откуда ,

. (4.16)

Реальное время запаздывания при пуске электродвигателей очень невелико. Например, для двигателя с параметрами: Р_Н=870 кВт, I_Н=1550 А, I₁=2,5I_Н=3900 А, Т_Я=0,03 с при I_С=I_Н

с.

После трогания двигателя переходный процесс описывается на втором этапе пуска приведенными ранее уравнениями. Графики переходных процессов показаны на рисунке 4.5.

Установившееся значение фазовых координат после окончания переходного процесса на втором этапе пуска: _уст_С; i_уст=I_С.

Начальные значения:

при t=0 _нач=0, i_нач=I_С,

Дальнейшие частные задачи переходных процессов решаются с использованием той же методики. Отличие заключается лишь в других значениях начальных условий, принимаемых для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂. Необходимо также учитывать некоторые изменения в исходных уравнениях, описывающих переходный процесс, а также характер момента сопротивления на валу двигателя (реактивный или активный М_С).

4.4 Переходные процессы при реверсе и торможении противовключением для Ф=Ф_Н

В исходных уравнениях учитывается изменение полярности на якоре двигателя, а уравнение движения неизменно. Таким образом, исходные уравнения для описания переходного процесса реверса с торможением противовключением следующие:

(4.17)

Начальные условия: при t=0 _нач=_С, i_нач=I_С (см. статические характеристики на рисунке 4.6). Здесь, как и для пуска, пунктиром показан реальный процесс изменения тока с учетом влияния индуктивности якоря (в расчете не учитывается). Значения и определяются из исходных уравнений (4.17) с учетом величин _нач и i_нач, а именно:

. (4.18)

Из первого уравнения системы (4.17) при t=0:

.

Так как , то

. (4.19)

Вычисление постоянных интегрирования С₁ и С₂ для переходных процессов (t) и i(t) соответственно производится с учетом характера момента нагрузки на валу электродвигателя.

а) п р и а к т и в н о м м о м е н т е с о п р о т и в л е н и я установившиеся скорость и ток якоря (точка а на рисунке 4.6) будут равны:

В этом случае для апериодического переходного процесса постоянные интегрирования определяются из уравнений:

, (4.20)

. (4.21)

б) п р и р е а к т и в н о м м о м е н т е с о п р о т и в л е н и я процесс торможения и реверса двигателя проходят по-разному в зависимости от величины сопротивления в цепи якоря, то есть в зависимости от жесткости статической электромеханической характеристики.

При характеристике 1 (см. рис. 4.6) после торможения до =0 двигатель начинает разгоняться в двигательном режиме обратного хода до скорости ₁0. В этом случае _уст₁ и i_уст=-I_С.

При торможении по характеристике 2 (сопротивление в цепи якоря большее), торможение идет до скорости _уст0 (точка б) при i=i_уст=-I_Т, после чего двигатель будет работать в режиме электромагнитного тормоза. Для определения постоянных интегрирования в этом случае в уравнениях (4.20) и (4.21) надо принять новые значения _уст и i_уст по данным точки б характеристики 2.

4.5 Переходные процессы при динамическом торможении для Ф=Ф_Н

В этом случае исходные уравнения, описывающие переходный процесс, имеют вид:

. (4.22)

Из статической электромеханической характеристики (см. рис. 4.7) видно, что _нач_С, i_нач=I_С (здесь также пунктиром показан реальный скачок тока с учетом L_Я).

и

определяются из исходных уравнений с учетом указанных значений _нач и i_нач, а именно:

. (4.23)

Из первого уравнения системы (4.22) при t=0:

, или

. (4.24)

При динамическом торможении с а к т и в н о й н а г р у з к о й н а в а л у двигателя процесс устанавливается в точке а (см. рис. 4.7). В этом случае: _уст-_С, i_уст=I_С.

Для апериодического переходного процесса постоянные интегрирования определяются из уравнений:

, (4.25)

. (4.26)

П р и р е а к т и в н о м м о м е н т е с о п р о т и в л е н и я, когда _уст0 и i_уст=0, постоянные интегрирования определяются из уравнений:

, (4.27)

. (4.28)

Для колебательного переходного процесса определение постоянных интегрирования для всех видов работы электропривода надо проводить не по уравнениям типа (4.8), а по уравнениям (4.9).

4.6 Переходный процесс при изменении статической нагрузки на валу двигателя и Ф=Ф_Н

В этом случае исходная система уравнений, описывающая переходные процессы та же, что и для пуска двигателя, то есть система уравнений (4.2):

. (4.2)

Переходный процесс, как показано пунктиром на рисунке 4.8, может быть апериодическим или колебательным затухающим в зависимости от типа корней соответствующего характеристического уравнения.

