Физика / 10.________ ______
.pdf
В.М.Клименко. Хвильова птика |
13 |
|
|
вкладаються на довжині клина 1 см, тоді шуканий кут, як видно з рисунка, дорівнюватиме
α = |
dk+10 |
, |
(4) |
|
L |
||||
|
|
де через малість |
||
|
|
|
||
|
|
|
заломлюючого кута клина |
|
|
|
|
sin α ≈ α( α − кут у радіанах). |
|
|
|
|
Знаходячи dk та dk+10 з |
|
|
|
|
формули (3) й, підставляючи у |
|
|
|
|
формулу (4), маємо |
|
|
|
|
α = 5λ |
|
|
|
|
nL |
|
|
|
|
Підставляючи в останню |
|
величин, дістанемо |
|
формулу числові значення |
||
|
|
|||
§ 6. Кільця Ньютона
Кільця Ньютона інтерференційна картина, що спостерігається в оптичній схемі, представленій на Мал.6. Плосковипукла лінза з достатньо великим радіусом кривизни R повернена випуклою поверхнею до плоскої пластинки П і дотикається до неї у точці О.
Паралельний пучок світла падає нормально на плоску поверхню лінзи і частково відбивається від верхньої та нижньої поверхонь повітряного простору між пластинкою та лінзою. При накладанні відбитих хвиль виникають інтерференційні кільця, які відповідають певним радіусам, що визначають різницю ходу променів. З наведеного малюнку видно, що
|
|
|
2 = r2 |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
r2 |
||
|
|
R |
+ (R − h |
k |
h |
k |
= |
k |
, |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|||
а оптична різниця ходу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
λ |
|
|
|
||
|
|
|
∆L = 2hk + |
|
= |
k |
+ |
|
|
. |
|
|
||
|
λ |
|
2 |
R |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доданок |
пов'язаний із зсувом за фазою на π при відбиванні світла від |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхні пластинки, яка оптично щільніша за повітря. У відбитому світлі положення максимумів визначається так
∆L = kλ, |
r |
2 |
|
|
λ |
|
|
k |
|
+ |
|
= kλ, , |
|||
R |
2 |
||||||
|
|
|
|||||
rk2 = (2k -1)R |
λ |
, |
k =1,2,3,. (1) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
||
В.М.Клименко. Хвильова птика |
14 |
|
|
а для мінімумів
r 2 |
= kRλ, k = 0,1,2,..... |
(2) |
k |
|
|
Для світла, що проходить через пластинку умови положення максимумів та мінімумів міняються місцями по відношенню до відбитого світла. Положення максимумів буде визначатися так
|
r 2 = kRλ, k = 0,1,2,...., |
(3) |
|
k |
|
а для максимумів |
|
|
r 2 |
= (2k -1)R λ , k =1,2,3,... . |
(4) |
k |
2 |
|
|
|
|
Приклад 1. Установка для спостережень кілець Ньютона освітлюється нормально падаючим монохроматичним світлом ( λ=590 нм). Радіус кривизни лінзи R дорівнює 5 см. Визначити товщину h повітряного проміжку в тому місці, де у відбитому світлі спостерігається третє світле кільце.
Р о з в' я з о к У відбитому світлі положення максимумів визначається рівнянням
r2 |
= (2k -1)R λ, k =1,2,3,... , |
k |
2 |
|
де R – радіус кривизни лінзи, rk радіус кільця. З умови 3 – го максимуму одержимо
rk2 = (2k -1)R λ2 == (2 3 −1) 0,05 295 10−9 = 73.75 нм,
Зв'язок h і rk має вид
|
|
|
|
r 2 |
||
|
|
|
h = |
k |
|
|
і тоді |
|
|
2R |
|||
|
|
|
||||
r 2 |
|
73.75 10 |
-9 |
|||
|
|
|||||
h = |
k |
= |
2 0.05 |
|
= 737.5 нм. |
|
2R |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Відповідь h=737.5 нм.
Приклад 2. На плоско-паралельну скляну пластинку з показником заломлення 1.5, на якій сферичною поверхнею лежить плоскоопукла лінза, падає нормально світло з довжиною хвилі λ = 0.589 µм. У відбитому світлі відстань між двома першими кільцями Ньютона 0.5 мм. Визначити фокусну відстань лінзи.
Р о з в' я з о к Радіус світлого кільця Ньютона визначається за формулою
В.М.Клименко. Хвильова птика |
15 |
|
|
|
|
rk2 = (2k -1)R λ , |
|
|
k =1,2,3,. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відстань між другим та першим кільцями дорівнює |
|
|
||||||||||||||
d = (2 2 −1)R λ |
− (2 1 −1)R λ |
= R 3 |
λ − R 1 |
λ = R |
1 |
λ( 3 −1) |
||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
d 2 = R |
1 |
λ 0.73 |
2 R = |
|
|
2d 2 |
|
=1,584 м. |
|||||||
|
2 |
|
λ 0.732 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Фокусну відстань F знайдемо з формули лінзи |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
= (n −1) ( |
1 |
+ |
1 |
) , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
F |
|
R1 |
R 2 |
|
|
|
||||||
прийнявши, що радіусами плоскоопуклої лінзи є R1 = R, R 2 = ∞. Таким чином маємо
F = nR−1 = 3,168 м.
§ 7. Багатопроменева інтерференція
a). Інтерференція N когерентних хвиль із послідовним зсувом фаз на величину δ і рівними за величиною амплітудами (нехай амплітуда є А1) може бути розрахована графічно на фазовій площині, де коливання представляються
амплітудними векторами із |
певними |
|
|
r |
i=N r |
початковими фазами. Їх сума |
A = ∑ Ai |
|
i=1
визначається за правилом багатокутника, який утворюється розміщенням початку послідуючого вектора у вершині попереднього. Результуюча амплітуда А є вектор, проведений із початку першого вектора у кінець останнього (див.Мал.7). Вектори Аі, як показано на малюнку, є частиною правильного багатокутника
(число його сторін дорівнює 2δπ). З
малюнка видно, що |
|
|
|
|
r |
|
|
|
, |
| A |= O B sin α |
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
де α = 2π - Nδ, а з прямокутного трикутника ОFB бічна сторона |
||||
OB = |
A1 |
|
. |
|
2 sin δ |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
В.М.Клименко. Хвильова птика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приймаючи, що |
α |
|
2π − Nδ |
|
Nδ |
|
|
|
|
|
|
|
Nδ |
|
|
|
|
|
||
sin |
=sin |
=sin(π − |
) =sin |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
одержимо величину результуючої амплітуди А у вигляді |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
A = A1 |
|
|
Nδ |
|
/ sin δ |
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
або інтенсивність |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
I = I1 (sin |
|
Nδ |
|
) |
2 |
/(sin |
δ |
) |
2 |
, |
(2) |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
де І1 ~ A12 інтенсивність окремої хвилі. |
|||||||||||||||||
|
|
|
Головні |
|
максимуми |
|
|
|
інтерференції |
|||||||||||
|
|
|
спостерігаються в тих точках, де кути δ |
|||||||||||||||||
|
|
|
= 0 або вони кратні 2π. Для цих випадків |
|||||||||||||||||
|
|
|
вектори амплітуд лежать на одній прямій |
|||||||||||||||||
|
|
|
і модуль їх суми буде максимальний. |
|||||||||||||||||
|
|
|
Таким чином умова максимуму має |
|||||||||||||||||
|
|
|
вигляд |
δ = ± 2nπ, |
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
де n = 0,1,2,3,.... порядок максимумів. Амплітуда та інтенсивність коливань у головних максимумах дорівнюють
А = NA1, I = N2I1. |
(4) |
Інтерференційні мінімуми (А = 0) спостерігаються в точках де |
|
δ = ±2рπ/N, |
(5) |
число р приймає будь-які цілі значення, крім тих, які кратні N. Між парою сусідніх мінімумів знаходиться головний або побічний максимум. При великому числі інтерферуючих хвиль інтенсивність побічного максимуму мізерно мала порівняно з інтенсивністю головного максимуму. На Мал.8 представлено графік інтенсивності інтерференції двох та трьох хвиль у залежності від δ.
