Физика / 10.________ ______
.pdfВ.М.Клименко. Хвильова птика |
33 |
|
|
(див.Мал.24). Відстань між максимумами першого порядку, що спостерігаються на екрані, дорівнює а=20,2 см. Визначити: а) сталу дифракційної решітки; б) число рисок на 1 см; в) скільки максимумів дає дифракційна решітка; г) максимальний кут відхилення променів, що відповідають останньому дифракційному максимуму.
Р о з в' я з о к.
а) Стала дифракційної решітки d, довжина хвилі λ та кут відхилення променів ϕ, що відповідає останньому дифракційному максимуму, зв'язані співвідношенням
В.М.Клименко. Хвильова птика |
34 |
|
|
dsin ϕ = kλ, |
(1) |
де k − порядок спектра (у випадку монохроматичного світла — порядок максимумів). У даному випадку
tgϕ≈sin ϕ= a2 : L
Указана наближена рівність має місце, оскільки L>>а/2. Тоді з співвідношення
(1) знаходимо сталу решітки d = 2Laλ .
Підставляючи числові значення та, обчислюючи, одержимо
d = 4.95 10−6 м.
б) Число рисок на 1 мм дорівнює n = d1 = 2.02 105 м-1
1 1
в) Для визначення числа максимумів, що дає гратка, визначимо спочатку максимальне значення k, яке знаходимо з умови, що максимальний кут відхилення променів дифракційною граткою не може перевищувати π/ 2 . З формули (1) одержуємо
kmax = dsinλϕmax
максимальне буде тоді, коли sin ϕ =1, тобто
kmax = λd
Підставляючи числові значення величин та, обчислюючи, знаходимо kmax = 9.9
Але k, обов'язково має бути цілим числом, тому kmax = 9 ( k не може дорівнювати 10, оскільки при такому значенні sin ϕ >1, а це неможливо).
Повне число максимумів з урахуванням нульового N = 2k +1 =19 (максимумів).
г) Максимальний кут відхилення променів, що відповідає останньому максимуму ( k = kmax ), буде
sin ϕ= kmaxd λ = 0.909, ϕ= 65o22'
§ 15. Дифракція рентгенівського випромінювання на кристалічній решітці
В.М.Клименко. Хвильова птика |
35 |
|
|
Просторовою решіткою називається таке оптично неоднорідне середовище, в якому неоднорідності періодично повторюються в усіх трьох просторових напрямках. Прикладом просторової дифракційної решітки може бути кристалічна решітка твердих тіл, де центрами розсіювання є вузли кристалічної решітки: іони, атоми чи молекули.
Вульф та Брег запропонували розглядати дифракцію рентгенівського випромінювання на кристалічній структурі як результат віддзеркалення його від паралельних сітчастих площин кристала, як показано на Мал.25.
Різниця ходу інтерферуючих променів 1' та 2' становить 2dsinα і умовою спостереження максимуму n - го порядку буде
|
|
|
2d sin α = nλ. |
(3) |
|
|
|
Ця |
умова |
лежить |
в |
основі |
|
рентгеноструктурного |
аналізу. |
Аналізуючи |
||||
рентгенограму дифракційної картини, за |
||||||
відомими d і α можна знайти λ, а за даною λ |
||||||
можна визначити періоди кристала. |
|
|||||
|
Вираз (3) називають формулою Вульфа- |
|||||
Брега. |
|
|
|
|
||
Приклад 1. Період кристалічної решітки d=3 нм і перший максимум |
||||||
рентгенівського випромінювання спостерігається під кутом |
α = 30O . |
|||||
Обчисліть довжину хвилі рентгенівського випромінювання λ. |
|
|
||||
|
Р о з в' я з о к |
|
|
|
||
За формулою Вульфа-Брега маємо |
|
|
|
|||
λ = |
2d sin α |
|
= 300 πм. |
|
|
|
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Приклад 2.Обчисліть кут ковзанняα рентгенівського випромінювання з λ = 245 πм по поверхні кристалу кухонної солі з густиною ρ = 2.16 г/см3 і молярною масою µ =58.5 г/моль, якщо при віддзеркаленні цього променя спостерігається максимум другого порядку.
