3.2.3 Уравнения переходных процессов при питании двигателя с независимым возбуждением от сети постоянного тока

Из общего дифференциального уравнения переходного процесса (t) в системе Г-Д можно легко получить уравнение электромеханического переходного процесса (t) в двигателе независимого возбуждения, питающегося от сети с U=U_Н, а не от генератора с меняющимся напряжением. Для этого в исходном уравнении (3.24) надо полагать Е_Г= U_Н и =1 (то есть считать возбуждение генератора мгновенным до номинального напряжения сети, питающей цепь якоря двигателя). В этом случае надо принять Т_В=0 и , и уравнение (3.31) преобразуется к виду:

. (3.34)

При соотношении Т_Я<<Т_М (то есть для случая быстро затухающей электромагнитной составляющей переходного процесса) можно пренебречь малой величиной Т_Я (считая Т_Я=0) и из (3.34) получить следующее уравнение механического переходного процесса (t) в двигателе постоянного тока независимого возбуждения, питающегося от сети с U=U_Н:

. (3.35)

Уравнения (3.34) и (3.35) будут использованы далее при изучении соответствующих переходных процессов в других разделах курса.

Сейчас следует лишь еще раз подчеркнуть, что частные случаи различных переходных процессов в двигателе постоянного тока получаются из общего переходного процесса для системы Г-Д, т.е. для системы, в которой учитывается форсирование при электромагнитной инерции источника питания (генератора) и двигателя, а также механическая инерция двигателя.

3.2.4 Переходные процессы при форсированном пуске двигателя

В данном разделе подробно рассматриваются переходные процессы при форсированном пуске двигателя с независимым возбуждением в системе Г-Д (см. рис. 3.8) для случая скачкообразного приложения к обмотке возбуждения генератора напряжения U_ВН. Как было показано ранее, независимый процесс возбуждении генератора описывается полученным ранее соотношением (3.24), в котором номинальную ЭДС генератора Е_ГН надо заменить номинальной ЭДС Е_ГДН системы Г-Д, то есть

. (3.36)

Для полного решения задачи переходного процесса

надо учесть также физические процессы, протекающие не столько в обмотке возбуждения генератора, но и процессы в цепи якоря системы Г-Д, а также в механической части электропривода.

Расчет этих переходных процессов может быть более точным, если правильно учесть физические явления на различных этапах пуска.

На рисунке 3.9 показаны графики переходных процессов различных фазовых координат системы Г-Д – Е_Г(t), i(t) и (t) – на трех этапах пуска двигателя.

 э т а п п у с к а, на котором 0, 0 i I_С. То есть этап длится от начала возбуждения генератора до момента трогания двигателя. Переходные процессы протекают в обмотке возбуждения генератора и в цепи якоря неподвижного двигателя. Поэтому на этапе  в общей системе уравнений переходных процессов (3.24)(3.26) нельзя пользоваться уравнением движения (3.26), а уравнение электрического равновесия цепи якоря (3.25) упрощается, так как 0.

Кроме того, следует принять L_Я=0, так как Т_В>>Т_Я.

Таким образом, на  этапе пуска переходные процессы в системе Г-Д описываются следующей системой уравнений:

(3.36)

В этой системе уравнений установившаяся ЭДС генератора записывается для общего случая (Е_ГДН), то есть для системы электропривода, в которой I_ГНI_ДН.

В качестве независимой переменной взято время t’, а не t, так как надо учесть явление запаздывания при пуске. Введение координаты времени t’ делает удобным расчет переходного процесса (t), принимая начало отсчета времени от момента начала движения двигателя.

При совместном решении уравнений системы (3.36) получается:

,

откуда , (3.37)

где – ток короткого замыкания в цепи якоря двигателя.

Процесс i(t), описываемый соотношением (3.37), справедлив лишь до момента трогания двигателя, которое сдвинуто от момента начала возбуждения (см. рис. 3.9) на время запаздывания (t_З).

Определим теперь величину t_З, необходимую для дальнейших расчетов переходных процессов на втором этапе, а также влияние параметров привода на запаздывание при пуске.

Величина t_З определяется из (3.37) из условия, что при t’= t_З, i=I_С (ток якоря при статической нагрузке М_С). В этом случае ,

откуда

и . (3.38)

Таким образом, t_З=f(, Т_В, I_К, I_С). Так как _К_С, то t_З зависит от  незначительно. При _С=0, t_З=Т_Вln1=0. В реальных условиях работы привода, когда _С0, запаздывание есть, но оно очень невелико. Наибольшее влияние на величину t_З оказывает постоянная времени Т_В. Чтобы оценить порядок величины t_З примем, например, что _С=_Н, _К=10_Н, =3. Тогда . При=1 (т.е. при пуске без форсировки) t_З увеличивается. Малость времени запаздывания дает основания проводить расчеты переходных процессов без учета значения t_З, что и делается в некоторых учебниках. Далее все расчеты будут проводиться с учетом запаздывания с целью более точного учета физических явлений в системе Г-Д при переходных процессах.

Соотношение для определения t_З можно представить и по-другому, несколько преобразовав выражение (3.38). Умножив и разделив на числитель и знаменатель выражения под знаком логарифма и учтя, что,и, получим, что

. (3.39)

Здесь также видно определяющее значение Т_В на t_З. Из (3.39) можно записать, что

. (3.40)

Выражение (3.40) необходимо для расчетов переходных процессов на втором этапе пуска.

 э т а п п у с к а начинается при трогании двигателя и продолжается до момента отсечки форсирования, то есть при 0tt_ОТС. Для расчетов переходных процессов на этом этапе пуска вводится новая координата времени t вместо t’. Связь этих координат видна из рисунка 3.9:

. (3.41)

ЭДС генератора в новой системе координат с учетом (3.41) запишется таким образом:

. (3.42)

Выражение (3.42) показывает сдвиг во времени на величину t_З процесса Е_Г(t) в новой системе отсчета времени.

Подставив в (3.42) значение из (3.40), получим:

. (3.43)

Выражение (3.43) показывает изменение Е_Г(t) на втором этапе пуска двигателя в системе Г-Д. В момент трогания двигателя (t’=t_З,, t=0) ЭДС генератора Е_Гнач (см. рис. 3.9) определяется из (3.43):

. (3.44)

Время отсечки (t_ОТС) определяется из выражения (3.43), в котором надо принять t=t_ОТС, Е_Г=Е_ГДН:

Из этого соотношения

;

,

откуда

. (3.45)

При пуске вхолостую (при _С=0):

. (3.46)

Таким образом, пуск двигателя на втором этапе описывается уравнениями (3.43), (3.25) при L_Я=0 и (3.26):

(3.47)

Совместное решение этой системы уравнений относительно  дает следующее:

.Симметрируя последнее выражение и деля его на , получим:

.Учтем, что (см. раздел 2.2) ,и.

Тогда

.

Или окончательно:

. (3.48)

Это дифференциальное уравнение переходного процесса (t) на втором этапе пуска двигателя с учетом запаздывания, уравнение вида

, где .

Решение такого типового уравнения ищется в виде:

,

где С – постоянная интегрирования, определяемая с учетом начальных условий для решаемой задачи.

Применяя указанные типовые решения к уравнению (3.48), получим:

.

Окончательное выражение процесса (t) после преобразований:

. (3.49)

Начальные условия для определения постоянной интегрирования следующие: при t=0, =0. Поэтому

, откуда

. (3.50)

Подставляя значение С по (3.50) в решение (3.49), получим:

. После преобразований окончательный вид выражения для расчета скорости двигателя в переходном процессе:

. (3.51)

При пуске вхолостую (_С=0, _С=0) выражение (3.51) соответственно упрощается.

Очень важно вычислить значение приt=0, т.е. ускорение двигателя в начальный момент пуска.

Дифференцируя (3.51), получим, что

, или

. (3.52)

Отсюда (см. рис. 3.10).

Здесь надо указать на принципиальные отличия пуска двигателя в системе Г-Д от реостатного пуска двигателя при постоянном напряжении питающей сети. При реостатном пуске двигателя от сети сU=const, ускорение , так какМ=М_СР= const (см. рис. 3.10).

При пуске двигателя в системе Г-Д в начальный момент времени (t=0) _С и М=М_С, что и определяет нулевое значение ускорения двигателя в этот момент.

По выражению (3.52) для можно сразу же найти расчетную формулу для переходного процессаi(t) в якорной цепи системы Г-Д. Для этого надо в уравнение движения (3.26) подставить значение из (3.52):

.

Заменяя здесь ии учтя, чтои, получим после преобразований

. (3.53)

При пуске вхолостую (_С=0):

. (3.54)

Разность экспонент с различными декрементами затухания, как известно, есть функция экстремальная, что и показано на графике i(t) рисунок 3.9. Величины t_МАКС и _МАКС определяются по известным математическим правилам из условия: при t= t_МАКС , =_МАКС, .

Из (3.53) следует:

,

откуда , то есть.

Из этого соотношения следует, что

,

откуда . (3.55)

После подстановки значения t_МАКС по (3.55) в выражение (3.53) для i(t), получим после преобразований (из-за недостатка места эти громоздкие преобразования не приводятся):

. (3.56)

При пуске вхолостую (_С=0):

. (3.57)

Расчет величины _МАКС необходим для проверки двигателя на перегрузку с точки зрения коммутации.

 э т а п п у с к а начинается от момента отсечки форсирования, то есть при достижении Е_Г=Е_ГДН (см. рис. 3.9). Заканчивается этот этап тогда, когда фазовые координаты электропривода i и  практически будут равны своим установившимся значениям _С и _С (теоретически это состояние наступает при t для принятого линейного описания электромеханического объекта управления).

Для расчета переходных процессов на этом этапе пуска целесообразно ввести условный ноль отсчета времени (0_/ на рис. 3.9). Переходные процессы i(t) и (t) – механические процессы, так как на третьем этапе пуска на эти процессы оказывает влияние только механическая инерция.

Математическое описание переходных процессов в электроприводе на этом этапе следующее:

(3.58)

Решаем эту систему относительно .

. (3.59)

После симметрирования (3.59) и введения обозначений ,,, получим следующее дифференциальное уравнение механического переходного процесса(t):

. (3.60)

Из этой же самой исходной системы уравнений механического переходного процесса i(t):

. (3.61)

Сопоставляя (3.60) и (3.61), запишем в общем виде дифференциальное уравнение механического переходного процесса x(t) для любой фазовой координаты х:

, (3.62)

где Х_С – установившееся (статическое) значение фазовой координаты.

Решение уравнения (3.62) ищется в виде

,

где – корень характеристического уравнения;

С₁ – постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям (при t=0);

С₂ – частное решение (при t) дифференциального уравнения (3.62), т.е. установившееся значение соответствующей фазовой координаты.

В общем случае при t=0, х(0)=Х_нач, а при t=, когда ,х=Х_кон=Х_С=С₂.

Постоянная интегрирования С₁ определяется по начальным условиям: при t=0, х=Х_нач3, или

Х_нач3=С₁+ Х_кон; С₁= Х_нач3– Х_кон.

Таким образом, решение уравнения механического переходного процесса в общем виде запишется так:

.

Удобнее представлять x(t) в такой форме:

. (3.63)

В соответствии с этой формой записи решения дифференциального уравнения механического переходного процесса на третьем этапе –

, (3.64)

. (3.65)

Графики переходных процессов i(t) и (t) по уравнениям (3.64) и (3.65) показаны на рисунке 3.9.

Форма (3.63) записи решения для механического переходного процесса пригодна не только для пуска, но и для других режимов работы электропривода постоянного тока и справедлива также (это будет показано далее) для механического переходного процесса асинхронного двигателя с линеаризованной механической характеристикой.

Фазовый портрет переходного процесса в системе Г-Д на всех этапах пуска, то есть график=f(i) при различных значениях Е_Г, показан на рисунке 3.11.