3. З г и н
3.1. Внутрішні і зовнішні силові фактори
Балками називаються прямолінійні стержні, що працюють на згинання. З точки зору розрахунків на міцність, жорсткість та стійкість балкою є не тільки будівельна балка, а також і вал, болт, вісь залізничного вагона, зуб шестерні тощо.
Балки мають опорні пристрої - опори, які схематизують у вигляді трьох основних типів (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Схеми опор балок
На рис. 3.1 показані: шарнірно-рухома опора (рис. 3.1, а), шарнірно-нерухома опора (рис. 3.1, 6) та жорстке закріплення (рис. 3.1, с), а також можливі опорні реакції.
При плоскому згинанні в будь-якому перерізі балки можуть бути два внутрішніх зусилля: поперечна сила Q і згинальний момент М.
На рис. 3.2 показано правило знаків Q та М для лівої і правої частин балки.
Поперечна сила в перерізі Q дорівнює сумі зовнішніх поперечних сил по одну сторону від переріза.
Згинальний момент М в перерізі дорівнює сумі зовнішніх згинальних моментів по одну сторону від перерізу, взятих відносно центра ваги поперечного перерізу.
Рис.3.2. Схема внутрішніх зусиль, що виникають в балці
3.2. Диференціальні залежності при згинанні
Визначимо деякі характерні особливості епюр поперечних сил Q та згинальних моментів М, знання яких полегшує побудову епюр і дає змогу певною мірою контролювати їх правильність.
Розглянемо яку-небудь балку з довільним навантаженням (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Розрахункова схема балки
Запишемо рівняння поперечних сил Q для перерізу І-І.
(3.1)
Запишемо рівняння поперечних сил Q для перерізу II—II, який знаходиться на малій відстані від перерізу І-І, що дорівнює dx:
(3.2)
Підрахуємо приріст поперечної сили dQ, на малій відстані dx віднявши перше рівняння від другого:
.
Тоді:
(3.3)
Зробимо теж саме і для згинальних моментів М. Запишемо рівняння внутрішніх згинальних моментів для перерізу І-І:
(3.4)
Запишемо рівняння внутрішніх згинальних моментів для перерізу II—II:
(3.5)
Підрахуємо
приріст згинального моменту на відстані
dx
віднявши
рівняння (3.4) від рівняння (3.5). Тоді,
нехтуючи членом
другого порядку малості, будемо мати:
;(3.6)
. (3.7)
Співвідношення (3.3), (3.6), (3.7) називають диференціальними залежностями при згині.
Одержані диференціальні залежності дають змогу встановити деякі особливості епюр поперечних сил та згинальних моментів, а саме:
1. На ділянках, де немає розподіленого навантаження, епюри Q окреслюються прямими, паралельними базі, а епюри М в загальному випадку - похилими прямими.
2. На ділянках, де до балки прикладене рівномірно розподілене навантаження q епюра Q обмежується похилою прямою, а епюра М - квадратичною параболою. Опуклість параболи звернена в бік, протилежний напряму дії навантаження.
3. У перерізах, де Q = 0, дотична до епюри М паралельна базі епюри.
4. На ділянках, де Q > 0, момент М зростає, тобто зліва направо додатні ординати епюри М збільшуються, а від'ємні - зменшуються.
5. У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили:
а) на епюрі Q будуть стрибки на величину прикладених сил в напрямі їх дії;
б) на епюрі М будуть переломи.
6. У перерізах, де до балки прикладені зосереджені моменти, на епюрі М будуть стрибки на значення цих моментів. Напрям стрибка залежить від напряму зовнішнього моменту.
7. Епюра Q є діаграмою похідної від епюри моментів. Отже, ординати епюри Q пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюри М.