Физика / 9._______________ _________ __ _____

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

242

ϕ = arctg X , Z =

R 2 + X 2 .

(8)

R

У загальному випадку потужність, що виділяється в колі змінного

струму можна записати у вигляді

P(t) = ε(t) I(t) =ε0 cos ωt I0 cos(ωt − ϕ)

P(t) =

1

ε0 I

0 cos ϕ +

1

ε0 I0 cos(2ωt − ϕ) .

(9)

2

2

Таким чином,

миттєва

потужність із

подвоєною частотою

середня потужність становить

P =

1

ε

I

cos ϕ =

1

P cos ϕ, P

=

ε

I

2

2

0

0

0

0

0

0

Р=

1

EoIo cosϕ=

1

Рo cosϕ.

(12)

2

2

З фазової діаграми (див.Мал.28) видно, що

UL=ωLI0

cos ϕ=

R

=

R

= R .

R

2

+ (ωL

−

1

)

2

R 2 + X 2

Z

UL-UC

U

ωC

ϕ

Підставивши останній вираз для косинуса у

вираз для середньої потужності і, врахувавши,

UR=RI0

I0

що I =

Eo

, одержимо

UC =

0

Z

ωC

P =

1

RI02 .

(10)

Мал.28

2

Таку ж потужність розвиває сталий струм,

сила якого дорівнює

I= 1 Io.

(11)

2

U = U =

1

ε0 .

(12)

2

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

243

P = IU cos ϕ.

(13)

потужність у колі виникне тоді, коли фаза ϕ=0.

Дано

Знайти

Приклад 1. Приклад 1. В контурі

ν

C-?

діє змушуюче

джерело

змінного

струму з

=50 Гц

Iд-?

частотою ν=50 Гц і діючою напругою U=220

Uд=220 В

R=50 Ом

В. Контур має R=50 Ом, L=0.1 Гн, а

L=0.1 Гн

відношення напруг U1 на ділянці LR до

n=0.5

напруги U2 на ділянці RC дорівнює n=0.5.

Обчислити ємність контуру та діюче значення сили струму.

Розв'язок

U1 = I R

2

2

= I R

2

+

(ωL)

2

, U 2

= I R

2

2

= I R

2

+ (

1

)

2

+ XL

+ XC

ωC

2

2 +

(

ω

L)

2

1

U1

= n 2

R

= 0.25 C =

= 29.8 µФ

2

R

2

+ (

1

)

ω 3R 2 + 4(ωL)2

U2

ωC

U

I =

= 3.32 A .

R 2 + (ωL − 1

)

ωC

поверхнею SV

r

r

(1)

∫ adS =

∫∫∫divadV ,

SV

VS

де

∂a y

r

∂a

x

∂a

z

diva

=

+

+

,

(2)

∂x

∂y

∂z

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

244

поле, через довільний замкнутий контур LS

у цьому полі, дорівнює потокові

вектора rot ar (ротор ar) через поверхню SL , натягнуту на контур LS

∫ ardl = ∫∫ rotardS .

(3)

LS

SL

Значення компонент вектора rot ar

у декартових координатах дає визначник,

розкритий через перший рядок (направляючі орти осей х, y, z)

ri

rj

kr

rota =

∂

∂

∂

,

(4)

∂x

∂y ∂z

a x

a y

a z

і в явному вигляді їх можна записати так

r

∂

∂a

y

r

∂

∂

r

∂a

y

∂

r

a z

a x

a z

a x

rota

−

+

−

−

(5)

=

∂y

∂z

i

∂z

∂x

j +

∂x

∂y

k .

I =

dq

.

(6)

dt

За теоремою Остроградського - Гауса заряд q можна виразити через потік

r

вектора індукції D електричного поля через замкнену поверхню S

конденсатора

r

r

ФD = ∫∫∫DdS = q .

(7)

І тепер

S

r r

r

r

d

I =

= ∫∫∫

dD

(8)

dt

∫∫∫DdS

dt

dS .

S

S

Максвелл висунув гіпотезу, згідно якої через діелектрик протікає струм Iзм

рівний струму І, який було названо струмом зміщення. Густина струму

зміщення дорівнює

r

r

dD

j

=

.

