4. Кручення

4.1. Кручення

Деформація кручення спричинюється парами сил, дії яких перпендикулярні до осі стержня.

Стержні, що працюють на кручення, як правило, називають валами. Розглядаючи кручення вала (наприклад, за схемою, наведеною на рис. 4.1), легко визначити, що під дією скручувального моменту, прикладеного на вільному кінці, будь-який переріз завдовжки х від місця закріплення повертається відносно закріпленого перерізу на певний кут φ - кут закручування.

Рис. 4.1. Розрахункова схема вала

При цьому чим більший крутний момент М_к, тим більший і кут закручування. Залежності φ = f(М_к), які називаються діаграмами кручення, можна одержати експериментально на відповідних випробувальних машинах за допомогою спеціального записуючого пристрою. Вигляд такої діаграми (знятої при поступовому збільшенні навантаження аж до руйнування) для вала завдовжки , виготовленого з пластичного матеріалу,наведено на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Діаграма кручення

Розглядаючи діаграму кручення, неважко переконатися, що вона подібна до діаграми розтягання - характерні ділянки та точки аналогічні тим, які є на діаграмі розтягання. На рис. 4.2: М_пц - момент, до якого зберігається прямолінійна залежність між навантаженням та деформацією; М_Т - момент, що відповідає текучості; М_В - крутний момент, який спричинює руйнування вала.

Умови жорсткості та міцності при деформації кручення також подібні умовам жорсткості й міцності при розтягу або стиску. Так умова жорсткості при крученні має вигляд:

, (4.1)

де φ - кут повороту поперечного перерізу вала в радіанах;

М_кр - крутний момент в поперечному перерізі вала;

l - довжина вала;

G - модуль пружності другого роду (для сталі МПа);

І_р - полярний момент інерції (для круглого поперечного перерізу );

[φ] - допустимий кут повороту поперечного перерізу вала.

Умова жорсткості при крученні може мати і такий вигляд:

, (4.2)

де γ - відносний кут закручування круглого стержня.

В машинобудуванні приймають: при статичному навантаженні [γ] = 0,3° на кожний метр довжини вала; при змінних навантаженнях [γ] = 0,25°/м; при ударних навантаженнях 0,5°/м.

Умова міцності при крученні має вигляд:

, (4.3)

де - максимальні дотичні напруги на поверхні вала;

- полярний момент опору при крученні, . Для суцільного круглого перерізу .

Тоді: , (4.4)

Отже, максимальне дотичне напруження в круглому стержні, що скручується, пропорційне крутному моменту та обернено пропорційне кубу зовнішнього діаметра стержняd. При статичному навантаженні [τ] = (0,5 ÷ 0,6) [σ_р] - без урахування концентрації напружень та інших факторів, що зменшують міцність.

Зовнішній крутний момент можна виразити безпосередньо через потужність та частоту обертанняn (або кутову швидкість обертання ), виходячи з формул:

; (4.5)

. (4.6)

4.2. Епюри крутних моментів

Внутрішній момент виражається через зовнішній крутний момент М_к. у перерізі дорівнює сумі зовнішніх моментів М_к, розташованих по один бік від перерізу. Якщо вал обертається рівномірно, то алгебраїчна сума всіх М_к дорівнює нулю. Тому при визначенні матимемо один і той же результат, незалежно від того, чи будемо брати суму моментів М_к, розташованих ліворуч або праворуч від перерізу.

Крутний момент М_к вважається додатним, якщо при спостеріганні з лівого торця вала, вздовж осі розглядуваної частини, він намагається обертати переріз за годинниковою стрілкою.

Рис. 4.3. Розрахункова схема вала

Приклад 1. Побудуємо епюру крутних моментів для трансмісійного валу (рис. 4.3). Спочатку розбиваємо вал на чотири ділянки. Початок координат вибираємо у крайній лівій точці.

Розріжемо першу ділянку та відкинемо праву частину валу. Оскільки тертям у підшипниках нехтуємо:

; при .

Розріжемо другу ділянку валу та теж відкинемо його праву частину, тоді:

нм; .

Розріжемо третю ділянку валу:

Нм.