Рассмотрим в качестве примера переходный процесс при набросе нагрузки от I_Х (холостой ход) до I_С, когда скорость меняется от _Х до _С (см. рис. 4.8).

При t=0 0_Х, i(0)=I_Х.

.

Всегда , так как I_ХI_С.

, определяемая из уравнения движения, будет равна:

. Так как

, то

. Тогда .

Этот же результат может быть получен из уравнения электрического равновесия цепи якоря в системе (4.2):

Постоянные интегрирования определяются из соотношений (принимая _уст=_С, i_уст=I_С):

, (4.29)

. (4.30)

Постоянные интегрирования, рассчитываемые по выражениям (4.29) и (4.30), определяют апериодические переходные процессы (t) и i(t). При соотношении постоянных времени Т_М<4Т_Я (см. раздел 4.2) переходные процессы будут иметь колебательный затухающий характер. Рассмотрим физические явления при затухающем колебательном переходном процессе, вызванным ударным приложением нагрузки.

Отметим вначале, что электропривод получает тем большую склонность к колебаниям (при набросе или сбросе нагрузки), чем меньше сопротивление цепи якоря (при прочих равных условиях), так как в этом случае растет Т_Я=L_Я/R_Я и уменьшается Т_М=JR_Я/(СФ_Н)².

Электромашиностроители стремятся уменьшить R_Я, так как это уменьшает потери (что особенно важно для крупных машин) и повышает КПД двигателя. Кроме того, уменьшение R_Я снижает статическое падение скорости (_С= =R_Яi/СФ_Н), делает статическую электромеханическую характеристику более жесткой, а это увеличивает _МАКС, то есть увеличивает диапазон регулирования скорости двигателя (Д_РЕГ=_МАКС_МИН) в разомкнутых системах электропривода (а, следовательно, и в замкнутых системах автоматического управления – САУ).

Однако эти преимущества приобретаются электроприводом за счет ухудшения динамических свойств его (склонность к колебаниям и большое динамическое, так называемое ударное падение скорости). В этом случае улучшение динамических качеств электропривода требует применения замкнутых САУ с большим коэффициентом усиления и формированием специальных законов управления (например, ПИ или ПИД законов).

Рассмотрим графики переходных процессов i(t) и (t) при набросе нагрузки, показанные на рисунке 4.9.Как уже рассматривалось ранее, до приложения ударной (скачкообразной) нагрузки двигатель работал с угловой скоростью _Х при моменте нагрузки М_Х. При скачке нагрузки до значения М_С возникает резкое замедление привода. В первый момент приложения нагрузки ток якоря из-за сдерживающего влияния индуктивности якорной цепи не изменяется.

Поэтому . Скорость двигателя начинает резко падать, вызывая уменьшение ЭДС и, как следствие, рост тока якоря и момента на валу двигателя. Индуктивность якорной цепи сдерживает нарастание тока и момента двигателя, которые изменяются медленнее, чем процесс падения скорости. Когда скорость достигнет значения _С (точка 1), момент двигателя еще не увеличится до величины М_С, равновесия моментов не будет, скорость будет продолжать снижаться (ускорение остается отрицательным). После того, как момент двигателя сравняется со статическим моментом М_С, уменьшение угловой скорости прекратится (точка 2) и . В этой точке угловая скорость будет минимальной, а перепад _МАКС – максимальным. Эта величина называется динамическим, или ударным, падением скорости. Оно обычно больше статического (_С), как это видно на рисунке 4.9. В точке равенства моментов двигателя и нагрузки (точка 2) скорость двигателя меньше, чем _С, и ЭДС двигателя меньше, чем надо для электрического равновесия цепи якоря. Это приводит к дальнейшему росту тока и момента двигателя до какого-то максимального значения, при котором возросшая скорость двигателя достигнет значения _С (точки 3 и 3). При этом момент двигателя будет больше М_С, что определит положительность ускорения (скорость двигателя будет продолжать расти и превысит значение _С). При =_С dM/dt=0. Далее (за точкой 3) момент двигателя все еще больше статического (М-М_С>0), и d/dt>0, двигатель продолжает работать с увеличивающейся скоростью и т.д. Амплитуда колебаний скорости и тока якоря (момента) двигателя постепенно уменьшается, так как при переходном процессе все время происходит выделение токовых потерь (R_Яi²) на сопротивлениях в цепи якоря и механических потерь в двигателе.