Физика / 7._________ _____

ІІ. Постійний електричний струм

§ 17. Струм, сила струму, густина струму

Електричним струмом називається впорядкований рухзаряджених частинок у речовині чи у вакуумі (електричні струми в металах, електролітах, іонізованих газах, плазмі, напівпровідниках, пучки електронів чи інших заряджених частинок у вакуумі).

Умовою виникнення струму провідності в речовині є існування вільних носіїв струму й внутрішнього електричного поля. Носіями струму в металах є вільні електрони, в газі та плазмі електрони та іони, в напівпровідниках електрони провідності та дірки, в електролітах іони. Струм вільних електронів металу

виникає під дією зовнішнього електричного поля усередині металу. Це поле порушує рівноважний розподіл зарядів у провіднику і тому його поверхня перестає бути еквіпотенціальною. Струм у провіднику буде протікати доти, доки його поверхня не стане еквіпотенціальною, а напруженість поля усередині провідника стане рівною нулю.

Якщо за час dt через поперечний переріз провідника пройде заряд dq, то за визначенням величина

I = dqdt

є сила струму.

Густина струму за визначенням є

де dI струм через переріз провідника dSn=dS cosα, перпендикулярний напрямкові струму (див. Мал.23).

Для сталого в часі протікання заряду у провіднику сила струму становить

I = qt ,

де q заряд, що пройшов через переріз провідника за час t. Такий струм називають постійним.

За напрямок струму прийнято брати напрямок протилежний напряму руху електронів. Тому струм, утворений рухом, наприклад, від'ємних та додатних іонів в електролітах є сумою струмів іонів і він направлений по напрямку руху додатних іонів.

§ 18. Класична модель розрахунку густини струму

Із класичної точки зору, густина струму j лінійно залежить від

Дійсно, нехай у провіднику під дією напруженості електричного поля Е протікає струм І (див.Мал.24). Покладемо, що величина середньої швидкості

що й треба було довести.

Зауважимо, що густина носіїв струму n у провідниках є сталою величиною.

§ 19. Класична теорія електропровідності провідника.

Закон Ома у диференціальній формі

Класична модель електропровідностіr r металів виходить із того, що під дією сили електричного поля F = qE , заряд q із масою m у проміжках між співударяннями з центрами розсіювання (вузли кристалічної решіткиr r

провідника) рухається рівноприскорено з прискоренням ar = mF = qmE .

Приймається також, що час руху τ між співударяннями електронів з вузлами решітки визначається їх довжиною вільного пробігу λ і середньою тепловою швидкістю Vт

Vτ

За цей час заряд набуває максимальну швидкість

При цьому середня швидкість напрямленого руху носіїв струму Vd

приймається рівною середній швидкості рівноприскореного руху і вона дорівнює середній арифметичній від початкової V0 і кінцевої швидкості V (у нашому випадку V0 = 0)

де коефіцієнт пропорційності u називається рухливістю носіїв струму. Підставивши в (4) значення Vд, знайдемо, що

де коефіцієнт σ називається провідністю і він дорівнює

Провідність σ чисельно дорівнює густині струму при одиничній напруженості поля у провіднику, а вираз (6) має назву диференціального закону Ома.

Визначення провідності σ, є змістом класичної теорії

електропровідності провідників.

Закон Ома в інтегральній формі

З диференціального закону Ома можна безпосередньо одержати

інтегральнийr закон. Для цього скалярно помножимо ліву та праву частини r r

виразу j = σE на елементарну довжину провідника dL (переміщення носія

В (1) j Sn=I є величина сили струму. Проінтегруємо (1) по ділянці кола L з точки 1 до точки 2

є опір провідника, а ρ = σ1 питомий опір. Інтеграл у правій частині (2) є

напруга U на кінцях ділянки

Остаточно з (2)-(4) маємо вираз для закону Ома в інтегральній формі

який він установив експериментально.

§ 20. Закон Джоуля-Ленца

Закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі

У класичній моделі електричного струму приймається, що при співударянні з розсіюючим центром носій струму зупиняється, тобто повністю передає середовищу придбану за рахунок роботи поля кінетичну

де n концентрація носіїв струму провідника. Підставляючи у (2) вираз для

Вираз (3) визначає густину теплового потоку у провіднику і носить назву диференціального закону Джоуля-Ленца.

Закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі

З диференціального закону можна одержати інтегральний закон Джоуля-Ленца для теплового потоку. Дійсно, якщо в провіднику йде струм І, то величина dQ розсіяної енергії в елементі об'єму провідника за час dt може бути розрахована так

чисельно потік дорівнює потужності джерела струму, яка виділяється у провіднику.

Вираз (6) Джоуль та Ленц установили експериментально і його називають інтегральним законом Джоуля-Ленца.

Приклад 1. Елемент з ЕРС Е=2 В має внутрішній опір r=0,5 Ом. Знайти падіння потенціалу Ur у середині елемента при струмі І=0,25 А. Яка величина зовнішнього опору R за цих умов?

Дано: E=2 В, r=0,5 Ом, I=0,25 A, Ur-?, R-?.

Розв'язок 1). Знайдемо падіння потенціалу на внутрішньому опорові

Ur=Ir=0,25 0,5=0,125 В.

2).Обчислимо зовнішній опір R із закону Ома для замкнутого кола

I = RE+ r , R = EI − r = 0,225 − 0,5 = 7,5 Ом.

§ 21. Температурна залежність опору провідника

Фізичний зміст опору R провідника можна установити з виразу j=enVд, де величина заряду е та концентрація n є сталими величинами. Збільшення чи зменшення струму відбувається при зменшенні чи збільшенні дрейфової

швидкості V. При сталій напруженості поля у провіднику зміна величини V спостерігається при зміні його температури. При збільшенні температури, за рахунок збільшення інтенсивності розсіювання направленого руху зарядів тепловими коливаннями вузлів кристалічної, відбувається зменшення V і навпаки. Тобто опір електричному струмові у провіднику збільшується із збільшенням температури провідника і навпаки. Експеримент показує, що для високих температур питомий опір металів залежить від температури лінійно

температурний коефіцієнт опору.

Основним недоліком класичної теорії провідності є те, що вона не може дати реальну залежність опору провідника від його температури (1).

Дійсно, якщо класичний вираз для середньої теплової швидкості Vт ~ T , то σ ~ 1/ T , а ρ ~ T , що суперечить експериментові. Цей недолік класичної теорії електропровідності пов′язаний з тим, що за шлях вільного направленого пробігу λ, що здійснюється під дією електричного поля, приймають середню довжину вільного пробігу теплового руху λ. Експеримент показує, що класичне значення провідності можна отримати, допустивши середню довжину вільного пробігу λ′ рівною сотням міжвузольних відстаней кристалічної решітки металу.

В 1911 році голандський iнженер Камерлiнг-Оннес вiдкрив явище надпровiдностi, яке полягає у тому, що при температурах менших 4К ртуть втрачає електричний опiр. Таке охолодження ртутi було досягнуте за допомогою рiдкого гелiю. За вiдкриття явища надпровiдностi у 1913 роцi Камерлiнг-Оннес був вiдзначений Нобiлевською

премiєю.

Явище надпровiдностi було зафiксовано при гелiйових температурах у цiлого ряду металiв та сплавiв Pb, Zn, Al, вiсмут з золотом та iншi. На Мал.25 зображена залежнiсть питомого опору металу (сплаву) вiд температури. На графiку ρ0 залишковий опiр

надпровідності. Для чистих надпровiдникiв ∆Тс≈10-3 К. Про характер опору електричному струму надпровідника говорить той факт, що струм, створений за рахунок електромагнiтної iндукцiї у кiльцевому надпровiднику, може iснувати роками.

§ 22. Cтороннi сили, ЕРС

При сполученні тіл rіз різними потенціалами провідником у ньому за рахунок кулонівських сил Fk виникає спадний у часі струм, що приводить до

вирівнювання потенціалів і подальшого припинення струм у провіднику.

