5.5. Использование логических операций в теории графов
Логические операции используются в алгоритмах на графах, например, при поиске путей в графе. При этом матрица смежности графа умножается сама на себя. Умножение проводится по правилам обычной алгебры с тем исключением, что операция суммы заменяется дизъюнкцией, а операция умножения – конъюнкцией. Тогда квадрат матрицы смежности представляет матрицу всех путей длиной 2, куб – длиной 3 и т.д. Рассмотрим пример (рис. 36).
Рис. 36. Ориентированный граф и его матрица смежности
Найдем все пути длиной 2:
Получили матрицу M2 всех путей в графе длиной 2. Процесс получения первой строки M2 подробно рассмотрен в табл. 22.
Таблица 22
Вычисление первой строки M2
-
0
1
0
Первая строка М
Ù
Ù
Ù
Поразрядная конъюнкция
0
1
1
Первый столбец М
0
Ú
1
Ú
0
=1, т.е. имеется путь из x1bx1 по двум дугам: t1, t4
Дизъюнкция результатов
6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций
6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной
Переключательные (логические) функции, соответствующие логическим операциям В2В, называют элементарными. Количество переключательных (логических) функций от n переменных определяется выражением 22n, поскольку |Bn|=2n, а на каждом из 2n наборов переключательная (логическая) функция может принимать одно из значений из того же множества В (табл. 23).
Таблица 23
Переключательные функции от n переменных
-
№
Набор
Номер логической функции
п/п
значений
переменных
0
1
2
3
...
22n-1
1
00...00
0
1
0
1
...
1
2
00...01
0
0
1
1
...
1
3
00...10
0
0
0
0
...
1
4
00...11
0
0
0
0
...
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
22
11...11
0
0
0
0
...
1
Например, рассмотрим все переключательные (логические) функции одной переменной (табл. 24).
Таблица 24
Переключательные функции одной переменной
-
Переключательная (логическая) функция
х
f0(x)
f1(x)
f2(x)
f
3(x)0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
Поскольку 221=4, то имеется четыре логических функции одной переменной, две из них – константы: f0(x)=0, f3(x)=1 (f0(x) – константа нуля, f3(x) – константа единицы). Здесь номер функции означает десятичное число, соответствующее двоичному числу, записанному в соответствующем столбце табл. 24.
Функция
f2(x)=х,
т.е. совпадает со значением переменной.
Эта функция называется функцией
повторения. Функция
нам уже известна – это инверсия.
Можно заметить, что для каждой функции одной переменной существует инверсная ей функция:
