Пociбник / rozdil6

6. ДИНАМІЧНІ НАВАНТАЖЕННЯ

6.1. Загальні положення

Досі ми вивчали дію на деталі споруд статичних навантажень. Як відомо з попереднього, статичні навантаження змінюють свою величину від нуля до кінцевих значень настільки повільно, що прискорення, які виникають у елементах споруд досить малі. Але досить часто навантаження мають динамічний характер, так як змінюються з часом з великими швидкостями. Дії таких навантажень супроводжуються коливаннями споруд та їх окремих елементів.

Напруження, які виникають при коливаннях деталей можуть в багато разів перевищувати по своїй величині напруження від дії статичних навантажень.

Розрахунок деталей споруд на динамічне навантаження більш складний, ніж розрахунок на статичне навантаження. Трудність розрахунків у більш складних методах визначення внутрішніх зусиль і напружень, які виникають від дії динамічного навантаження і у більш складних методах визначення механічних властивостей матеріалів при динамічному навантаженні.

Наприклад, при дії ударного навантаження багато матеріалів, які при статичній дії навантажень виявлялися пластичними, працюють як тендітні. При дії багато повторюваного змінного навантаження міцність матеріалів різко понижується.

Загальний метод розрахунку на динамічне навантаження оснований на принципі Даламбера. Згідно з цим принципом, будь-яке тіло, яке рухається, може розглядатися як тіло, яке знаходиться в стані миттєвої рівноваги, якщо до діючих на нього зовнішніх сил додати силу інерції, яка дорівнює добутку маси тіла на його прискорення та направлену в сторону, протилежну прискоренню. Тому в тих випадках, коли відомі сили інерції, без всяких обмежень можна застосовувати метод перерізів і для визначення внутрішніх зусиль використовувати рівняння рівноваги.

У тих випадках, коли визначення сил інерції не можливо, як, наприклад, при ударі, для визначення динамічних напружень і деформацій використовується закон збереження енергії.

6.2. Розрахунок напружень при рівноприскореному русі

У багатьох випадках прискорення, з якими переміщуються деталі машин, відомі. Динамічні напруження в цих випадках вираховуються без труднощів. Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1. Вантаж вагою Q піднімають угору з прискоренням а (рис. 6.1). Треба визначити напруження в канаті, нехтуючи його вагою.

Розв'язок. Прикладемо до вантажу силу інерції, яка дорівнює і направлену донизу. Застосовуємо метод перерізів. Робимо розріз т - п і відкидаємо верхню частину канату. Внутрішнє зусилля в

Рис. 6.1. Розрахункова схема

в канаті позначимо . Оскільки напруження при центральному розтягу рівномірно розподілені в поперечному перерізі, то можемо прийняти, що , де - динамічне напруження в канаті. Проектуючи усі сили, в тому числі і сили інерції, на вертикальну вісь, отримаємо:

.

Або: , (6.1)

де - напруження при статичній дії вантажу;

- динамічний коефіцієнт.

Таким чином, динамічні напруження в багатьох випадках можуть бути виражені через статичні напруження і динамічний коефіцієнт. Це дуже зручно, так як величину динамічного коефіцієнта часто визначають дослідним шляхом.

Приклад 2. Стержень, погонна вага якого дорівнює q піднімають за допомогою двох канатів, прив’язаних до його кінців (рис. 6.2). Рух поступовий з прискоренням а. Визначити напруження в стержні.

Розв'язок. Прикладаємо до кожного елементу стержня довжиною, рівною одиниці, силу інерції . Тоді бачимо, що ця задача еквівалентна задачі про просту балку, навантажену рівномірно розподіленою навантаженням інтенсивністю .

Найбільший згинаючий момент буде в поперечному перерізі посередині балки:

,

Рис. 6.2. Розрахункова схема

де - згинаючий момент від статично рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю q;

- динамічний коефіцієнт.

Найбільше динамічне напруження визначається за звичайною формулою згину:

. (6.2)

6.3. Визначення переміщень та напружень при ударі

Розглянемо випадок поздовжнього удару вантажу по нерухомому тілу. Нехай вантаж вагою G падає з висоти h на нерухомий стержень (рис. 6.3, а, б). Швидкість тіла в момент удару визначається за відомою формулою вільного падіння: .

Ця швидкість за дуже короткий проміжок часу удару впаде до нуля. Завдяки великій величині прискорення з’являється значна сила інерції, величиною якої і визначається дія удару.