Ро з в' я з о к
Ро з в' я з о к задачі проведемо, використовуючи формулу Вульфа-Брега і,
вважаючи, що одну комірку кристала приходиться один з іонів Na+ абоСl- . Послідовні перетворення дають
2d sin α = nλ, λ = |
2d sin α |
, d = 3 V |
, V |
= |
Vµ |
, V |
= µ |
, |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
m |
0 |
0 |
|
µ |
ρ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2N A |
|
|
|||
|
µ |
, α = arcsin |
|
mλ |
|
о |
|
|
||||
d = |
2ρN A |
23 |
|
µ |
|
= 60 18' . |
|
|
||||
|
|
|
|
2ρNA |
|
|
|
|
|
|
||
В.М.Клименко. Хвильова птика |
36 |
|
|
§ 16. Роздільна здатність оптичного приладу
Згідно розрахунків дифракція Фраунгофера на круглому отворі створює систему світлих та темних кілець, причому кут ϕ, що відповідає границі нульового максимуму (центральна світла пляма, див.Мал.26),
визначається з умови
sin ϕ =1.22 |
λ |
, |
(1) |
|
D |
||||
|
|
|
де D діаметр отвору. Величина R = d1ψ називається роздільною силою об'єктива. Вважаючи, що dψ = ϕ i sinϕ ≈ ϕ маємо
R =1.22D λ .
Роздільна сила об'єктива пропорційна його діаметру.
Приклад . Розгляньте роздільну здатність людського ока. Р о з в ' я з о к
Для людського ока D≈2мм і для λ ≈500 нм
dψ =1.22 5 10−7 =3.05 10−4 рад. (2) 2 10−3
dψ =3.05 10−4 57.296 60 ≈1.05' R = d1ψ =3.3 103
В.М.Клименко. Хвильова птика |
37 |
|
|
Глава 3. Взаємодія світла з речовиною
§ 17. Поширення світла в речовині
Поширення світла в середовищі за класичною теорією відбувається так: падаюче випромінювання збуджує атоми середовища, викликаючи вторинне вимушене випромінювання осциляторів атома, якими є валентні (зовнішні) електрони. Ці електрони ще називаються оптичними. Вторинне випромінювання оптичних електронів когерентне між собою і з первинним
випромінюванням. |
При |
накладанні |
|
вони |
інтерферують, |
утворюючи |
|
прохідну |
хвилю, |
яка |
|
розповсюджується |
в |
напрямку |
|
первинної, а її фазова швидкість залежить від частоти, яка може бути як більше так і менше величини фазової швидкості первинної. При проходженні світла в оптично неоднорідному середовищі виникає розсіювання світла, як результат накладання первинного та вторинного
випромінювань.
При проходженні променя світла 1 крізь границю розділу двох різних середовищ у результаті інтерференції утворюються прохідна 2 та віддзеркалена 1′ хвилі. На Мал.27 і кут падіння світла, і′ кут віддзеркалення, r кут заломлення, ε1 та ε2 діелектричні проникливості.
Для прохідної хвилі виконується закон Снеліуса |
|
||||
sin i |
= |
n2 |
= n12 . |
(1) |
|
sin r |
n1 |
||||
|
|
|
|||
Абсолютний показник заломлення світла визначається відношенням швидкості світла у вакуумі с до швидкості світла у речовині V
n = Vc
і тепер вираз (1) запишемо у вигляді |
|
|||||
|
|
sin i |
= |
V1 |
. |
(2) |
|
|
sin r |
|
|||
|
|
|
V |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
При n1 |
< n 2 існує кут падіння i |
коли спостерігається явище повного |
||||
внутрішнього |
віддзеркалення |
(кут заломлення r = 900 ). Кут i можна |
||||
визначити із закону Снеліуса |
|
|
|
|
||
В.М.Клименко. Хвильова птика |
38 |
|
|
sin i = |
n2 |
= n |
12 |
. |
(3) |
|
|||||
1 |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 18. Поглинання світла
При проходженні світла через середовище частина його енергії переходить у внутрішню енергію (нагрівання тіла), або енергію вторинного випромінювання (фотолюмінісценція), що має інший спектральний склад. Це явище називається поглинанням світла і воно описується законом БугераЛамберта
I(x) = I0 e−κx , |
|
(1) |
де κ коефіцієнт поглинання, І0 |
|
інтенсивність падаючого |
випромінювання. Для розчиненої речовини з концентрацією С коефіцієнт поглинання пропорційний концентрації
κ = αC . |
(2) |
Рівняння плоскої монохроматичної хвилі у поглинаючому середовищі можна записати у вигляді
E = E0 e−κx cos(ωt − kx)
або в експоненціальній формі
|
e |
i(ωt− |
n'ω |
x) |
|
|
E = E0 |
|
, |
||||
|
|
c |
||||
|
|
|
|
|
||
де |
|
|
ω. |
|
||
n' = n − iκ', κ' = κ |
(3) |
|||||
|
|
|
c |
|
||
§ 19. Розсіювання світла
Явище зміни напрямку поширення світла у середовищі називається розсіюванням світла. Це явище виникає при збудженні дипольних моментів оптичних електронів атомів, молекул або іонів оптично неоднорідних середовищ падаючим випромінюванням.
