Физика / 10.________ ______

Хвильова оптика

Хвильова оптика вивчає хвильові властивості електромагнітного випромінювання та його взаємодію з речовиною у видимому інтервалі довжин хвиль

λ [380, 760] нм,

з частотами

ν [3,95;7,89] 1014 c-1 ,

тобто на таких частотах і довжинах хвиль, які викликають зорове відчуття образів людським оком. Таке випромінювання ще називають світлом.

Властивості світла проявляються у таких явищах як інтерференція, дифракція та дисперсія, поляризація, відбивання, поглинання та розсіювання, теплового випромінювання речовиною. Вирішення проблеми квантування світла та його корпускулярно-хвильової природи стало першим кроком у становленні квантової механіки. Саме це коло питань буде предметом розгляду у посібнику.

Надалі ми будемо розглядати плоскі хвилі, що розповсюджуються в

мають хвильовий фронт у вигляді безконечної площини). Речовина, в якій розповсюджуються хвилі, характеризується діелектричною ε та магнітною µ проникливостями, фазовою Vф груповою швидкістю Vгр. Інтенсивність

електромагнітної хвилі можна записати через електричну складову

Надалі у тексті буде вживатися термін „промінь”, під яким розуміється уявна лінія, дотична до якої у кожній точці, задає напрямок поширення енергії світлової хвилі або світла. У випадку прямолінійного поширення світла, промінь буде прямою.

У(10) у середовищі з показником заломлення світла n

λ0 = 2ωπс довжина хвилі у вакуумі,

λ= λn0 довжина хвилі у середовищі,

k= 2π = 2π n хвильове число,

λλ0

L = nx величина оптичного ходу хвилі,

∆L = ∆L = L2 − L1 = n2 x2 − n1x1 оптична різниця ходу світла.

Якщо дві когерентні хвилі розповсюджуються у одному середовищі, то ∆L = n(x 2 − x1 ) = n∆x і ∆x називається різницею ходу світла.

Час когерентності. Атоми речовини, переходячи зі збудженого стану в

основний за час ∆t ≈10−8 c , випромінюють електромагнітну хвилю з якоюсь початковою фазою Φ0 й хвиля розповсюджується на відстань ∆l = c∆t ≈3 м.

Таке випромінювання називають хвильовим цугом. Наступне випромінювання цього атома буде мати іншу початкову фазу Φ0 . Це

означає, що різниця фаз випромінювання як одного атома так і інших атомів джерела світла буде хаотично змінюватися і їх випромінювання не буде когерентним. Когерентними можуть бути лише випромінювання атомів джерела світла у проміжку середнього часу τ дискретного випромінювання атомів. При цьому різниця фаз випромінювання змінюється на величину

менше π. Час τ за величиною близький до проміжку ∆t ≈10−8 c . Частотний спектр цуга, показує, що інтенсивність світла зосереджена близько частоти

і вона називається довжиною когерентності. Це означає, що явище інтерференції світла можна спостерігати лише у тому випадку, коли оптична різниця ходу хвиль буде меншою за довжину когерентності lког . Довжину

когерентності (12) можна виразити через довжину хвилі λ так

Якщо хвиля за допомогою напівпрозорих дзеркал поділена на дві, то для їх когерентності потрібно, щоб різниця ходу між ними не була більшою за довжину когерентності.

Радіус просторової когерентності. Відстань ρ між двома точками випромінюючої поверхні, перпендикулярної напрямкові розповсюдження хвиль, на якій випадкова зміна різниці фаз досягає π, називається радіусом просторової когерентності. Розрахунки

показують

де ϑ кутовий розмір джерела випромінювання електромагнітних хвиль із точки спостереження О (див. Мал.2).

Випромінювання з двох точок поверхні джерела світла будуть когерентними, якщо вони знаходяться на відстані не більше радіуса когерентності. Для спостерігача на Землі кутовий розмір Сонця складає 0,01

рад і при довжині хвилі 5 10−7 м і радіус когерентності сонячного світла становить 5 10−5 м= 0.05 мм =50 µм.

Приклад. У склі оптична різниця ходу двох хвиль складає ∆L = 4 мм. Визначити оптичну різницю ходу хвиль ∆L у воді.

Р о з в' я з о к

§ 2. Явище інтерференції

Під інтерференцією світла розуміють перерозподіл енергії двох або більше взаємодіючих когерентних електромагнітних хвиль, що проявляється в підсиленні та ослабленні інтенсивності випромінювання в певних областях простору. Явище інтерференції лежить в основі процесу поширення хвиль у речовині та створенні образів в оптичних системах.

При додаванні двох когерентних або частково когерентних хвиль одного напрямку при певних умовах може бути відмінним від нуля

інтерференційний член 2 I1 I2 < cos δ >. Розглянемо взаємодію двох

когерентних хвиль, коли різниця фаз є сталою, тобто < cos δ >= cos δ і вони розповсюджуються у одному середовищі з показником заломлення n.

Максимум інтерференції буде спостерігатися при умові cos δ =1, тобто

δ = 2nπ,

k(x2 − x1) = 2λπ ∆xmax = 2nπ.

При цьому різниця ходу променів становить ціле число довжин хвиль

Амплітуда результуючого коливання при цьому буде максимальною

Мінімум інтерференції буде спостерігатися при умові cos δ = −1, тобто

δ = k(x 2 − x1 ) = 2λπ ∆x min = (2n +1)π.