b). Якщо число інтерференційних хвиль необмежено збільшувати, а їх амплітуди А1 та зсуви фази зменшувати так, щоб величини N A1 та N δ залишались обмеженими й рівними А0 та ∆ϕ, відповідно, то векторна діаграма прийме вигляд, показаний на Маю9. Послідовність
векторів Аі перетвориться в дугу кола А0, а її кутова величина стане рівною
A
∆ϕ. Радіус кола OB = ∆ϕ0 . Амплітуда результуючого коливання
В.М.Клименко. Хвильова птика |
|
|
|
|
|
17 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = 2 O B = 2 OB sin α = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 OB sin |
2π − ∆ϕ |
= |
2 OB sin ∆ϕ, |
|
|
|||||||
2 |
|
|
||||||||||
або |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ∆ϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A = A |
0 |
|
|
2 |
|
|
. |
|
(6) |
|
|
|
|
∆ϕ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Умови мінімумів інтерференції можна |
|||||||||||
|
задати рівнянням |
|
|
|||||||||
|
∆ϕ = ±2mπ |
(m = 1,2,3,...). |
(7) |
|||||||||
|
При ∆ϕ → 0 , А = А0 |
центральний |
||||||||||
|
максимум. На Мал.10 представлена |
|||||||||||
|
залежність |
|
|
|
відносної |
величини |
||||||
|
інтенсивності |
|
|
інтерференції |
від зсуву |
|||||||
|
фази |
∆ϕ. |
|
З |
точки |
зору |
величини |
|||||
результуючої інтенсивності актуальним є розгляд випадків коли ∆ϕ близьке до
0.
§ 8. Інтерферометр Майкельсона
Інтерферометр Майкельсона, принципова схема якого показана на Мал.11, використовується для точних вимірювань показника заломлення світла газів та їх залежності від температури, тиску й вологості. Світло від
джерела S падає під кутом 45o на плоскопаралельну скляну пластинку П2 ,
задня стінка якої посріблена. Частина світла від неї відбивається (промінь 1) до дзеркала M1 . Далі промінь 1 відбивається від M1 і частково проходить
через П2 до лінзи Л (промінь 1'), а частково проходить у вертикальному напрямкові (промінь 2) до пластинки П1 і далі до дзеркала M2 . Цей промінь відбивається від M2 і повертається до пластинки П1 , двічі проходячи через неї. Від посріблення пластинки П2 промінь 2 частково відбивається в
напрямкові 2' до лінзи Л. Хвилі 1' та 2' когерентні і результат інтерференції залежить від різниці оптичного ходу. Завдяки пластинці П1 їх шлях у склі
однаковий, тому П1 називають компенсатором.
Різниця оптичного ходу
δ = 2n1 (L2 − L1 ) ,
В.М.Клименко. Хвильова птика |
18 |
|
|
де L2 , L1 |
відстані від точки О до дзеркал M1 та M2 , n1 |
показник |
заломлення |
повітря. Якщо L2 = L1, то спостерігається |
максимум |
інтерференції. Переміщення одного із дзеркал на відстань λ4 призводить до
появи мінімуму. Таким чином по зміні інтерференційної картини можна оцінити малі переміщення одного із дзеркал. Якщо замість пластин використовувати кювети порожнинні скляні ємності за формою паралелепіпеда, заповнені повітрям або іншим газом чи рідиною, то можна вимірювати їх показники заломлення у залежності, наприклад, від температури, від тиску та інше. Зміна показника заломлення світла розраховується за зміною інтерференційної картини. Похибки
вимірювання показника заломлення світла за допомогою інтерферометра
Майкельсона становить 10−7 .
Приклад 1. В інтерферометрі Майкельсона пластинки замінено кюветами довжиною L =12 cм. При заповненні одної з них рідиною інтерференційна картина у світлі з довжиною хвилі λ = 0.589 µм змістилася
на m=180 смуг. Визначіть показник заломлення рідини. Р о з в' я з о к
Нехай nр - показник заломлення рідини, а nп - повітря. При заповненні другої
кювети рідиною різниця ходу стане рівною
δ = 2L(nр − nп) ,
що відповідає m довжинам хвиль
2L(nр − nп) = mλ.
