2.2. Моменти інерції простих поперечних перерізів

Поперечні перерізи деталей можуть бути складними чи простими. До простих поперечних перерізів відносяться такі, для яких заздалегідь відомі значення основних геометричних характеристик або які можна визначити по відповідним відомим формулам.

До перших простих поперечних перерізів відносяться поперечні перерізи прокатних профілів, як двотавр, швелер, рівнобокий чи нерівнобокий кутник та інші, для яких є відповідні таблиці сортаменту.

До других простих поперечних перерізів відносяться поперечні перерізи, які мають форму прямокутника, трикутника чи круга.

Рис. 2.2 (прямокутник)	Площа поперечного перерізу дорівнює: F=bh; центр ваги на перетину діагоналей; осьові моменти інерції: ;; осьові моменти опору:;.
Рис. 2.3 (трикутник)	Площа поперечного перерізу дорівнює: ; центр ваги на відстанівід основи трикутника; осьові моменти інерції:;.
Рис. 2.4 (круг)	Площа поперечного перерізу дорівнює: ; центр ваги на перетину діаметрів; осьовий момент інерції:; полярний момент:; осьовий момент опору:, полярний момент опору:.

2.3. Моменти інерції відносно паралельних осей

Нехай відомі моменти інерції простого поперечного перерізу відносно центральних осей х, у (рис. 2.5):

; ; .

Рис. 2.5. Розрахункова схема

При розв’язанні інженерних задач по визначенню головних центральних моментів інерції складного поперечного перерізу необхідно визначити моменти інерції простих поперечних перерізів відносно осей паралельних центральним осям цих перерізів.

Тобто, треба визначити моменти інерції простих поперечних перерізів відносно осей паралельних центральним (рис. 2.5):

; ; .

Момент інерції поперечного перерізу відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно центральної осі, паралельної даній, плюс добуток площі поперечного перерізу на квадрат відстані між цими осями.

Відцентровий момент інерції відносно довільної системи взаємно перпендикулярних осей дорівнює відцентровому моменту інерції відносно центральних осей, паралельних даним, плюс добуток площі поперечного перерізу на координати її центра ваги у нових осях. Тобто:

, ; (2.11)

. (2.12)

Зазначимо, що координати а, b у формулі (2.12) треба підставляти, враховуючи їхній знак.

2.4. Визначення напряму головних осей інерції Головні моменти інерції

Нехай відомі моменти інерції складного перерізу відносно будь-яких центральних осей ху - І_х; І_у; І_ху. Треба визначити кут нахилу головних центральних осей v, u цього перерізу до центральних осей ху та значення головних центральних моментів інерції. Відцентровий момент інерції відносно осей v, u дорівнює нулю.

Тоді кут нахилу α головних центральних осей v, u до центральних ху визначається за формулою:

. (2.13)

Добуті з формули (2.13) два значення кута α різняться між собою на 90° і дають положення головних осей. Менший із цих кутів за модулем не перевищує . Будемо далі користуватися тільки меншим кутом. Проведену під цим кутом (додатним чи від’ємним) головну вісь будемо позначати літерою «u». Нагадаємо, що від’ємні кути α відкладаються від осі х за годинниковою стрілкою.

Головні моменти інерції знаходяться із формул:

; (2.14)

.

Перевірка розрахунків головних моментів інерції робиться за формулою: . (2.15)

Враховуючи, що сума моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей - величина стала, можна зробити висновок, що відносно однієї з головних осей момент інерції має максимальне значення, а відносно іншої - мінімальне.