2.6. Приклади

Приклад 1. Для перерізу, складеного з двох швелерів № 40, розміщених на відстані 20 см один від одного, визначити момент опору відносно головних центральних осей u і v.

1. Виписуємо необхідні геометричні характеристики для швелера №40 із таблиці сортаменту ГОСТ 8239-72, ГОСТ 8510-72:

2. Креслимо у масштабі заданий складний переріз (рис. 2.7)

Позначаємо власні осі простих перерізів, відносно яких осьові моменти

інерції знаходяться в таблицях сортаменту (див. додаток). Даний складний переріз має дві осі симетрії, які співпадають з головними центральними осями. Проводимо головні центральні осі u і v. 3. Центр ваги даного складного перерізу лежить на перетині головних центральних осей 4. Визначаємо осьові моменти інерції складного перерізу відносно

Рис. 2.7. Креслення перерізу

головних центральних осей u і v, користуючись формулою переходу до паралельних осей.

Вісь х_о простих перерізів співпадає з віссю и, тому момент інерції складного перерізу відносно цієї осі дорівнює:

.

Вісь у_о простих поперечних перерізів не збігається з віссю v, тому треба скористатися формулою переходу до паралельних осей:

.

5. Визначаємо радіуси інерції складного перерізу відносно головних центральних осей u та v:

;

.

6. Визначаємо моменти опору складного перерізу відносно головних центральних осей u та v:

;

.

Таким чином мінімальним моментом опору буде W_v , а мінімальним радіусом інерції i_v.

Приклад 2. Для поперечного перерізу, складеного з двотавра № 20 та швелера № 30 визначити радіуси інерції відносно головних центральних осей.

1. Із таблиць сортаменту ГОСТ 8239-72, ГОСТ 8240-72 визначаємо необхідні геометричні характеристики для двотавра і швелера.

	№ 20
	№ 30

2. Креслимо складний поперечний переріз у масштабі (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Переріз швелера та двотавра

3. Показуємо координати центрів ваги простих поперечних перерізів у системі допоміжних осей х₁ та у₁.

Цей складний переріз має одну вісь симетрії, тому одна координата центра ваги вже відома. Вона дорівнює х_цт = 15 см.

4. Визначаємо другу координату центра ваги, використовуючи формулу (2.3).

4. Показуємо центр ваги складного поперечного перерізу і головні центральні осі u та v (рис. 2.8).

5. Визначаємо головні центральні моменти складного пе­рерізу. Вісь v співпадає з осями у₀ простих поперечних перерізів. Тому:

Вісь u не співпадає з осями x_о простих поперечних перерізів, тому треба використати формулу переходу до паралельних осей (2.11):

.

6. Визначаємо моменти опору даного перерізу відносно головних центральних осей (формула 2.8):

7. Визначаємо радіуси інерції по формулі 2.10:

;

.

Таким чином: ,.

Приклад 3. Обчислити мінімальний радіус інерції складного поперечного перерізу, який складається із швелера № 20а та рівнополичного кутника розміром 100x100x10 мм.

1. Виписуємо необхідні геометричні характеристики прокатних профілів із таблиць сортаменту ГОСТ 8240-89 і 8509-86.

	; ; ; .
	; ; ; .

2. Креслимо у масштабі поперечний переріз, розташовуючи його у першій чверті допоміжних осей х₁ та у₁, і зазначаємо координати центрів ваги простих поперечних перерізів (рис. 2.9). Показуємо особисті осі х₀ у₀ простих перерізів, відносно яких відомі осьові моменти інерції.

Рис. 2.9. Креслення перерізу

3. Визначаємо координати центра ваги складного поперечного перерізу в допоміжних осях х₁ і у₁, використовуючи формулу (2.3):

;

.

За одержаними даними наносимо точку О (центр ваги складного поперечного перерізу) і проводимо центральні осі х та у паралельно допоміжним осям х₁ і у₁ . Точка О повинна лежати на лінії, що з’єднує центри ваги швелера та кутника.

4. Визначаємо центральні моменти інерції складного поперечного перерізу відносно осей х та у, використовуючи формулу переходу до паралельних осей (2.12):

;

.

5. Визначаємо відцентровий момент інерції складного поперечного перерізу відносно осей х та у, використовуючи формулу переходу до паралельних осей (2.11):

,

де - відцентровий момент інерції швелера відносно головних центральних осей швелера, який, як відомо, дорівнює нулю;

- відцентровий момент інерції рівнополичного кутника відносно його центральних осей не дорівнює нулю, а вираховується по формулі (2.15), знак якого визначається із рис. 2.6. Тоді:

.

Відцентровий момент інерції усього складного поперечного перерізу відносно осей х і у буде дорівнювати:

6. Визначаємо кут нахилу головних центральних осей u та v складного поперечного перерізу до центральних х і у:

;

, .

Відкладаємо цей кут проти годинникової стрілки і проводимо головні центральні осі u та v.

7. Визначаємо головні центральні моменти інерції за формулами переходу до повернутих осей (2.13). Якщо α = 14°З1’30"; = 0,25; соsα = 0,97; sin2α = 0,472. Тоді:

Правильність визначених моментів інерції контролюємо за формулою (2.14): ;

;

.

Погрішність не повинна бути більшою 5%.

8. Визначаємо радіуси інерції за формулами (2.10):

;

.

Мінімальний радіус інерції дорівнює = 3,32 см.