Розсіювання в каламутних середовищах на частинках, розміри яких менше довжини хвилі λ, називається розсіюванням Тиндаля. При проходженні через певну товщу такої речовини в спектрі розсіювання переважає довгохвильова складова і речовина здається червонуватою. Розсіювання Тиндаля описується законом Релея
I ≈ λ−4 , |
(1) |
|
а залежність інтенсивності розсіяного |
світла |
І від кута розсіювання ϑ |
(індикатриса розсіювання) має вигляд |
|
|
I =Iπ 2 (1+ cos2 ϑ), |
(2) |
|
В.М.Клименко. Хвильова птика |
|
39 |
|
|
|
де Iπ 2 інтенсивність світла, розсіяного під кутом ϑ = |
π |
, тобто напрямку |
|
2 |
|
падаючого променя.
Крім указаного, розділяють ще молекулярне розсіювання, викликане неоднорідністю густини речовини при тепловому русі її частинок. Розміри таких неоднорідностей менше довжини хвилі λ. Молекулярне розсіювання спостерігається в атмосфері. Зранку та ввечері сонячне світло червоно - оранжеве, а вдень блакитне.
§ 20. Дисперсія світла
Залежність фазової швидкості світла V у середовищі від його частоти V=V(ν) або від довжини хвилі V=V(λ) називається дисперсією світла. Це явище виникає коли показника заломлення залежить від частоти n=n(ν) або
довжини хвилі n=n(λ). Дійсно, |
|
|
|
|
|||
V(ν) = |
c |
|
або V(λ) = |
c |
. |
(1) |
|
n(ν) |
n(λ) |
||||||
|
|
|
|
||||
При цьому у середовищі відбувається спектральний розклад випромінювання. Наприклад, при проходженні сонячного світла через скляну тригранну призму (дослід Ньютона), спостерігається райдужна картина. Найменший кут заломлення відносно напрямку падаючого променя має червоне випромінювання, а найбільший фіолетове. Для визначення послідовності в дисперсійному спектрі була складена приказка: “каждый охотник желает знать где сидят фазаны” перші літери її слів указують
назву кольорів російською мовою. Області значень ν, де dndν > 0 dVdλ > 0
визначають нормальну дисперсію, а області, де dVdλ < 0 області аномальної дисперсії (див.Мал.28).
§ 21. Групова швидкість
Інформаційний сигнал, як функція часу, може бути представлено у вигляді суперпозиції багатьох монохроматичних хвиль, наприклад, розкладом Фурь'є. Для розуміння сутності процесу передачі інформації у часі, покладемо, що такий сигнал
В.М.Клименко. Хвильова птика |
40 |
|
|
передається за допомогою суперпозиції лише двох хвиль з близькими частотами ω та хвильовими числами k у вигляді
ξ = ξ1 + ξ2 , |
(1) |
|
|
ξ1 = a cos(ωt − kx), ξ1 = a cos[(ω + dω)t − (k + dk)x]. |
(2) |
||
Результат додавання таких хвиль дає |
|
|
|
ξ = A(x) cos(ωt − kx), A(x) = 2acos |
tdω- xdk |
, приdω<< ω, dk << k . |
(3) |
|
|||
2 |
|
|
|
Швидкість передачі сигналу називається груповою швидкістю і вона |
|||
визначається рівнянням для сталої амплітуди коли |
|
||
tdω- xdk = const . |
(4) |
|
|
Варіація δ по змінним t та x від (4) дає таке рівняння |
|
||
δt dω- δx dk = 0 . |
(5) |
|
|
З (5) знайдемо групову швидкість u - швидкість поширення сталої амплітуди
u = δx |
= |
dω |
. |
(6) |
|
|
|||||
|
δt |
|
dk |
|
|
Групова швидкість u |
електромагнітного хвильового пакету, що є |
||||
сумою гармонічних хвиль, |
не |
співпадає |
з фазовою швидкістю V і у |
||
дисперсному середовищі може бути визначена так
u = |
dω |
= |
d(kV) |
= V |
+k dV |
|
dλ |
, |
|
|
||||||||||
dk |
|
|
|
|
dk |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dk |
|
|
|
dλ |
|
|
|
|
||||||||
|
dλ |
= |
d |
( |
2π |
) = − |
|
2π |
= − |
λ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||||
|
dk |
|
dk |
k |
|
|
k2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
u |
= V - |
λ dV . |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При нормальній дисперсії ( dV > |
0 ) групова шкидкість менше фазової |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dλ |
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|||
u<V, а при аномальній u>V. У разі відсутності дисперсії ( |
= 0) групова |
|||||||||||||||||||
dλ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
та фазова швидкості будуть однаковими u=V. Ці висновки справедливі в межах збереження спектральної форми сигналу.
