- •Содержание
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование
- •Приложение 2. Варианты контрольных заданий по дисциплине
- •Предисловие
- •Дискретная математика
- •1. Множества и алгебраические системы. Булевы алгебры
- •1.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2. Основные операции над множествами
- •1.3. Декартово произведение множеств
- •1.4. Соответствия и функции
- •1.5. Отношения
- •1.6. Использование множеств в языке Паскаль
- •2. Элементы общей алгебры
- •2.1. Операции на множествах
- •2.2. Группа подстановок Галуа
- •2.3. Алгебра множеств (алгебра Кантора)
- •2.4. Алгебраические системы. Решетки
- •2.5. Задание множеств конституентами
- •2.6. Решение уравнений в алгебре множеств.
- •3. Элементы комбинаторики
- •3.1. Комбинаторные вычисления
- •3.2. Основные понятия комбинаторики
- •3.3. Размещения
- •3.4. Перестановки
- •3.5. Сочетания
- •3.6. Треугольник Паскаля.
- •3.7. Бином Ньютона
- •3.8. Решение комбинаторных уравнений
- •4. Основные понятия теории графов
- •4.1. Способы задания графов
- •4.2. Характеристики графов
- •4.3. Понятие о задачах на графах
- •4.4. Задача о Ханойской башне
- •5. Переключательные функции и способы их задания
- •5.1. Понятие о переключательных функциях
- •5.2. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •5.3. Основные бинарные логические операции
- •5.4. Понятие о переключательных схемах и технической реализации переключательных функций
- •5.5. Использование логических операций в теории графов
- •6. Элементарные двоичные переключательные функции и функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.1. Элементарные переключательные функции одной переменной
- •6.2. Элементарные переключательные (логические) функции двух переменных
- •6.3. Функциональная полнота систем переключательных функций
- •6.4. Базисы представления переключательных функций
- •6.5. Пример анализа и определения свойств пф, заданной десятичным номером
- •7. Основные законы булевой алгебры и преобразование переключательных функций
- •7.1. Основные законы булевой алгебры переключательных функций
- •7.2. Равносильные преобразования. Упрощение формул алгебры переключательных функций
- •7.3. Преобразование форм представления переключательных функций
- •8. Минимизация переключательных функций
- •8.1. Цель минимизации переключательных функций
- •8.2. Основные понятия и определения, используемые при минимизации
- •8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
- •8.4. Минимизация переключательных функций по картам Карно
- •8.5. Метод поразрядного сравнения рабочих и запрещенных наборов
- •Минимизация переключательных функций на основе поразрядного сравнения рабочих и запрещенных восьмеричных наборов.
- •8.6. Минимизация переключательных функций, заданных в базисе {, и, не}
- •8.7. Минимизация систем переключательных функций
- •8.8. Минимизация переключательных функций методом неопределенных коэффициентов
- •9. Понятие об автомате и его математическом описании
- •9.1. Основные определения теории конечных автоматов
- •9.2. Описание конечных детерминированных автоматов
- •9.3. Понятие о технической интерпретации конечных автоматов
- •9.4. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •9.5. Булева производная
- •9.6. Элементарные автоматы памяти на основе комбинационного автомата и задержки
- •9.7. Синтез автомата – распознавателя последовательности
- •10. Элементы теории кодирования
- •10.1. Понятие о кодировании
- •10.2. Системы счисления, как основа различных кодов
- •10.3. Понятие о помехоустойчивом кодировании
- •10.4. Кодирование по Хэммингу
- •10.5. Кодирование с использованием циклических кодов и математического аппарата умножения и деления полиномов. Сигнатурный анализ
- •10.6. Понятие о криптографической защите информации
- •10.7. Понятие о сжатии информации
3.6. Треугольник Паскаля.
Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.
Значения представлены в табл. 6, которая называется треугольником Паскаля.
Таблица 6
Треугольник Паскаля
-
k
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Заметим, что .
Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).
Рис. 10. Треугольник Паскаля
Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:
(приводим к общему знаменателю)
(выносим n! за скобку в знаменателе)
Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.
Докажем соотношение 1)
Это может использоваться при вычислениях, например, вместо можно вычислить.
Докажем соотношение 2)
3.7. Бином Ньютона
Имеется формула, называемая биномом Ньютона, которая использует выражения числа сочетаний с повторениями
где а, b – действительные или комплексные числа.
Например:
Коэффициенты называются биномиальными.
Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. Доказательство по индукции предполагает:
1) базис индукции – доказательство того, что формула верна для конкретного n, например, для n=1. В нашем случае мы убедились, что формула верна для n=2,3,4. Убедимся, что она верна и для n=1.
2) индукционный шаг. Предполагая, что формула верна для некоторого n, убеждаются, что тогда она верна и для n+1.
3) при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n.
Приступим к индукционному шагу.
Возьмем выражение и получим из него выражение дляn+1. Очевидно, что это можно сделать путем умножения на a+b:
Преобразуем полученное выражение:
Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению:
.
Рассмотрим подвыражение выражения (1):и заменимi на i-1.
Получим , т.е. одинаковые коэффициентыперед выражениями,для числа сочетаний в первом и втором подвыражении выражения (1).Это позволит вынестиза скобку. Но тогда вне учтенn-й член подвыражения (суммирование идет доn): тогда, учитывая его, получаем:
Нетрудно видеть, что можно заменитьна, кроме того, мы уже доказали, что, поэтому: , что, очевидно, равно выражению:
.
По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n.
С использованием бинома Ньютона докажем следствие №1 о количестве подмножеств множества из n элементов:
Рассмотрим следствие №2: .
На использовании бинома Ньютона основано понятие производящей функции – функции, позволяющей получать комбинаторные числа без вычисления факториала:
. Здесь – функция, производящая биномиальные коэффициенты.
При n=1 получаем 1+x, т.е. (коэффициент перед 1),(коэффициент передx).
При n=2 получаем (1+x)2=1+2x+x2, т.е. и т.д.