Рис. 6.3. Розрахункова схема

Однак теоретично важко встановити закон зміни швидкості під час удару, а тому і величину сили інерції. Тому в цьому випадку застосовується інший шлях, оснований на законі збереження енергії і на наступних припущеннях.

1. Напруження при ударі не перевищує границю пропор-ційності, тому закон Гука при ударі зберігає свою силу.

2. Тіла після удару не відокремлюються одне від одного.

3. Маса стержня, що ударяється, рахується малою в порівнянні з масою тіла яке ударяє, тому в розрахунок не приймається.

4. Втратою частини енергії, що переходить в теплову енергію і в енергію коливального руху тіл нехтуємо.

5. Прирівнюємо роботу падаючого вантажу потенціальній енергії деформації стержня.

Робота, яка здійснюється вагою падаючого вантажу, дорівнює:

, (6.3)

де - переміщення в точці удару, яке дорівнює скороченню стержня під час удару (рис. 6.3, а).

Потенціальна енергія деформації стержня при стиску:

. (6.4)

Прирівнюючи роботу падаючого вантажу (6.3) до потенціальної енергії деформації (6.4) маємо:

Або .

Поділив усі члени цього рівняння на EF будемо мати:

.

Але - скорочення стержня від статично прикладеного навантаження G. Тоді розв’язавши це квадратне рівняння відносно , одержимо:

.

Залишивши знак плюс (розв’язок зі знаком мінус перед радикалом заперечує фізичному замислу задачі), получимо остаточно:

. (6.5)

де К_дин - динамічний коефіцієнт.

Поділивши обидві частини останнього рівняння на довжину стержня та помноживши на модуль пружності Е, перейдемо, на основі закону Гука, від деформації до напруження:

(6.6)

З цих формул видно, що величини динамічного напруження і переміщення залежать від величини статичної деформації тіла, яке ударяє. Чим більша статична деформація, тим менше динамічне напруження.

Ось чому, щоб пом’якшити удар, застосовують прокладки (гумові, пружинні), які дають великі деформації.

При стискувальному ударі, щоб не було подовжнього згину, динамічні напруження не повинні перевищувати критичних напружень.

Аналогічний вигляд мають формули і для випадку поперечного удару, тільки в цьому випадку замість потрібно визначати статичний прогин балки в місті удару - у_ст , а замість динамічний прогин - у_дин (рис. 6.3, б).

Часткові випадки:

1. Якщо h = 0, тобто має місце раптового прикладення навантаження, то з формул (6.5) та (6.6) будемо мати:

; .

При раптовому прикладенні навантаження деформації і напруження в два рази більші, чим при статичній дії того ж навантаження.

2. Якщо висота падіння h значно більша статичної деформації , то для визначення динамічного коефіцієнта будемо мати наближену формулу:

.

Приклад. На сталеву двотаврову балку № 27а падає вантаж G =1кН посередині прогину довжиною 3м. Вантаж падає з висоти h = 10см. Момент інерції поперечного перерізу балки І_х = 5500 × 10^-8м. Момент опору W_х = 407 × 10^-6м³ (з таблиць сортаменту). Е = 2 × 10⁵МПа. Визначити найбільший прогин балки та максимальне напруження в її поперечному перерізі.

Розв’язок. Вираховуємо статичний прогин балки під вантажем за формулою:

.

Динамічний коефіцієнт дорівнює:

.

В даному випадку динамічний ефект падаючого вантажу в 64 рази перевищує його статичний ефект.

Вираховуємо статичне напруження в балці від вантажу G.

Найбільший згинаючий момент буде в середньому перерізі балки:

.

Найбільше статичне напруження дорівнює:

.

Тоді найбільше динамічне напруження буде дорівнювати:

.

З цього прикладу бачимо, наскільки небезпечними за своєю дією являються динамічні навантаження. Тому в цьому випадку допустимі напруження при ударі приймають більш низькими, чим при дії статичних навантажень.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Як обчислюють напруження у деталях при рівноприскореному поступальному русі.

2. Що називається динамічним коефіцієнтом.

3. Чому дорівнює динамічний коефіцієнт при ударі.

4. Чи залежить напруження при згинальному ударі від матеріалу балки.

5. У якому випадку виникнуть більші напруження при згинальному ударі: при покладенні балки на ребро чи площиною.

6. Від яких факторів залежить напруження при ударі.

130