2. Геометричні характеристики плоских перерізів

2.1. Основні геометричні характеристики

Плоских перерізів

Опір деталей машин та елементів конструкцій зовнішнім силам залежить не тільки від розміру поперечного перерізу, але і від його форми чи розташування в просторі.

Момент опору деталей машин і елементів конструкцій при згині чи крученні визначається за допомогою геометричних характеристик плоских перерізів.

Познайомимось з ними. Для цього розглянемо довільний поперечний переріз, розташований в координатних осях Ох та Оу (рис. 2.1).

Рис. 2.1..Розрахункова схема

Виділимо елемент площі dF з координатами х у. Тоді статичним моментом площі відносно осей О х і О у буде:

; . (2.1)

Позначивши х_цт , у_цт. координати центра ваги поперечно­го перерізу, на підставі теореми про момент рівнодійної можна записати такі вирази:

; , (2.2)

де F - площа поперечного перерізу.

Статичний момент може бути додатним чи від’ємним або дорівнювати нулю.

Статичний момент дорівнює нулю відносно осі, яка проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Із формули (2.2) випливає:

; . (2.3)

Осьовим або екваторіальним моментом інерції площі поперечного перерізу називають інтеграл добутків площ елементарних площадок на квадрати відстаней їх від розглядуваної осі, що лежить у площині поперечного перерізу:

; . (2.4)

Полярним моментом інерції площі поперечного перерізу відносно даної точки (полюсаО) (рис. 2.1) називають інтеграл добутків площ елементарних площадок на квадрати відстаней їх від полюса:

. (2.5)

Якщо через полюс проведено систему прямокутних осей х і у, то . Тоді з виразу (2.5) маємо:

. (2,6)

Зазначимо, що осьові і полярні моменти інерції можуть набирати лише додатних значень.

Відцентровим моментом інерції називають інтеграл добутків площ елементарних площадок на відстані їх від осей х та у :

(2.7)

Відцентровий момент інерції залежно від положення осей може бути додатним чи від’ємним або дорівнювати нулю. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називають головними осями інерції. Дві взаємно перпендикулярні осі, з яких хоча б одна є віссю симетрії поперечного перерізу, завжди будуть його головними осями інерції. Головні осі, що проходять через центр ваги поперечного перерізу, називають головними центральними осями.

Осьові моменти інерції відносно головних центральних осей мають екстремальні значення і тому називаються головними центральними моментами інерції.

Статичний момент площі поперечного перерізу виражається в одиницях довжини в третій степені (наприклад, см³), а осьові, полярні і відцентрові моменти - в одиницях довжини в четвертій степені (наприклад, см⁴).

Осьовий момент опору поперечного перерізу дорівнює:

; . (2.8)

де у_мах і х_мах - відстань від осі х та осі у до найбільш віддаленої точки перерізу.

Полярний момент опору поперечного перерізу дорівнює:

(2.9)

де _мах - відстань від полюсу до найбільш віддаленої точки перерізу.

Наприклад, в інженерних розрахунках валів:

,

де D - діаметр вала.

Радіус інерції поперечного перерізу відносно головних центральних осей дорівнює:

;. (2.10)