Глава 3 преобразование логических функций

1. Основные законы алгебры логики

Основные законы алгебры логики являются двойственными: относительно логического сложения и относительно логического умножения. Ими являются:

1. Переместительный (коммутативный) закон:

• относительно сложения

• относительно умножения

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

• относительно сложения

• относительно умножения

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

• относительно сложения

• относительно умножения

4. Закон инверсии (де Моргана):

• относительно сложения

• относительно умножения

5. Закон повторения (идемпотентности):

Дополнительные законы:

6. Закон поглощения:

7. Закон склеивания:

8. Закон обобщенного склеивания:

Кроме перечисленных законов большое значение в алгебре логики имеют так называемые соотношения 0 и 1. Напомним, что в алгебре логики символом 1 обозначается всегда истинное суждение (есть сигнал), а символом 0 – всегда ложное суждение (нет сигнала).

На основании алгебры логики очевидны следующие соотношения (аксиомы алгебры логики):

Последние соотношения (относительно a) легко доказываются подстановкой вместоaего возможных значений – 0 и 1.

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики.

В алгебре логики установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними – операции дизъюнкции. При наличии в выражении скобок в первую очередь производятся операции внутри скобок.

При преобразовании логических функций зачастую приходится производить операцию инверсирования их.

Логическая функция будет инверсной по отношению к функцииf, если соблюдаются два соотношения:

Следовательно, если на каком-либо наборе переменных функция fпринимает значение 0, то функцияравняется 1 и наоборот.

Для контактных схем это означает, что если при данном состоянии реле цепь, соответствующая f, замкнута, то цепь, соответствующая– разомкнута и наоборот.

Под инверсированием (логическим отрицанием) функции fпонимается нахождение функции, удовлетворяющей указанным соотношениям.

На основании законов инверсии можно сформулировать следующий порядок инверсирования булевых функций, записанных в базисе И, ИЛИ, НЕ.

При инверсировании булевой функции все знаки дизъюнкции заменяются на знаки конъюнкции и наоборот – при одновременном инверсировании каждого элемента. При этом для сохранения последовательности действий необходимо соответствующим образом вводить или исключать скобки.

Другими словами, логическое инверсирование производится на основе закона инверсии, который последовательно применяется к отдельным частям функции в порядке, указанном логическими операциями и определяемом самой функцией. Например, дана функция Найти

Очевидно, F– конъюнкцияaиЗначит, первым применяем закон инверсии относительно умножения, далее – относительно сложения во второй части и т.д.:

Итак,

2. Основные формулы равносильных преобразований

Рассмотренные законы алгебры логики и соотношения 0 и1 позволяют производить равносильные преобразования логических функций, т.е. получать из исходных функций более простые, содержащие меньшее число переменных, и равносильные по своему действию исходным.

Преобразование логических функций используется при анализе, синтезе и логическом контроле ДУ. Мощным аппаратом для равносильных преобразований являются так называемые основные формулы равносильных преобразований.

Относительно умножения:

1. 

2. 

Символом ~ над переменной обозначаем, что имеется в виду и нормальная, и инверсная переменные:

Из формул видно, что если переменная логически умножается на функциюf, то в этой функции все одноименные переменные заменяются на 1, а все инверсные– на 0.

П р и м е р ы:

1. 

2. 

Приведенные формулы можно заменить одной:

Относительно сложения:

1. 

2. 

Если переменная логически складывается с функциейf, то в этой функции все одноименные переменные заменяются на 0, а все инверсные– на 1.

Эти формулы можно заменить одной:

Основные формулы равносильных преобразований доказываются методом подстановки в них вместо переменной x ее возможных значений 0 и 1 и сравнения правой и левой частей уравнения.

Докажем, например, формулу

.

Пусть x = 0, тогда – равенство справедливо. Пустьx = 1, тогда – равенство справедливо.

Таким образом, формула доказана.

Аналогичным образом доказываются и другие основные формулы равносильных преобразований.

П р и м е р ы:

1. 

2. 

Таким образом, полученные формулы наряду с законами алгебры логики позволяют производить равносильные преобразования логических функций.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Упростить логическую функцию

Применяем законы алгебры логики (2 раза распределительный закон) и получаем:

2. Упростить функцию

3. Упростить функцию

4. Упростить функцию

Заметим, что Принимаяза один символ, получаем: