- •Содержание
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование
- •Приложение 2. Варианты контрольных заданий по дисциплине
- •Предисловие
- •Дискретная математика
- •1. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры
- •1.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2. Основные операции над множествами
- •1.3. Декартово произведение множеств
- •1.4. Соответствия и функции
- •1.5. Отношения
- •1.6. Использование множеств в языке Паскаль
- •2. Элементы общей алгебры
- •2.1. Операции на множествах
- •2.2. Группа подстановок Галуа
- •2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)
- •2.4. Алгебраические системы. Решетки
- •2.5. Задание множеств конституентами
- •2.6. Решение уравнений в алгебре множеств.
- •3. Элементы комбинаторики
- •3.1. Комбинаторные вычисления
- •3.2. Основные понятия комбинаторики
- •3.3. Размещения
- •3.4. Перестановки
- •3.5. Сочетания
- •3.6. Треугольник Паскаля.
- •3.7. Бином Ньютона
- •3.8. Решение комбинаторных уравнений
- •4. Основные понятия теории графов
- •4.1. Способы задания графов
- •4.2. Характеристики графов
- •4.3. Понятие о задачах на графах
- •4.4. Задача о Ханойской башне
- •5. Переключательные функции и способы их задания
- •5.1. Понятие о переключательных функциях
- •5.2. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •5.3. Основные бинарные логические операции
- •5.4. Понятие о переключательных схемах и технической реализации переключательных функций
- •5.5. Использование логических операций в теории графов
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной
- •6.2. Элементарные переключательные (логические) функции двух переменных
- •6.3. Функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.4. Базисы представления переключательных функций
- •6.5. Пример анализа и определения свойств пф, заданной десятичным номером
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций
- •7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций
- •7.2. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры переключательных функций
- •7.3. Преобразование форм представления переключательных функций
- •8. Минимизация переключательных функций
- •8.1. Цель минимизации переключательных функций
- •8.2. Основные понятия и определения, используемые при минимизации
- •8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
- •8.4. Минимизация переключательных функций по картам Карно
- •8.5. Метод поразрядного сравнения рабочих и запрещенных наборов
- •Минимизация переключательных функций на основе поразрядного сравнения рабочих и запрещенных восьмеричных наборов.
- •8.6. Минимизация переключательных функций, заданных в базисе {, и, не}
- •8.7. Минимизация систем переключательных функций
- •8.8. Минимизация переключательных функций методом неопределенных коэффициентов
- •9. Понятие об автомате и его математическом описании
- •9.1. Основные определения теории конечных автоматов
- •9.2. Описание конечных детерминированных автоматов
- •9.3. Понятие о технической интерпретации конечных автоматов
- •9.4. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •9.5. Булева производная
- •9.6. Элементарные автоматы памяти на основе комбинационного автомата и задержки
- •9.7. Синтез автомата – распознавателя последовательности
- •10. Элементы теории кодирования
- •10.1. Понятие о кодировании
- •10.2. Системы счисления, как основа различных кодов
- •10.3. Понятие о помехоустойчивом кодировании
- •10.4. Кодирование по Хэммингу
- •10.5. Кодирование с использованием циклических кодов и математического аппарата умножения и деления полиномов. Сигнатурный анализ
- •10.6. Понятие о криптографической защите информации
- •10.7. Понятие о сжатии информации
10.3. Понятие о помехоустойчивом кодировании
Код – это совокупность символов в представлении информации. Каждому знаку соответствует определённая комбинация нулей и единиц (бинарное кодирование).
Простой код – если все его символы используются для представления информации.
Равномерный код – если все его слова имеют одинаковое количество разрядов.
Существуют коды обнаруживающие ошибки и коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки.
Как правило, при передаче информации используется избыточность – не все разряды используются для передачи информации, не все 2n (где n количество разрядов) комбинаций используются для её представления.
Разделяют разрешённые и запрещённые комбинации. Появление запрещённых комбинаций – ошибка передачи информации.
В теории кодирования используется понятие кодового расстояния (расстояние Хэмминга).
d – кодовое расстояние – это число разрядов, по которым отличаются две кодовые комбинации.
В этих двух четырехразрядных кодовых комбинациях d=2.
Рассмотрим двухразрядную информацию.
При различных ошибках (типа инверсии разряда) можно получить различные комбинации, причём они входят в исходное множество комбинаций. Поэтому по виду комбинации нельзя обнаружить ошибку. Необходимо, чтобы при возникновении ошибки полученные коды не входили в число используемых.
Чтобы обнаружить ошибку необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство:
dmin t +1,
где t – кратность ошибок, а dmin – минимальное кодовое расстояние.
Здесь уже можно обнаружить ошибку, но нельзя её исправить. Исправить ошибку, значит, по виду принятой комбинации установить, какая истинная комбинация передавалась.
Для исправления необходимо: dmin2t+1 (рис. 83).
Рис. 83. Принцип исправления ошибок
От каждой из четырех комбинаций, указанных на рис. 83, ошибочная комбинация с t-кратной ошибкой отличается в t разрядах, поэтому необходимо, чтобы сами ошибочные комбинации отличались друг от друга хотя бы в одном разряде, иначе восстановить передаваемую информацию невозможно. Например, рис. 84 иллюстрирует возможные ошибки при передаче трехразрядной информации.
Рис. 84. Возможные ошибки при передаче трехразрядной информации
и некоторые кодовые расстояния
Примеры кодов.
1. Код с проверкой четности.
-
x2
x2
k
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
где k – контрольный разряд, чтобы сумма единиц была четной, либо нечетной. Это – контроль по четности (нечетности). В настоящее время широко применяется в стандартных микропроцессорах (ранее – только в особо ответственных вычислительных системах, например, военных).
В приемнике формируется контрольный разряд с помощью элемента сложения по модулю 2 (рис. 85).
Рис. 85. Передатчик и приемник информации с контролем по нечетности на основе элементов сложения по модулю 2 с инверсией
2. Коды с простым повторением – это коды, в которых повторяется кодовая комбинация.
3. Корреляционные коды.
В таких кодах используются дополнительные символы для представления информации:
001
110
4. Равновесные коды.
Характеризуются тем, что каждая комбинация содержит одинаковое количество нулей и единиц. Например, 2 из 5:
011000
110001
101002
100103
010104
001105
100016
010017
001018
000119
Существуют также систематические коды, где контрольные разряды отделены от информационных. К ним относятся коды Хэмминга.