(9)

зм

dt

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

245

індукції в контурі дорівнює

r r

εi = ∫Edl

а магнітний потік і швидкість його зміни можна записати у вигляді

r

r

dФ

r

r

dB

dФ = ∫∫BdS,

= ∫∫

dS

dt

dt

SL

SL

Тепер, зважаючи на закон Фарадея

dФ

εi

= −

,

можна записати рівність

dt

r

r

r

dB

(10)

∫Edl = −∫∫

dt

dS,

LS

SL

яка представляє собою перше рівняння Максвелла в інтегральній формі.

Застосовуючи теорему Стокса (3), ліву частину (10) можна записати у

вигляді

r r

r

r

∫Edl

= ∫∫rotE dS .

(11)

LS

SL

диференціальне рівняння Максвеллаr

r

∂B

.

(12)

rotE = −

∂t

представляється законом повного струму з врахуванням струму зміщення

r r

∫Hdl

= I + Iзм,

(13)

LS

де I - струм, створюваний вільними носіями струму, Iзм − струм зміщення,

інтегрування проводиться по замкненому контуру LS , що охоплює поверхню

SL . Зважаючи на те, що

r

r r

r

∫

∫

∂D

I =

jdS

і Iзм =

∂t

dS ,

(14)

SL

SL

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

246

Підставивши цей вираз, одержимо друге рівняння Максвелла в

диференціальній формі

r

r

r

∂D

rotH = j +

.

(17)

∂t

Третє рівняння Максвелла. Третє рівняння Максвелла випливає з

теореми Остроградського - Гауса для індукції електричного поля

r

r

∫ DdS = q ,

(18)

q = ∫ ρdV

(19)

VS

і після підстановки одержимо третє інтегральне рівняння Максвелла

r r

∫ DdS = ∫ ρdV

(20)

SV

VS

Застосувавши теорему Гауса для зміщення

r r

r

∫ DdS =

∫ divDdV ,

(21)

SV

VS

одержимо третє рівняння Максвелла в диференціальній формі

r

=ρ.

(22)

divD

магнітного поля

r r

∫ BdS = 0 ,

(23)

SV

а саме: потік індукції B магнітного поля через довільну замкнену поверхню

SV дорівнює нулю. Застосувавши теорему Гауса для зміщення

r

r

r

∫ BdS =

∫ divB dV ,

(24)

SV

VS

одержимо четверте рівняння Максвелла в диференціальній формі

r

(25)

divB = 0 .

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

247

поля

r

r

D = εε0 E

(26)

через діелектричну проникливість середовища ε та магнітного поля

r

r

B

=µµ0 H

(27)

через магнітну проникливість µ.

Граничні

умови.

Граничні умови

визначають

напруженість

та індукцію

електричного та магнітного поля при

переході

з

одного

середовища

з

проникливістями ε1 та µ1

в інше середовище

з проникливістями ε2 та µ2

r

. Граничні умови для індукції B та напруженості

r

H магнітного поля установлюються подібно граничним умовам для індукції

r

r

D та напруженості електричного поля E , а тому граничні умови приведемо

без доведення.

Нехай на границі σ поверхнева густина зарядів, nr

одиничний вектор нормалі до поверхні розділу середовищ,

r

τ одиничний

вектор, дотичний до поверхні розділу середовищ,

rjпов

вектор лінійної

густини поверхневого струму провідності.

В цьому випадку рівняння на

індукції магнітного поля B2n

= B1n .

Нормальна складова індукції

електричного поля має стрибок рівний σ

D2n

− D1n

= σ,

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

248

диференціальні рівняння мають вигляд

r

r

r

r

r

∂B

r

∂D

rotE = −

, rotH

=

, divD =

0, divB0.

(1)

∂t

∂t

Узявши від першого рівняння Максвелла операцію rot, матимемо

r

∂

r

∂

r

rotrotE = −

rotB

= − µµ0

rotH .

(2)

∂t

∂t

Підставивши з другого рівняння Максвелла значення rotH матимемо

r

= −εε0µµ0

∂

2 r

(3)

rotrotE

E .

∂t 2

Операція подвійного rot може бути записана так

r

r

r

rotrotE r= −∆E + graddivE ,

(4)

а зважаючи на те, що divE = 0 , маємо

2

r

r

= εε0µµ0

∂

E .

∆E

(5)

Нагадаємо, що оператор Лапласа

∂t 2

r

r

r

∂

r

=

∂2 E

+

∂2 E

+

2 E

.

