Физика / 10.________ ______
.pdfВ.М.Клименко. Хвильова птика |
23 |
|
|
E0i = 21 (E0,i−1 +E0,i+1)
і величину результуючої амплітуди коливань у точці М можна представити так
E0 |
= |
1 E01 + |
1 |
(E01 −E02 |
+ |
1 E03 ) + |
1 |
(E03 |
−E04 |
+ |
1 E05 ) +.... |
(6) |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
Згідно з попереднім виразом, доданки у дужках дадуть 0 і остаточно отримаємо
E0 |
= |
1 E01. |
(7) |
|
|
2 |
|
§ 12. Дифракція на круглому отворі та дискові
Дифракція на круглому отворі. Амплітуда коливань при дифракції світла точкового джерела на круглому отворі (див.Мал.15) радіуса ro визначається сумою амплітуд від
m = r2 |
R + L |
(1) |
|
||
0 λRL |
|
|
перших відкритих зон Френеля. Для непарних m амплітуда результуючого коливання в точці М може бути представлена у виді
E0 |
= |
1 E01 + |
1 |
(E01 −E02 + |
1 E03 ) + |
1 (E03 |
−E04 + |
1 E05 ) +... + |
1 E0m |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
і в результаті одержимо |
1 (E01 +E0m ), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
E0 = |
(2) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
що є максимумом освітлення. Для парних m одержимо |
|
|||||||||
E0 |
= |
1 E01 + |
1 |
(E01 −E02 |
+ |
1 E03 ) + |
1 (E03 |
−E04 + |
1 E05 ) +... − |
1 E0m , |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
E0 = |
1 (E01 −E0m ), |
(3) |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
що дає мінімум освітлення.
Результуючу амплітуду А можна значно збільшити за допомогою зонної пластинки Френеля. Це прозора скляна пластинка, на якій створені непрозорі покриття, що закривають всі парні зони Френеля і залишають відкритими всі непарні зони. Якщо число всіх зон Френеля, які вміщуються на пластинці N, то
E0 ≈ |
1 NE 01, |
(4) |
|
2 |
цьому буде в (N / 2)2 разів |
а інтенсивність (освітленість) |
у точці М при |
більшою, ніж без пластинки.
В.М.Клименко. Хвильова птика |
24 |
|
|
Дифракція на круглому дискові. Амплітуда коливань при дифракції світла точкового джерела на круглому дискові (див.Мал.17) радіуса ro
визначається номером першої відкритої зони |
|
|||||
m = r2 |
R + L |
|
, |
(5) |
||
|
|
|||||
0 λRL |
|
|
||||
а результуюча амплітуда дорівнює |
|
|
||||
E0 = |
1 |
E0m . |
|
(6) |
||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
||
Приклад 1. Точкове джерело світла з довжиною хвилі λ = 0.589 µм знаходиться на відстані R=1 м. Визначіть, на якій відстані L знаходиться екран від круглого отвору з діаметром d = 2 мм, якщо отвір відкриває і=3 зони Френеля.
Р о з в' я з о к Радіус і-ої зони визначається за формулою (3) § 11
r = iλLR |
, |
|
i |
R + L |
|
|
|
|
а відповідна відстань буде такою
L = ri2 R . iλR − ri2
За умовою задачі і=3, ri = d , тому |
|
|
||
L = |
d 2 R |
=1.3 м. |
||
3λR |
− d 2 |
|||
|
|
|||
В.М.Клименко. Хвильова птика |
25 |
|
|
Приклад 2. Диск діаметром 5 мм, що знаходиться посередині між точковим джерелом світла ( λ = 0.589 µм) і екраном, закриває центральну зону Френеля. Визначіть відстань S між джерелом і екраном.
Ро з в' я з о к
Уданій задачі R=L=S/2. Радіус диску r=d/2 дорівнює радіусу першої зони Френеля r1, а тому
r1 = 
RiλLR+ L = 
iλ4S = d2 .
