- •Содержание
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование
- •Приложение 2. Варианты контрольных заданий по дисциплине
- •Предисловие
- •Дискретная математика
- •1. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры
- •1.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2. Основные операции над множествами
- •1.3. Декартово произведение множеств
- •1.4. Соответствия и функции
- •1.5. Отношения
- •1.6. Использование множеств в языке Паскаль
- •2. Элементы общей алгебры
- •2.1. Операции на множествах
- •2.2. Группа подстановок Галуа
- •2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)
- •2.4. Алгебраические системы. Решетки
- •2.5. Задание множеств конституентами
- •2.6. Решение уравнений в алгебре множеств.
- •3. Элементы комбинаторики
- •3.1. Комбинаторные вычисления
- •3.2. Основные понятия комбинаторики
- •3.3. Размещения
- •3.4. Перестановки
- •3.5. Сочетания
- •3.6. Треугольник Паскаля.
- •3.7. Бином Ньютона
- •3.8. Решение комбинаторных уравнений
- •4. Основные понятия теории графов
- •4.1. Способы задания графов
- •4.2. Характеристики графов
- •4.3. Понятие о задачах на графах
- •4.4. Задача о Ханойской башне
- •5. Переключательные функции и способы их задания
- •5.1. Понятие о переключательных функциях
- •5.2. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •5.3. Основные бинарные логические операции
- •5.4. Понятие о переключательных схемах и технической реализации переключательных функций
- •5.5. Использование логических операций в теории графов
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной
- •6.2. Элементарные переключательные (логические) функции двух переменных
- •6.3. Функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.4. Базисы представления переключательных функций
- •6.5. Пример анализа и определения свойств пф, заданной десятичным номером
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций
- •7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций
- •7.2. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры переключательных функций
- •7.3. Преобразование форм представления переключательных функций
- •8. Минимизация переключательных функций
- •8.1. Цель минимизации переключательных функций
- •8.2. Основные понятия и определения, используемые при минимизации
- •8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
- •8.4. Минимизация переключательных функций по картам Карно
- •8.5. Метод поразрядного сравнения рабочих и запрещенных наборов
- •Минимизация переключательных функций на основе поразрядного сравнения рабочих и запрещенных восьмеричных наборов.
- •8.6. Минимизация переключательных функций, заданных в базисе {, и, не}
- •8.7. Минимизация систем переключательных функций
- •8.8. Минимизация переключательных функций методом неопределенных коэффициентов
- •9. Понятие об автомате и его математическом описании
- •9.1. Основные определения теории конечных автоматов
- •9.2. Описание конечных детерминированных автоматов
- •9.3. Понятие о технической интерпретации конечных автоматов
- •9.4. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •9.5. Булева производная
- •9.6. Элементарные автоматы памяти на основе комбинационного автомата и задержки
- •9.7. Синтез автомата – распознавателя последовательности
- •10. Элементы теории кодирования
- •10.1. Понятие о кодировании
- •10.2. Системы счисления, как основа различных кодов
- •10.3. Понятие о помехоустойчивом кодировании
- •10.4. Кодирование по Хэммингу
- •10.5. Кодирование с использованием циклических кодов и математического аппарата умножения и деления полиномов. Сигнатурный анализ
- •10.6. Понятие о криптографической защите информации
- •10.7. Понятие о сжатии информации
3.5. Сочетания
В ряде комбинаторных задач требуется определить число k-элементных подмножеств множества из n элементов. В этом случае порядок следования компонентов несущественен, т.е. производится неупорядоченная выборка.
В результате получают так называемые сочетания без повторения.
Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом выборки длины k, составленные из n элементного множества.
Число сочетаний без повторений из n элементов по k, обозначаемое как определяется, исходя из числа размещений без повторений с учетом того, что различных неупорядоченных векторов (подмножеств исходного множества) будет меньше в число раз, соответствующее числу перестановок без повторений изk элементов:
.
Пример. Определить число двухэлементных подмножеств множества, состоящего из трех элементов. Перечисляем все двухэлементные подмножества множества Х={х1,х2,х3}:
{х1,х2},{х1,х3},{х2,х3}.
Здесь мы имеем дело с сочетаниями из 3-х по 2:
.
Это величина в 2! раза меньше, чем число размещений из , поскольку компоненты двухэлементных векторов можно переставить Р2=2! способами.
Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 различных комбайна из 5 имеющихся?
Число размещений из 5 по 3 без повторений: =543=60.
Один и тот же набор комбайнов можно получить различными способами, например, векторы (а,b,с) и (b,а,с) дают один и тот же набор. Поскольку три элемента можно переставить Р3=3!=6 способами, то число способов выбора различных 3 комбайнов равно
.
В ряде комбинаторных задач требуется подсчитывать число различных составов векторов длины k из n элементного множества. Такие векторы-составы называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k.
Например, требуется составить механизированные бригады из 3 комплексов 2 типов и определить количество таких бригад. Порядок следования комплексов в векторе бригады роли не играет, а каждая бригада задается вектором длины 3 из 2 элементов, порядок компонент которого роли не играет.
Получаем сочетания с повторениями из 2 элементов по 3:
(m1,m1,m1),(m1,m2,m2),(m1,m1,m2),(m2,m2,m2),
где m означает тип комплекса.
Итак, возможно построить бригаду из трех комплексов первого типа, трех комплексов второго типа, двух комплексов второго типа и одного первого и, наконец, двух комплексов первого типа и одного второго, т.е. четырьмя способами.
Определение числа сочетаний с повторениями можно произвести следующим образом [24].
Каждому сочетанию с повторениями из 2 по 3 ставится в однозначное соответствие вектор длины n+k-1=2+3-1=4, состоящий из 3 нулей и n-1=1 единицы:
Количество комплексов 1-го типа |
Разделитель |
Количество комплексов 2-го типа |
Состав вектора бригады |
000 |
1 |
|
(m1,m1,m1) |
0 |
1 |
00 |
(m1,m2,m2) |
00 |
1 |
0 |
(m1,m1,m2) |
|
1 |
000 |
(m2,m2,m2) |
В таком случае число сочетаний с повторениями, которое обозначается , равно числу перестановок с повторениями данного состава (вектор имеет одну единицу и три нуля), т.е. Р(3,1)==4.
В общем случае, это выражение имеет вид
,
что соответствует выражению
.
Например, требуется составить подразделения из 6 рабочих 4 специальностей и определить количество способов формирования таких подразделений.
Получаем сочетания с повторениями из 4-х элементов по 6:
.