§ 22. Класична електронна теорія дисперсії
Для прозорого діелектрика показник заломлення визначається через відносну діелектричну проникність ε та діелектричну сприйнятливість середовища κ
n2 = ε =1 + κ. |
(1) |
При входженні світла у середовище, виникає поляризація речовини, причому вектор поляризації дорівнюєr
P = n0pre , |
(2) |
В.М.Клименко. Хвильова птика |
41 |
|
|
де no концентрація атомів (молекул) речовини, а pre наведений полем
світла електричний дипольний момент атома (молекули). Нехай атом має |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
один оптичний електрон і pre = −err |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
де |
r |
зміщення |
електрона |
з |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
положення |
|
рівноваги. |
Тепер |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= −n0err, |
а |
|
з |
другого |
боку |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
= κε0E , |
де E |
напруженість |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
електричного |
|
поля |
хвилі |
rі, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
порівнюючи обидва вирази для P , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ = − ner . |
|
(3) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо величину зміщення |
|||||||
діютє квазіпружна сила |
|
|
|
|
|
електрона r при |
умові, що на нього |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2r , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F |
= −kr = −m |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сила опору |
|
|
|
|
|
|
|
γ dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
F |
= −2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
та примусова дія світла |
|
|
0 |
|
|
|
e |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = −eE , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
де me,ω0 маса електрона та циклічна частота |
власних коливань, γ |
|||||||||||||||||||
стала згасання коливань. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер рівняння другого закону Ньютона для оптичного електрона має |
||||||||||||||||||||
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2r |
|
dr |
|
2 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt2 |
+ 2γ |
|
+ ω0r |
= − |
|
|
|
|
|
|
E . |
|
(4) |
|
|
|
|
|
||
dt |
me |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для хвилі Е = Е0cosωt частинний розв'язок цього рівняння можна записати у |
|
|||||||||||||||||||
вигляді |
|
r = A cos(ωt + ϕ0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
− 2γω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ϕ0 = arctg |
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ω2 |
− ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eE0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = −me |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(ω02 − ω2 )2 + 4γ2ω2 . |
|
(6) |
|
|
|
|
||||||||||||||
При незначному поглинанні світла (γ≈0),
В.М.Клименко. Хвильова птика |
42 |
|
|
κ = |
|
|
n0e2 |
|
, |
(7) |
|||
meε0 (ω02 − ω2 ) |
|||||||||
і |
|
|
|
|
|
e2 |
|
||
n2 |
|
|
|
n |
|
||||
=1 |
+ |
|
0 |
|
|
(8) |
|||
meε0 |
(ω02 − ω2 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
Таким чином по мірі збільшення частоти ω від 0 до ωо показник заломлення монотонно збільшується від свого статичного значення
|
n0 e2 |
|
n = |
1+ me ε0 (ω02 − ω2 ) |
(9) |
до + ∞. При ω → ω0 значення n неперервно змінюється з + ∞ до - ∞ і в міру
зростання ω зростає від - ∞ до 1. Залежність показника заломлення n та коефіцієнта поглинання χ від частоти представлена на Мал.29.