З цього рівняння одержимо
S = d 2 == 42 м. iλ
Приклад 3. На круглий отвір радіусом 1 мм у непрозорому екрані нормально падає паралельний пучок світла з довжиною хвилі λ=500 нм. На шляху променів, що пройшли крізь отвір розміщено екран. Знайти максимальну відстань між отвором та екраном, при якій у центрі дифракційної картини спостерігатиметься темна пляма.
Р о з в' я з о к.
Відстань, на якій спостерігатиметься темна пляма, визначається числом зон Френеля, що вкладаються в отворі. Якщо число зон парне, то в центрі дифракційної картини спостерігатиметься темна пляма. Число зон Френеля, що вміщується в отворі, зменшується зі збільшенням відстані між отвором та
екраном. Найменше парне число зон — дві.
Таким чином, максимальна відстань, на якій ще буде спостерігатися темна пляма у центрі дифракційної картини, визначається умовою, згідно з якою в отворі повинно вміститися дві зони Френеля. Відповідно до Мал.17, відстань
В.М.Клименко. Хвильова птика |
26 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
від центра екрана до краю отвору на |
2 |
λ більша за відстань від центра |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
екрана до центра отвору OO1 = R0 . За теоремою Піфагора |
|
||||||||||||||||||
|
|
r |
2 |
= (R0 + |
2 |
λ |
) |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
− R0 |
= 2R0λ + λ |
|
|||||||||||
Оскільки R0 >> λ , то членом λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
можна знехтувати, тоді |
|
||||||||||||||||||
r |
2 |
= 2R |
0 |
λ, R |
0 |
= |
|
r |
2 |
= |
|
10-6 |
=1м |
|
|||||
|
|
2λ |
2 5 10-7 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
§ 13. Дифракція Фраунгофера на плоскопаралельній щілині
Дифракція Фраунгофера дифракція світла в паралельних променях. Нехай паралельний пучок променів світла падає нормально на непрозору площину BG, в якій прорізано плоскопаралельну щілину малої ширини b. Паралельно площині BG (див.Мал.18)
розташовано збиральну лінзу Л та екран Е. Проведемо наближений розрахунок амплітуди коливань у точці екрана М, у якій лінзою збираються промені, що виходять із щілини під кутом ϕ до неї. За Гюйгенсом, точки щілини є вторинними джерелами світла. Щілину можна розбити на зони Френеля у вигляді смуг, паралельних ребру щілини В. Різниця ходу між променями, що виходять із країв зони З′Р,
дорівнює λ2 , а тому ширина
смуги Λ (гіпотенуза ЗЗ′) дорівнює Λ = |
λ |
. Результуюча амплітуда |
|
2 sin ϕ |
|||
|
|
коливань, викликаних світлом від зон Френеля, є алгебраїчною сумою їх амплітуд, у яку амплітуди від сусідніх зон входять із протилежними знаками. Якщо число зон
N = |
b |
= |
2b sin ϕ |
(1) |
|
Λ |
λ |
||||
|
|
|
В.М.Клименко. Хвильова птика |
27 |
|
|
||
парне (N =2m), то спостерігається мінімум дифракції, умовою якого є |
||
bsin ϕ = ±mλ, m =1,2,... |
|
(2) |
Зауважимо, що величина |
|
|
b sin ϕ = ∆ |
(3) |
|
є різницею ходу променів, які йдуть від країв щілини.
Точний розрахунок інтерференції від щілини полягає у розбитті вторинного фронту випромінювання на нескінченно малі зони з нескінченно малим зсувом фаз, як це зроблено у § 9. (7). Для нашого випадку потрібно зробити заміну
|
|
|
∆ϕ |
|
πbsinϕ . |
|
|||
|
|
|
2 |
|
λ |
|
|||
В результаті одержимо величину амплітуди в точці М |
|||||||||
|
|
|
sin( |
π b sin ϕ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
A = A0 |
|
|
|
λ |
|
|
|
. |
(4) |
|
π b sin ϕ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
Розподіл інтенсивності I ~| A |2 в залежності від sin ϕ подано на |
|||||||||
малюнку.
Приклад 1. Обчисліть кут ϕ, у напрямку якого спостерігається другий (m=2) максимум дифракції Френеля на щілині шириною b=0.05 мм для світла з λ = 0.589 µм.
