1.2. Основные операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами множества А или множества В:

АВ={x:xA или хВ},

где  – знак объединения.

На диаграмме Эйлера это может быть показано штриховкой (рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств АВ

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, элементы которого являются элементами обоих множеств:

АВ={x:xA и хВ},

где  – знак пересечения.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 3.

Рис. 3. Пересечение множеств АВ

Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В:

А\В={x:xA и хВ},

где – знак непринадлежности (отрицание принадлежности), \ – знак разности.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 4.

Рис. 4. Разность множеств А\В

Так, если А={1,2,3,4,5}, В={4,6}, то А\В={1,2,3,5}, В\А={6}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество АВ=(А\В)(В\А), изображенное на рис. 5,  – знак симметрической разности.

Так, если А={1,2,3}, В={3,4,5}, то АВ={1,2,4,5}.

Рис. 5. Симметрическая разность множеств АВ

Рассмотренные операции являются двухместными (бинарными). Имеется одноместная (унарная) операция дополнения.

Дополнением множества А является множество , содержащее элементы универсума I, не включенные во множество А:

где – знак дополнения, «инверсия», читается «не А».

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 6.

Рис. 6. Дополнение множества А до универсума I

Так, если А={3,4}, а I={1,2,3,4,5}, тоA={1,2,5}.

Используя рассмотренные операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только потом – операция объединения (разности). Для изменения порядка выполнения операций в выражении используют скобки.

1.3. Декартово произведение множеств

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Декартовым произведением АВ множеств А и В называется множество М вида

М={(a_i,b_j):a_iA, b_jB}.

Здесь круглыми скобками () обозначается последовательность, т.е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов (упорядоченное множество). Другое название такой последовательности – вектор (кортеж). Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами, нумеруемыми слева направо. Векторы длины 2 часто называют упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т.д. Вектор U длины n иногда называют n-кой («энкой»). Проекцией пр_iU вектора U называется его i-я компонента. Таким образом, М=АВ это множество пар.

В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат одному множеству А² (В²).

Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определяется декартово произведение n множеств:

1.4. Соответствия и функции

Соответствием между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения GА·В.

Если (а,b)G, то b соответствует а при соответствии G. Множество проекций пр₁G называется областью определения соответствия, множество пр₂G – областью значений соответствия. Если пр₂G=А, то соответствие полностью определенное (в противном случае – частичное). Если пр₂G=В, то соответствие сюрьективно.

Множество всех bВ, соответствующих элементу а, в А называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Всюду определенное соответствие называют отображением и иногда записывают как Г:ХY, где  – знак отображения.

Подмножество FX·Y называется функцией, если для каждого элемента х, хХ найдется не более одного элемента yY в парах вида (х,y)F. При этом, если для каждого элемента х имеется один элемент y, то функция полностью определена, в противном случае – частично определена (недоопределена). Множество Х – область определения функции F, множество Y – область значений функции. Часто вместо записи (х,y)F используют запись y=F(х), при этом элемент х называют аргументом или переменной, а y – значением функции F. Количество аргументов определяет местность функции.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения [9-10].

На рис. 7а изображено подмножество декартова произведения множеств Х={х₁,х₂,х₃,х₄} и Y={y₁,y₂,y₃}, не являющееся функцией, на рис. 7б – являющееся полностью определенной функцией; на рис. 7в – являющееся частично определенной функцией.

а) F1XY, не являющееся функцией, т.к. одному значению х может соответствовать два значения y.

б) F2XY, являющееся полностью определенной функцией.

в) F3XY, являющееся недоопределенной функцией, не определенной на значении аргумента х3.

Рис.7. Подмножества декартова произведения XY

Соответствие G между множествами Х и Y называется взаимно однозначным, если каждому элементу хХ соответствует определенный элемент yY, и, наоборот, каждый элемент yY оказывается поставленным в соответствие одному элементу хХ.

Соответствие между множеством функций и множеством чисел называется функционалом [19]. Часто говорят «функционал качества».

Например, функционалом может быть определенный интеграл, ставящий в соответствие некоторой функции число.

Соответствие между двумя множествами функций называется оператором. Например, имеется оператор дифференцирования.

Множество А называется эквивалентным множеству В, если существует взаимнооднозначное соответствие множеств А и В, это обозначается как

А=В или АВ.

Этот факт позволяет определять неизвестную мощность одних множеств по известной мощности других, им эквивалентным. Множества, эквивалентные (равномощные) множеству натуральных чисел, называются счетными. В счетных множествах возможна нумерация элементов. Пример множества, не являющегося счетным – множество всех действительных чисел отрезка [0,1]. Это доказывается теоремой Кантора [19]. Попробуем пронумеровать это множество. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями в порядке нумерации:

0, а₁₁ а₁₂ а₁₃ ...

0, а₂₁ а₂₂ а₂₃ ...

0, а₃₁ а₃₂ а₃₃ ...

. . . . . .,

где первая цифра индекса – номер бесконечной десятичной дроби. Рассмотрим теперь любую бесконечную десятичную дробь 0, b₁ b₂ b₃... такую, что b₁а₁₁, b₂а₂₂, b₃а₃₃ и т.д. Такая дробь не входит в указанную последовательность, так как отличается от первого числа первой цифрой, от второго числа – второй цифрой и т.д. Следовательно, все числа из отрезка [0,1] не могут быть пронумерованы, т.е. это множество несчетно. Его мощность называется континуум и все эквивалентные ему множества называются континуальными. Так, множество всех подмножеств счетного множества континуально.