При цьому різниця ходу променів становить напівціле число довжин хвиль

Визначити величину амплітуди результуючої хвилі.

Р о з в' я з о к

A = A012 + A022 + 2A01A02 cos(π/ 3) = A02 + A02 + A0A0 = A0 3

§ 3. Дослід Юнга

Принципову схему досліду Юнга представлено на Мал.3. У площині S1 зроблено один отвір радіусом порядку радіуса просторової когерентності (~0.5 мм) для сонячного світла, а в площині S2, віддаленій від першої на l, зроблено два таких отвори на відстані d один від другого. Когерентне світло, що виходить з отвору у площині S1, потрапляє у два отвори в площині S2 .

Промені із цих отворів збігаються у точку А на екран з координатою х. Різницю ходу хвиль ∆r = r2 − r1 можна знайти у такий спосіб

r22 − r12 = (r1 + r2 )(r2 − r1 ) = 2L∆r,1

експериментальних досліджень випливає, що око впевнено розрізнює смуги

При I1 = I2 видність максимальна (V = 1).

Частково когерентне випромінювання з інтенсивністю І можна розглядати як суму двох складових: когерентної з інтенсивністю Iког та

некогерентної з інтенсивністю Iнеког . Результуючу інтенсивність можна записати так

інтерференційну картину змазує некогерентна частина, яка створює рівномірно освітлений фон (1 − γ)I , причому

тобто видимість частково когерентного випромінювання з інтенсивностями I1 , I2 зменшується. Причому

Приклад. Розрахувати коефіцієнт видності при інтерференції двох когерентних хвиль E1 = Acos(ωt − kx + α1), E2 = 2Acos(ωt − kx + α2 ).

Р о з в' я з о к

§ 5. Інтерференція у тонкій плівці

Такого роду інтерференція спостерігається у сонячному випромінюванні відбитому від масляних плям, що розтікаються на воді. Товщина таких плям може бути надзвичайно малою та близькою до довжини хвиль світла. Описати таку інтерференцію можна у такий спосіб.

Тонка плівку можна представити у вигляді плоскопаралельної пластинки з показником заломлення світла n2 та товщиною d. Інтерферують промінь 1', відбитий від верхньої поверхні плівки та промінь 2', відбитий від дна плівки і вийшовший з пластини в середовище з показником заломлення світла n1. На Мал.4 Л лінза, що зводить промені в точці інтерференції.

де α кут падіння, доданок λ2 враховує,

що промінь відбивається від дна плівки на границі, де n1 < n 2 і при цьому фаза

хвилі змінюється на π. Умова максимумів інтерференції

Оптичний шлях променя 1 над плівкою

L2 = n1BC

Якщо врахувати зміну фази променя 2 при відбитті від нижньої поверхні

де λ довжина хвилі у середовищі плівки. Вираз (7) і є розв'язком задачі про оптичну різницю ходу.

Приклад 1. Визначити, при якій найбільшій товщині плівки ще буде спостерігатися інтерференція світла.

Ро з в' я з о к

Зумови часової когерентності світла необхідно, щоб оптична різниця

ходу двох променів ∆L була меншою довжини когерентності lког = λ2 .

∆λ

Складемо таку нерівність

Послідовні перетворення з урахуванням того, що

n 22 − n12 sin 2 α ≈1,

одержимо

d < λ2 2∆λ

Поклавши λ = 5 10−7 м, ∆λ = 2 10-9 м, одержимо d < 6,25 10−5 м.

Приклад 2. Визначити, під яким кутом падає світло з довжиною хвилі λ = 550 нм на масляну плівку плівку товщиною d = 0.03 мм з n=1.4, якщо в інтерференційній картині спостерігається максимум 8-го порядку.

Р о з в' я з о к

1.42 − sin 2 α = (2 m +1) 5.5 10−2 = (2 m +1) 4.58 10−3 = 12

=172 4.58 10−3 =1,32362,

1.96-1,323622 = sin 2 α = 0,20803, sin α = 0,456103,

α = 27.14O.

Приклад 3. На скляний клин, нормально до його нижньої грані, падає монохроматичне світло довжиною хвилі 0,6 мкм. Число інтерференційних ліній на одному сантиметрі довжини клина дорівнює 10. Знайти заломлюючий кут клина.

Р о з в' я з о к Паралельний пучок променів (див.Мал.5), що падає нормально до

нижньої грані клина, відбивається як від верхньої, так і від нижньої граней. Оскільки відбиті промені когерентні, виникне стійка інтерференційна картина. Темні лінії спостерігатимуться на тих ділянках клина, для яких різниця ходу променів кратна непарному числу півхвиль, тобто

додаткову різницю ходу, що виникає при відбиванні променів від оптично густішого середовища. Підставляючи у формулу (1) значення різниці ходу променів δ, дістанемо

де n — показник заломлення скла (n=1,5); dk − товщина клина в тому місці,

де спостерігається темна лінія, що відповідає номеру к; r − кут заломлення; λ — довжина хвилі. Згідно з умовою, кут падіння дорівнює нулю, а з цього випливає, що й кут заломлення теж нуль, тоді cosr =1. Розкривши дужки у правій частині рівняння (2), після спрощень одержуємо

Нехай довільній темній лінії з номером k відповідає товщина клина dk , а темній лінії за номером (k+10) — dk+10 . Згідно з умовою задачі, десять ліній