Ро з в' я з о к
З(4) видно, що умовою максимуму є рівність аргумента синуса напівцлому π, тобто
|
|
|
π b sin ϕ = (2m +1) π. |
|||
|
|
|
λ |
2 |
||
З цього виразу маємо |
|
|||||
sin ϕ = (2m +1) |
λ |
|
= |
5λ |
= 2,95 10-2 , ϕ = arcsin(2,95 10-2 ) =1,688O |
|
2b |
|
|||||
|
|
2b |
|
|||
Приклад 2. |
На щілину шириною b=0.1 мм падає |
|||||
нормально монохроматичне |
світло з λ = 0.589 µм. |
|||||
Визначіть відстань екрана S від щілини, якщо ширина центрального максимуму на ньому становить а=1 см (див.Мал.19).
Р о з в' я з о к
Умовою першого мінімуму праворуч центра картини є b sin ϕ = λ, тому кут, під яким видно половину центрального максимуму, дорівнює
В.М.Клименко. Хвильова птика |
28 |
|
|
sin ϕ = λb = 0.01178, ϕ = arcsin(0,01178) = 0.675O .
У зв'язку з малістю кута ϕ у прямокутному трикутнику із протилежним катетом довжиною а/2, прилеглий катет S практично рівний гіпотенузі, а тому
S = |
|
a |
= 0,0,424448217 м. |
|
2 sin ϕ |
||||
|
|
|||
Якщо обчислювати S через tgϕ, то |
||||
tgϕ = |
sin ϕ = 0,011780817 |
|||
|
|
1 − sin 2 ϕ |
||
і остаточно |
|
a |
|
|
S = |
= 0,424418766 м. |
|||
2tgϕ |
||||
|
|
|
||
§ 14. Дифракція Фраунгофера на дифракційній решітці
а). Розподіл інтенсивності.
Дифракційна решітка утворюється періодичною повторюваністю прозорих (шириною b) та непрозорих плоскопаралельних ділянок (шириною а) на прозорій (наприклад, скляній)
поверхні BCG ( див.Мал.20). Величина |
|
d = b + a |
(1) |
називається періодом або сталою решітки. При освітленні решітки світлом,
що падає нормально на її |
|
поверхню, в напрямку ϕ відбувається |
|||
інтерференція світла від усіх щілин, із сталою величиною зсуву фаз |
|||||
δ = |
2π |
∆ = |
2π |
dsin ϕ, |
(2) |
λ |
|
||||
|
|
λ |
|
||
де ∆ різниця ходу між променями сусідніх прозорих щілин.
Процес інтерференції світла від багатьох прозорих щілин можна описати за допомогою багатопроменевої інтерференції, розглянутої у §8.а).
Результуючу амплітуду можна записати у вигляді |
|
|||||
|
sin(Nd πsin ϕ) |
|
|
|
||
|
|
|
||||
A = Aϕ |
|
λ |
|
|
|
(3) |
sin(d |
πsin ϕ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
λ |
|
|
|
|
В.М.Клименко. Хвильова птика |
29 |
|
|
де Aϕ амплітуда хвилі, що утворюється дифракцією від окремої прозорої щілини в напрямку ϕ
|
sin(b |
πsin |
ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Aϕ = A0 |
|
λ |
|
|
. |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
b πsin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ |
|
|
|
|
|
M0 , |
|
|
|
|
|
||
У цьому виразі А0 амплітуда коливань у точці |
при дифракції від |
|||||||||||||
однієї щілини у напрямку ϕ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимуми виразу (3), що задаються умовою |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dsin ϕ = ±nλ, n = 0,1,2,... . |
|
(5) |
|
|
|
|
|
|||||||
називаються головними. Амплітуда головного максимуму дорівнює |
|
|||||||||||||
A = NAϕ. |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Величина |
n |
|
називається порядком |
|||||||||
|
|
|
|
|
головного максимуму. |
Головні |
||||||||
|
|
мінімуми задаються виразом |
|
|||||||||||
|
|
|
bsin ϕ = ±mλ, m =1,2,... |
(7) |
||||||||||
|
|
Якщо з умови головного максимуму |
||||||||||||
|
|
підставити |
|
|
|
|
|
nλ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ = |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
||
|
|
то вираз (3) для амплітуди головного |
||||||||||||
|
|
максимуму n-го порядку запишеться у |
||||||||||||
|
|
вигляді |
Nd |
|
Nπb |
|
|
|
||||||
|
|
|
A = A0 |
sin |
. |
(8) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
nπb |
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
Головні |
|
|
|
|
|
|
максимуми |
||
|
|
розмежовані між собою мінімумами, |
||||||||||||
dsin ϕ = (n + k )λ, k = |
які задаються умовою |
|
||||||||||||
1, 2, 3,..., n - 1. |
|
|
|
(9) |
|
|
||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином між двома сусідніми головними максимумами знаходяться (N - 1) мінімум та (N - 2) додаткових максимуми.