Для підтримки в електричному колі струму певної величини, необхідно щоб у ньому, крім кулонівських, існували б ще й інші сили, що підтримують певну різницю потенціалів. Ці сили називаються сторонніми і їх призначенням є розділ різнойменних зарядів, для створення електричного поля. Усередині

сторонніх сил. Робота кулонівських та сторонніх сил на ділянці електричного кола 1 2 запишеться у вигляді

Відношення А/q називається напругою U на ділянці кола 1 2 із джерелом сторонніх сил

Перший інтеграл є різниця потенціалів

а другий інтеграл визначає електрорушійну силу (ЕРС) джерела струму

яка чисельно дорівнює роботі сторонніх сил по перенесенню одиничного заряду на ділянці 1 2 електричного кола. Таким чином напругу на неоднорідній ділянці кола можна записати у вигляді

В (7) можна утворити таке співвідношення

від'ємний знак, а струмам, що входять додатний, то перше правило Кірхгофа можна записати у вигляді

∑Ik = 0 , (1)

k

де алгебраїчна сума береться по всім k струмам вузла. Для наведеного на малюнку 26 прикладу, за першим правилом Кірхгофа буде

І1 + І3 - І2 - І4 = 0.

Друге правило Кірхгофа. В розгалужених колах виділяються окремі замкнені контури, вершинами яких є вузли. Кожна із сторін контуру розглядається як неоднорідна дільниця струму з потенціалами ϕі та ϕі+1, струмом Іі, опором Rі, електрорушійною силою Еі та напругою Ui=RiIi. За додатній прийнято напрямок обходу контуру проти годинникової стрілки, тобто напрямок 1 3 2 для прикладу, зображеного на малюнку 27. Виведемо 2-ге правило Кірхгофа. Запишемо вирази для напруги на ділянках

1,2, 3 :

U1 =ϕ1 − ϕ2 + ε1

U2 =ϕ2 −ϕ3 + ε2

U3 =ϕ3 −ϕ1 + ε3

Якщо додати ліві та праві частини записаних рівностей, то в правій частині послідовно взаємознищуються потенціали ϕ і

напруги беруться із знаком "+", якщо відповідні їм струми за напрямком співпадають із напрямком обходу контуру, а в противному їм приписується знак "-". За додатній напрямок ЕРС береться напрямок від

полюса "-" до полюса "+", як це показано на малюнкові. Знак ЕРС в правій частині (2) визначається співпаданням напрямку ЕРС із напрямком обходу (знак "+"), чи ні (знак"-"). За законом Ома Ui = IiRi і друге правило Кірхгофа

Розв'язок електротехнічних задач на основі правил Кірхгофа.

Методика розв'язування цих задач полягає в тому, що в розгалужених колах виділяються вузли й окремі замкнені контури. Вказується додатній напрям обходу контурів: проти годинникової стрілки. Далі визначаються струми та ЕРС і їх напрями на кожній зі сторін контуру. Знаки струмів та ЕРС додатні, якщо їх напрямки співпадають із напрямком обходу контуру. Для вузлів

записують перше, а для контурів друге правило Кірхгофа. Таким чином можна одержати необхідну систему незалежних лінійних рівнянь відносно невідомих опорів R, струмів I та ЕРС.

Приклад 1. Визначити різниці потенціалів ϕD-ϕC та ϕK-ϕD при R=4 Ом, якщо електрорушійні джерела струмів Е1=6 В, Е2=Е3=4 В та внутрішніми опорами r1=r2=r3=r=0.5 Ом увімкнені в коло як показано на малюнку 28.

Дано: R=4 Ом, ε1 =6B, ε2 =ε3 = 4B , r=0.5 Ом, ϕD-ϕC -? ϕK-ϕD -?

Розв′язок.

Виберемо напрямки струмів на плечах контурів, як вказано на малюнку. Запишемо перше правило Кірхгофа для вузла D та друге

З метою визначення шуканих різниць потенціалів, запишемо закон Ома для

ділянок кола СЕ2D та DE3K

I2r = ϕC − ϕD + ε2 I3r = ϕD − ϕK +ε3

Враховуючи (4) та (5), одержимо

ϕD − ϕC = r(ε1 +ε2 −3εr 3+)2+RR(ε1 +ε2 ) б

ϕK − ϕD = r(ε3 −ε1 −ε+2 + ) + 2Rε3 . 3r 2R

Підставляючи величини ЕРС та опорі знайдемо

ϕC −ϕD = 4.5 В,

ϕD − ϕK =3.1 В.