Звідси знаходимо показник заломлення рідини
n р = m2Lλ +1 =1,0005301.
§ 9. Голографія
У 1948 році Д.Габор запропонував голографічний метод одержання зображень предметів. Голографія є метод одержання просторових зображень (голограми) предметів шляхом фотографічного запису результатів інтерференції двох когерентних лазерних пучків світла. Для одержання голограми лазерне випромінювання поділяють на два пучки 1 опорний і 2
В.М.Клименко. Хвильова птика |
19 |
|
|
сигнальний (предметний), що розсіюється об'ємною поверхнею деякого предмета (див.Мал.12). Після зведення пучка 1 і розсіяного пучка 2' на фотопластинці, остання зафіксує просторову картину їх інтерференції. Після проявлення фотопластинки одержимо голограму узор із малих областей різного роду почорніння фотоемульсії, який не має ніякої схожості з предметом. Голограма фіксує амплітудні й фазові співвідношення у розсіяному від предмета світлі, які визначаються взаємним просторовим розташуванням частин предмета.
Відтворення зображення предмета з голограми відбувається шляхом освітлення її таким же опорним пучком світла, як і при записі голограми.
Якщо товщина фотоплівки мала, то голограму називають двовимірною і зображення предмета можна спостерігати не тільки при освітленні опорним лазерним пучком, а й світлом, наприклад, ртутної лампи. Однак освітлення голограми опорним світлом дає повне і якісне зображення предмета.
При утворенні голограми на фотопластинці (див.Мал.13), усі її ділянки освітлюються розсіяним випромінюванням від усіх частин предмета, а тому кожна частинка голограми містить усю інформацію про предмет і усі разом вони дають чітке зображення предмета. Чим менша частинка голограми використовується ти менш чітким буде образ предмета.
При відтворенні образу предмета він створюється як відбитим так і випромінюванням, що пройшло голограму. Відбита хвиля створює уявне зображення, а та, що пройшла створює дійсне зображення.
Використання як опорного та сигнального лазерного випромінювання трьох основних кольорів (червоний, зелений, синій) дає змогу одержати кольорову об'ємну голограму у прозорій фотоплівці товщиною ~ 15 20 мкм. Випромінювання від лазерів S проходить через пластинку й фотоплівку, розсіюється предметом і повертається у шар фотоемульсії, де інтерферує з падаючим випромінюванням. Відновлення кольорового зображення можливе у звичайному білому світлі.
В.М.Клименко. Хвильова птика |
20 |
|
|
У 1962 році Ю.М.Денисюк вперше одержав об'ємну голограму у товстій фотоемульсійній плівці. Такі голограми подібні до просторових дифракційних решіток. Відтворення зображень предметів з таких голограм можливо у білому світлі.
Голографія відкриває широкі перспективи у створенні великих систем пам'яті обчислювальних машин, систем інформаційного пошуку, систем розпізнавання образів і, нарешті, у створенні систем стереоскопічного кольорового кіно та телебачення.
В.М.Клименко. Хвильова птика |
21 |
|
|
Глава 2. Дифракція
Явище відхилення світла від прямолінійного розповсюдження в середовищі з різко вираженими оптичними неоднорідностями називається дифракцією. До згаданих явищ відносять огинання світлом макроперешкод, проходження через отвори та інше. В результаті в геометричній тіні спостерігаються освітлені та затемнені області. Розрізнюють дифракцію сферичних хвиль – дифракція Френеля та дифракцію плоских хвиль –
дифракція Фраунгофера.
§ 10. Принцип Гюйгенса-Френеля
Положення хвильового фронту у будь-який момент часу можна визначити за принципом Гюйгенса. Згідно цього принципу усі точки хвильової поверхні є уявними (фіктивними) вторинними точковими джерелами когерентних коливань. Ці джерела випромінюють сферичні хвилі від генеруючого джерела, а у напрямі до нього вони взаємно компенсуються. Для знаходження положення хвильового фронту в наступний момент часу потрібно побудувати огинаючу поверхню хвильових сферичних поверхонь указаних точкових джерел.