На Мал.21 представлено розподіл головних максимумів при різних значеннях числа щілин N в решітці.
b). Дисперсія дифракційної решітки.
Кутова дисперсія дифракційної решітки за
визначенням є |
δϕ |
|
|
Dϕ = |
, |
(10) |
|
|
δλ |
|
|
В.М.Клименко. Хвильова птика |
30 |
|
|
де δϕ кутова відстань між максимумами одного порядку для двох ліній з
λ та λ + δλ (див.Мал.22). |
З |
умови |
dsin ϕ = nλ |
диференціюванням |
||
одержимо вираз dcos ϕ δϕ = n δλ. Звідси вираз (10) у вигляді |
||||||
Dϕ = |
|
n |
. |
(11) |
|
|
dcos ϕ |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Лінійна дисперсія дифракційної решітки за визначенням є |
|
|||||
DL = |
δl |
, |
|
(12) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
δλ |
|
|
|
|
де δl −є лінійна відстань на |
екрані чи |
фотопластинці |
між максимумами |
|||
одного порядку для двох ліній з λ та λ + δλ. Величину δl , яка спирається на кут δϕ можна записати через фокусну відстань f лінзи, яка зводить промені світла в одну точку
|
δl = f δϕ |
|
|
|
|
|
і після підстановки δl у вираз (12) одержимо |
|
|
|
|
|
|
DL = f δϕ |
= f Dϕ , |
(13) |
|
|
|
|
δλ |
|
|
|
|
|
|
тобто лінійна дисперсія представляється через кутову. |
|
|
|
|||
|
c). |
|
Роздільна |
|
здатність |
|
|
дифракційної |
решітки. |
Роздільна |
|||
|
здатність |
дифракційної |
решітки за |
|||
|
визначенням є |
|
|
|
||
|
|
R = |
λ |
, |
(14) |
|
|
|
δλ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
де δλ найменша величина для |
|||||
|
заданої λ, при якій розрізнюються |
|||||
|
максимуми |
для довжин хвиль |
||||
|
λ та λ + δλ (див.Мал.23). |
|
||||
|
Величину |
R можна |
визначити |
|||
через параметри решітки за допомогою критерію Релея: дві лінії у спектрі дифракційної решітки будуть розділені, якщо положенню максимуму n-го
порядку для λ + δλ
dsin ϕ = n(λ + δλ)
буде відповідати перший мінімум біля максимуму n-го порядку для лінії з λ dsin ϕ = (n + N1)λ.
З цього критерію випливає, що |
|
|
|
||
n(λ + δλ) = (n + |
1 |
)λ |
λ |
= nN . |
(15) |
|
δλ |
||||
N |
|
|
|||
Тепер роздільна здатність запишеться у вгляді |
|
||||
R = nN. |
|
(16) |
|
||
В.М.Клименко. Хвильова птика |
31 |
|
|
Приклад 1. Відстань між штрихами дифракційної ґратки d=10 мкм. На решітку нормально падає світло здовжиною хвилі λ = 580 нм. Максимум якого найбільшого порядку дає ця решітка?
Р о з в' я з о к
Умовою головних максимумів є
dsinϕ = ±nλ, n = 0,1,2,...
