4.3. Крученням із згинанням

Крученням із згинанням відноситься до складного опору. Під складним опором розуміють різні комбінації раніше розглянутих простих напружених станів (розтягування, стискання, кручення та згинання).

У загальному випадку навантаження у поперечних перерізах можуть діяти шість компонентів внутрішніх сил - N, Q_у, Q_z, М_у, М_z, М_кр пов’язаних з чотирма простими деформаціями стержня розтяганням (стисканням), зсувом, крученням та згинанням.

Чогось принципово нового задачі складного опору при достатньо жорстких стержнях не вносять, оскільки спільна дія зазначених зусиль призводить до напруженого стану, який можна здобути додаванням напружених станів, спричинених кожним видом простого навантажування окремо. Вміючи визначати нормальні та дотичні напруження в різних точках стержня, а також головні напруження, можна за тією чи іншою теорією міцності перевірити міцність даного стержня. Аналогічно може бути вивчена деформація або переміщення стержня шляхом відповідного складання переміщень, що знаходять при окремих більш простих навантажуваннях.

Принцип додавання дії сил можна застосовувати в усіх випадках, коли деформації малі й відповідають закону Гука.

На практиці одночасна дія всіх силових факторів спостерігається не часто. Частіше доводиться мати справу з різними їх комбінаціями. Наприклад, в машинобудуванні та використанні технічних засобів найчастіше деталі машин находяться під дією одночасного згинання та кручення.

Тиск на зуби шестерень, вага шестерень і валів в коробках передач двигунів внутрішнього згорання чи редукторів, натяг ременів, вага шківів в валах трансмісій, спричинюють у поперечних перерізах валів згинальні моменти М_у, М_z, крутні моменти М_кр та поперечні сили Q_у, Q_z. При розрахунках валів на міцність і жорсткість внутрішніми поперечними силами Q_у та Q_z, як правило, нехтують. Таким чином, при згинанні з крученням в будь-якому поперечному перерізі одночасно виникають значні нормальні напруження від згинання в двох площинах й дотичні напруження від кручення.

На рисунку 4.5 показано сталевий вал трансмісії, на якому знаходяться три шківи.

Рис. 4.5. Схема вала

Перший ведучий шків передає крутний момент М₁, а шківи другий та третій ведені передають крутні моменти М₂ і М₃. При цьому:

М₁ = М₂ + М₃.

Пас ведучого шківа розташований вертикально, а ведених — горизонтально. Крутний момент на ведучому шківу діє за годинниковою стрілкою, тому крутні моменти на ведених шківах повинні діяти проти годинникової стрілки.

Розглянемо сили, які діють на вал трансмісії, рахуючи, що натяг ведучих віток паса в два рази більший натягу ведених віток (Т= 2t).

На рисунку 4.6 показана схема зовнішніх сил, діючих на вал трансмісії. Як бачимо з рисунку на вал трансмісії діють два крутних моменти М_Т і М_t, та сила, яка згинає вал Р. Причому М_Т= Т r, М_t = t r, а сила Р = Т + t. Крутний момент М_Т діє за годинниковою стрілкою, а М_t - проти. У результаті крутний момент, який передається шківом на вал, дорівнює

.

Рис. 4.6. Схема сил, що діє на вал

Окрім того, вал трансмісії згинається під дією поперечної сили Р, яка дорівнює: . (4.12)

Знаючи крутні моменти, які передаються шківами на вал, та радіуси шківів можна знайти натяг ведених віток пасів на кожному шківі по формулі: , (4.13)

а потім і силу Р по формулі 4.12.

На рисунку 4.7, а показана розрахункова схема вала трансмісії; 4.7, б - епюра крутих моментів; 4.7, в - розрахункова схема сил, діючих у горизонтальній площині; 4.7, г - епюра згинальних моментів у горизонтальній площині; 4.7, д - розрахункова схема сил, діючих у вертикальній площині; 4.7, е - епюра згинальних моментів у вертикальній площині; 4.7, ж - сумарна епюра згинальних моментів.

-

Рис. 4.7. Розрахункова схема вала

При побудові епюри сумарних згинальних моментів використовується залежність:

(4.14)

Таким чином, сумарний згинальний момент в першому та п’ятому поперечному перерізах дорівнює нулю:

;

;

.

Як бачимо на рисунку 4.7, ж епюра сумарних згинальних моментів побудована по один бік від осі. Характерні точки епюри сполучаються на крайніх ділянках прямими лініями, а на середніх - криволінійними.

Таку залежність для загального випадку неважко доказати аналітично.

Порівнюючи побудовані епюри, можна зробити висновок, що небезпечним перерізом валу трансмісії буде переріз 3, оскільки в ньому діє максимальний сумарний згинальний момент та максимальний крутний момент.

Тепер у небезпечному перерізі треба знайти небезпечні точки. Відомо, що максимальні нормальні напруження при поперечному згинанні знаходяться в точках балки найбільш віддалених від нейтрального слою. Також відомо, що максимальні дотичні напруження при крученні знаходяться на поверхні вала. На рисунку 4.8 показано розподіл нормальних напружень при згинанні валу та дотичних напружень при його крученні.

Очевидно, небезпечними точками є точки А та В, які найбільш віддалені від нейтральної лінії, в них одночасно і нормальні напруження від згинання і дотичні напруження від кручення мають найбільші значення. Виділений елемент у небезпечній точці перебуває в плоскому напруженому стані. Аналогічний напружений стан ми мали у брусі, що згинається, тому головні напруження треба визначати за тими самими формулами:

Рис. 4.8. Розподіл напружень, що діють в перерізі вала

; ;.

Різниця лише в тому, що в останньому випадку дотичні напруження спричинюються крутним моментом, а при згинанні вони спричинювалися поперечною силою. Як було вказано вище, при згині з крученням впливом дотичних напружень від поперечних сил ми нехтуємо, оскільки вони значно менші, ніж дотичні напруження, спричинені крученням.

Для перевірки міцності треба вибрати відповідну теорію міцності та знайти приведений момент.

Наприклад, по третій теорії міцності приведений момент дорівнює:

, (4.15)

а по четвертій —

(4.16)

Тоді умова міцності при спільній дії згинання з крученням має такий простий вигляд: . (4.17)

Розв’язуючи нерівність (4.17) відносно W, дістанемо формули для визначення моменту опору переріза вала:

(4.18)

та діаметра валу: . (4.19)

Зазначимо, що наведені формули цілком придатні й для валів кільцевого перерізу.

Розглянемо приклад розрахунку вала на кручення зі згинанням.

Приклад 1. На вал (рис. 4.9) насаджені три зубчастих колеса. Колеса навантажені силами Р₁ = 4000 н, Р₂ = 3000 н, Р₃ = 2000 н, причому сила Р₁ - вертикальна, а сили Р₂ та Р₃ - горизонтальні. Діаметри зубчастих коліс такі: D₁ = 100 мм; D₂ = 300 мм; D₃ = 250 мм. Допустимі напруження [σ] = 60 МПа. Треба підібрати діаметр вала.

Рис. 4.9. Розрахункова схема вала

Замінимо діюче навантаження статично еквівалентною системою сил.

Перенесемо сили Р₁ Р₂ та Р₃ на вісь вала, замінюючи кожну з них силою, прикладеною в точках В, С або D відповідно, та крутними моментами пар сил ; ; відповідно.

Таким чином одержимо розрахункову схему (рис. 4.9). На схемі наведено як значення прикладених зовнішніх навантажень, так і значення опорних реакцій в горизонтальній та вертикальній площинах. Опорні реакції знаходились за допомогою рівнянь статики.

Розглядаючи окремо сили в горизонтальній та вертикальній площинах, будуємо епюри згинальних моментів в цих площинах (рис. 4.10, а і б).

Для побудови сумарної епюри згинальних моментів (рис. 4.10, в) визначаємо ординати в характерних точках за формулою (4.14):

у перерізі В

;

у перерізі С

;

у перерізі D

.

На ділянках ВС та СD епюра сумарних моментів має завищені значення ординат. Їх дійсні значення показано штриховою лінією.

Розглядаючи крутні моменти, які діють на вал, будуємо епюру крутних моментів (рис. 4.10, г).

Аналізуючи сумарну епюру згинальних моментів М та епюру крутних моментів М_кр знаходимо, що небезпечним є переріз 1-1 ліворуч від точки С, де одночасно діють М = 714,2 Нм та М_кр = 250 Нм.

Рис. 4.10. Схема епюр навантажень, що діють на вал

Згідно з IV теорією міцності, приведений момент визначаємо за формулою (4.16):

.

Підставляючи приведений момент у формулу (4.18) знаходимо потрібний осьовий момент опору:

і поклавши, обчислюємо потрібний діаметр вала:

.

Округливши до найближчого стандартного діаметра, вибираємо d = 50 мм.