Розрахунок інтенсивності випромінювання у деякій точці М простору, у тому числі і тоді коли ця точка знаходиться у області геометричної тіні проводиться за принципом Френеля у такий спосіб.
а) Джерело коливань S0 замінюється еквівалентною йому системою уявних вторинних джерел малих ділянок dS будь - якої замкненої допоміжної хвильової поверхні S, яка охоплює джерело S0 і не охоплює точку М, що знаходиться на відстані r від dS ;
б) амплітуда dЕ коливань, що збуджуються в точці М вторинним джерелом задається виразом
dE = |
E0 |
f (α) dS , |
(1) |
|
r |
||||
|
|
|
де E0 амплітуда коливань джерела S0 , функція f (α) визначає залежність
вторинного випромінювання від кута α між зовнішньою нормаллю до хвильової поверхні й напрямком від dS до М, яка монотонно зменшується від
1 при α = 0 до 0 |
при α ≥ |
π |
(вторинні |
джерела не випромінюють у |
|
|
|
|
2 |
|
|
зворотному напрямку). |
Результуюча амплітуда тепер може бути записана так |
||||
|
E = ∫ E0 |
f (α) dS , |
(2) |
||
|
S |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де інтегрування проводиться по усій допоміжній хвильовій поверхні.
В.М.Клименко. Хвильова птика |
22 |
|
|
§ 11. Зони Френеля
Для спрощення розрахунку амплітуди коливань E0 від вторинних
джерел випромінювання хвильової поверхні S (сфера радіуса R) у точці М для точкового джерела S0, поверхня S розбивається на кільцеві ділянки радіуса ri, такі, що відстань від суміжних ділянок до точки М різниться на λ/2 (див.Мал.14). Це означає, що хвилі від сусідніх ділянок приходять у точку М у протифазі. Амплітуда результуючих коливань у точці М дорівнює
E0 = E01 −E02 +E03 −E04 +..., |
(1) |
|
|
||
де |
E0i |
амплітуда коливань, |
які |
||
збуджуються у точці М і-ю кільцевою |
|||||
поверхнею. Такі кільцеві поверхні |
|||||
називаються зонами Френеля. У |
|||||
загальному випадку під зонами Френеля |
|||||
розуміють |
ділянки |
хвильових |
|||
поверхонь, для яких відстань від |
|||||
суміжних ділянок до точки М різниться |
|||||
на |
λ , |
а |
результуюча |
амплітуда |
|
|
2 |
|
|
|
|
знаходиться алгебраїчним додаванням амплітуд від зон. З малюнка видно, що
r2 |
= R 2 − (R − h |
)2 = (L + i |
λ)2 − (L + h |
)2 . |
(2) |
|
i |
i |
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для не дуже великих і, приймаючи, що λ<<L, із попереднього рівняння можна одержати
h |
i |
= |
|
iλL |
|
, r = 2Rh |
i |
= |
iλLR . |
|
(3) |
||
|
|
2(R + L) |
i |
|
R + L |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Площа поверхні і - ої зони Френеля |
|
дорівнює різниці площ поверхонь |
|||||||||||
сусідніх сферичних сегментів |
|
|
|
πλRL |
|
|
|||||||
∆Si |
=Si |
−Si−1 |
= 2πRhi − 2πRhi−1 |
= |
, |
(4) |
|||||||
R + L |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
і не залежить від номера зони, тобто є сталою величиною.
Розрахуємо кількість зон, яку потрібно приймати до уваги при розрахунку результуючої амплітуди. Відстань найвіддаленішої N-ої зони Френеля до точки М дорівнює довжині дотичної, проведеної з М до кола,
тому |
λ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
L + N |
= |
(L + R)2 − R 2 |
N = |
( (L2 + 2LR |
− L) |
(5) |
|||
2 |
λ |
і при R = L =10 см, λ =5 10-5 см N =3 105 , r1 = 0,016 см.
Тому можна покласти, що