і тому |
|
|
|
|
−5 sin90 |
|
n = |
dsinϕ |
= |
10 |
≈17 |
||
λ |
|
0.58 10−6 |
||||
|
|
|
|
|||
Відповідь. Максимумом найбільшого порядку є 17-ий.
Приклад 2. Обчисліть довжину хвилі світла, яке дифрагує на решітці з n=300 штр/мм і кут між максимами 1-го та 2-го порядків складає
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =12O .
Р о з в' я з о к Розв'язок задачі проведемо на основі матеріалу, викладеного у
попередньому параграфі, і представимо очевидними послідовними перетвореннями без коментарів.
d = n1 мм
d sin ϕ1 = m1λ, d sin ϕ2 = m2 λ, m1 =1, m2 = 2 sin ϕ1 = m1 λd , sin ϕ2 = m2 λd ,
sin ϕ1 =1 λd , sin ϕ2 = 2 λd , sin ϕ2 = 2 sin ϕ1 sin(ϕ1 + ∆ϕ) = 2 sin ϕ1
sin(ϕ1 + ∆ϕ) = sin ϕ1 cos ∆ϕ + cos ϕ1 sin ∆ϕ = 2 sin ϕ1 sin ϕ1 (2 − cos ∆ϕ) = cos ϕ1 sin ∆ϕ
tgϕ1 = |
sin ϕ |
1 |
|
sin ∆ϕ |
|
sin12O |
0.2079116 |
|
0.2079116 |
= 0.203 |
||
|
= |
|
= |
|
= |
|
= |
|
|
|||
cos ϕ1 |
(2 − cos ∆ϕ) |
|
2 − 0.9781476 |
1.0218524 |
||||||||
|
|
|
(2 − cos12O ) |
|
|
|||||||
ϕ1 = arctg0.203 =11.50072O , sinϕ1 = 0.1993802,
λ = d sin ϕ1 = 0.1993802 = 664.6 нм 300 1000
В.М.Клименко. Хвильова птика |
32 |
|
|
Приклад 3. П'ятий максимум дифракції світла з λ = 600 нм видно під кутом ϕ = 30O . Мінімальна роздільна здатність решітки складає δλ = 0.2 нм.
Визначіть сталу решітки d та її довжину L. Р о з в' я з о к
Рі шен ня задачі проведемо на основі викладеного у попередньому параграфі і представимо очевидними послідовними перетвореннями без коментарів.
d sin ϕ = mλ, d = sinmλϕ = 6 µм, R = δλλ = mN, N = m λδλ , L = d N = sinmλϕ m λδλ = 3.6 мм
Приклад 4. Кутова дисперсія решітки для світла з λ = 500 нм складає Dϕ = 4.08 105 рад/м. Обчисліть сталу решітки.
Ро з в' я з о к
Ро з в' я з о к задачі проведемо на основі викладеного у попередньому параграфі і представимо очевидними послідовними перетвореннями без коментарів.
Dϕ = δϕδλ = cosmϕ cosϕ = d mDϕ , dsinϕ = mλ sinϕ = mdλ , tgϕ = cossin ϕϕ = mdλDmϕd = λDϕ ϕ = arctg(λDϕ ), d = sinmλϕ = 5 µм.
Приклад 5. Намалювати графік залежності відносної інтенсивності I / I0 дифрагованого на решітці світла для числа штрихів N=5, прийнявши,
що відношення періоду решітки d до ширини щілини r = db становить 2.
Р о з в' я з о к Використовуючи формули (3-4), відносну інтенсивність можна представити виразом
|
I |
sin(Nrx) sin x 2 |
sin(14x) sin x 2 |
|
sin(10x) |
2 |
|
||||||||
y = |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I0 |
|
sin(rx) |
|
x |
|
|
sin(2x) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x cos(x) |
|
||||||
де
x= b λπ sin ϕ
іза допомогою якогось додатку до Microsoft побудувати графік.
Приклад 6. На дифракційну решітку нормально падає паралельний пучок променів довжиною хвилі λ=500 нм. На екрані. розміщеному паралельно до решітки на відстані L=1 м, утворюється дифракційна картина