(6)

∆E

∂x 2

∂y2

∂z2

Одержане рівняння є рівнянням для напруженості Е електромагнітної хвилі

1

r

r

∂2 E

E =

(7)

V 2

∂t 2

з фазовою швидкістю V =

c

, показником заломлення середовища

n = εµ , а

n

1

величина

має розмірність швидкості і є швидкість розповсюдження

ε0µ0

світла с. Аналогічно можна одержати хвильове рівняння і для напруженості

поля

r

1

r

∂2 H

H =

.

V 2

∂t 2

r

r

x

r

r

x

E = f (t −

),

H = ϕ(t −

).

(1)

V

V

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

249

Мал.29.

Плоска електромагнітна хвиля

частинні похідні від

проекцій E y , E x цих векторів на вісі координат OY, OZ

незалежність від координат і часу. Тоді для змінного поля з Ех = Нх = 0

r

r

вектори E, H перпендикулярні напрямкові швидкості розповсюдження хвилі

r

V . Ці три вектори утворюють праву трійку векторів. Приймемо напрям OX

r

r

вздовж вектора H , напрям вектора OZ вздовж вектора E і тоді напрям

r

швидкості V буде вздовж осі OY. Покладемо

r

r

E ={0,0, E z },

H ={0, H y ,0}

та

r

| H |= H = H0 cos(ωt − ky)

| E |= E = E0 cos(ωt − ky),

і після прямої підстановки в рівняння

r

r

r

r

∂H

= εε0 ∂E

rotE = −µµ0

, rotH

(2)

∂t

одержимо

∂t

H

µµo = E εεo .

(3)

§ 65. Поляризація хвилі

r r

Лінійна поляризація. Площина,

утворена

векторами E, V хвилі,

(плоско поляризованою).

r

r

Еліптична поляризація. Якщо в площині

V , кінець вектора E

r

описує еліпс, то така хвиля еліптично поляризована. Це означає, що вектор E

має дві складові, зсунуті по фазі

E x = A1 cos(ωt − ky), E z = A 2 cos(ωt − ky + ϕ) .

(1)

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

250

E 2x

+

E z2

- 2

E x E z

2

cosϕ = sin

ϕ.

(2)

A12

A 22

A1 A 2

r

Природна поляризація. Якщо в площині перпендикулярній вектору

r

кожної миті займає рівно ймовірні напрямки, то така хвиля

V

вектор E

називається природно поляризованою.

§ 66. Енергія, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилі

Об'ємна густина енергії

електромагнітного поля w дорівнює сумі

об'ємних густин енергії електричного wе та магнітного wm полів

w = w e + w m =

1

εε0 E 2 +

1

µµ0 H 2 .

(1)

2

2

Зважаючи на рівність Н

µµo =

Е εεo , одержимо

w =

1 εε0 E

2 = 1

µµ0 H 2

=

εε0µµ0 EH = 1

EH ,

(2)

1

2

2

V

де

V =

-

швидкість

розповсюдження

електромагнітної

хвилі

в

εεo µµo

середовищі,

n =

εµ -показник

заломлення

середовища,

c =

1

-

швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в вакуумі.

εo µo

Для плоскої монохроматичної хвилі E = A cos(ωt − ky) , маємо

w = εε0 A 2 cos2 (ωt − ky) .

(3)

Середнє за період Т значення густини енергії

1

T

< w >=

εε0 A 2 ∫ cos2 (ωt − ky)dt

T

0

1

T

1

< w >=

εε0 A

2 ∫[1 +

cos 2(ωt − ky)]dt

T

2

0

1

< w >=

εε0 A 2 .

(4)

2

В.М.Клименко. Електромагнітні коливання та хвилі

251

r

r

називається вектором Пойнтінга.

Цей вектор є

Вектор S = wV

r

r r

вектором потоку енергії, який можна записати у вигляді S

=[EH] . Промінь

I =< w > V =

1

εεo E02 ,

(5)

або

2

µµo

I =< w > V =

1

µµo H02 ,

2

εεo

густину енергії <w>. Імпульс випромінювання

P =

< w >

.

(6)

c

При відбиванні R випромінювання від поверхні воно передає їй імпульс

рівний

< w > ,

2R

(7)

c

а решта поглинутої енергії (1 - R) випромінювання передає імпульс

(1 − R) < w > .

(9)

c

Разом поверхні буде передано імпульс

2R

< w >

+ (1 − R)

< w >

=< w > (1 + R) .

(10)

c

c

Р = < w >(1 + R),

(11)