Розглянемо четверту ділянку, і теж відкинемо праву частину, тоді: Нм.

Крутний момент на кожній ділянці не залежить від абсциси перерізу, тому епюра крутних моментів має вигляд прямокутників. У перерізах, де прикладені зосереджені зовнішні моменти М_к, утворюються стрибки на значення цих моментів (рис. 4.3, б).

Побудована епюра показує, що хоч до вала й прикладено зовнішній крутний момент, який дорівнює 300 Нм, проте найбільший крутний момент у перерізі дорівнює лише 240 Нм. Це значення й треба використовувати при розрахунках на міцність та жорсткість вала.

Враховуючи, що для суцільного круглого вала , можна на підставі виразу (4.3) записати розрахункову формулу для визначення діаметра вала з умови міцності:

. (4.7)

При проектуванні трубчатого вала спочатку задаються співвідношенням внутрішнього та зовнішнього його діаметрів, тобто коефіцієнтом , а потім знаходять зовнішній діаметр вала:

. (4.8)

Визначивши розміри вала з умови міцності, перевіряють вал на жорсткість, використовуючи для цього умову жорсткості (4.1) або (4.2).

Якщо при перевірці виявиться, що умова жорсткості виконується, то на цьому, як правило, закінчується розрахунок вала. В противному разі розміри вала треба добирати з умови жорсткості (4.2):

. (4.9)

Підставляючи в цю формулу вираз полярного моменту інерції, знайдемо, що для суцільного вала:

, (4.10)

для трубчатого вала:

. (4.11)

Приклад 2. З умов міцності та жорсткості визначити діаметр суцільного вала (рис. 4.4) при таких значеннях моментів, які передаються шківами: М₁ = 0,6 кНм; М₂ = 0,8 кНм; М₃ = 2 кНм; М₄ = 0,6 кНм. Допустиме напруження [τ] = 20 МПа, допустимий відносний кут закручування [γ] = 1/4 °/м або [γ] = π/(180 × 4) м^-1. Модуль пружності сталі при зсуві G = 8 × 10⁴ МПа.

Будуємо епюру крутних моментів (вона подібна епюрі крутних моментів в прикладі 1). Найбільший момент діє на другій ділянці вала

кНм.

Знаходимо діаметр вала з умови міцності, використовуючи формулу (4.7): .

Тепер знайдемо діаметр вала з умови його жорсткості, використовуючи формулу (4.10):

.

Із двох діаметрів слід вибрати більший (d = 8 см), знайдений з умови жорсткості.

Тепер визначимо відносні кути закручування вала на окремих ділянках, використовуючи формулу (4.2):

Рис. 4.4. Розрахункова схема вала

;

;

.

Знаючи відносні кути закручування на окремих ділянках, будуємо епюру γ (рис. 4.4).

Для побудови епюри кутів повороту поперечного перерізу вала будемо вважати лівий кінець вала нерухомим.

Оскільки в межах однієї ділянки γ = const, то кут закручування змінюється за лінійним законом. Тоді

;

;

.

Приклад 3. Замінити суцільний вал діаметром d = 300 мм трубчатим рівноміцним валом із зовнішнім діаметром d₃ = 350 мм. Знайти внутрішній діаметр трубчатого вала d_В та порівняти ваги цих валів.

Максимальні дотичні напруження в обох валах мають бути однаковими: .

Звідси визначимо коефіцієнт α:

.

Внутрішній діаметр трубчатого вала:

мм.

Співвідношення ваги дорівнює співвідношенню площ поперечних перерізів: .

З цього прикладу видно, що виготовлення трубчатих валів, тобто валів, у яких малонавантажену внутрішню частину вилучено, - вельми ефективний засіб зниження затрат матеріалу, а отже, і зниження ваги валів. Так рівноміцний трубчатий вал з трохи більшим зовнішнім діаметром (350 мм), порівняно з суцільним валом (300 мм), виявився легшим за суцільний на 53,4 %. Цей приклад свідчить про раціональність застосування трубчатих валів, які широко використовуються в деяких галузях сучасного машинобудування, зокрема в моторобудуванні.