8. Решетка соседних чисел и обобщенных кодов

Одним из инженерных методов минимизации логических функций, с помощью которого определяется одна из тупиковых ДНФ, принимаемая за частную минимальную ДНФ, является метод использования решетки соседних чисел и обобщенных кодов (метод Л. Т. Мавренкова).

Рассмотрим построение и возможности решетки соседних чисел и обобщенных кодов (ОК).

Известно, что логическая функция может быть задана в символической форме – в виде совокупности рабочих и запрещенных весовых состояний, представляющих десятичный (восьмеричный) эквивалент двоичных чисел, описывающих наборы переменных, на которых функция равна соответственно единице и нулю.

Любую элементарную конъюнкцию (член СДНФ) можно записать двоичным числом при выбранной базе.

Таким образом, логическая функция, представленная в СДНФ, может быть записана в виде логической суммы двоичных чисел. Например:

Запишем каждый член СДНФ в виде двоичного числа. Для этого выберем предварительно базу a, b, c, d:

Если в члене СДНФ данная переменная без инверсии, то в этом разряде ставим 1, если с инверсией – ставим 0.

Так,

Если двоичные числа перевести в десятичные, то получим рабочие весовые состояния:

В каждом разряде двоичного числа может находится либо 1, либо 0. Если двоичные числа отличаются друг от друга в одном разряде, то такие числа называются соседними. Например, 14 → 1110 и 12 → 1100 отличаются в 1-м разряде (2¹), а числа 12 → 1100 и 13 → 1101 отличаются в 1-м разряде – они попарно соседние. Но 14 → 1110 и 13 → 1101 не являются соседними, так как отличаются в двух разрядах: в 1-м и во 2-м.

Соседние числа обладают следующими свойствами:

1. Количество чисел, соседних с данным двоичным числом, равно количеству его разрядов.

Чтобы получить все числа, соседние с данным числом, необходимо, идя от старшего разряда к младшему (или наоборот), поразрядно менять 0 на 1, а 1 на 0. Например, имеем число 10 → 1010. Соседними с ним являются 0010, 1110, 1000, 1011. Отобразим это в виде диаграммы, на которой соседние числа обозначим в десятичной системе счисления в кружочках (рис.3.13).

2. Логическая сумма двух соседних чисел приводит к исключению одной переменной (одного разряда). Например, суммуможно записать (при базеabcd) как, где вместо исключенного разряда ставится «–» (тире).

Заметим, что исключается именно тот разряд, в котором соседние двоичные числа отличаются. Вместо него и ставится тире.

Числовая запись конъюнкции двоичных переменных, при которой в разрядах, соответствующих нормальным переменным, поставлены 1, в разрядах, соответствующих инверсным переменным, – 0, а в разрядах, в которых отсутствуют переменные, – «–», называется обобщенным кодом.

Упрощенно говоря, обобщенный код – это выражение, состоящее из единиц, нулей и тире.

Обобщенный код соответствует члену ДНФ. Пусть, например, при базе abcdимеем член ДНФОчевидно, с помощью обобщенного кода его можно записать как 10 – 1 (переменнаяcотсутствует).

Теперь понятно 2-е свойство: логическая сумма двух соседних чисел равна обобщенному коду, содержащему тире в том разряде, в котором числа не совпадают, т.е. поразрядно: «–»;«–».

Двоичные числа являются частным случаем обобщенного кода, в них отсутствуют тире. Двоичное число соответствует члену СДНФ.

Два обобщенных кода, отличающиеся только в одном разряде, называются соседними. Отметим, что они должны содержать тире в одних и тех же разрядах.

Свойства обобщенных кодов (ОК):

1. Количество обобщенных кодов, соседних данному, равно числу нулей и единиц в данном обобщенном коде.

Соседние ОК определяются так же, как и соседние числа. Например, для ОК 11 – 0 соседними являются 01 – 0, 10 – 0, 11 – 1.

2. Логическая сумма двух соседних ОК равна ОК, содержащему тире в том разряде, в котором записанные коды были противоположны, и совпадающему с ними в остальных разрядах. Например:

3. Обобщенный код, имеющий тире в tразрядах, равен логической суммедвоичных чисел, содержащих все комбинации 0 и 1 в этих разрядах и совпадающих с обобщенным кодом в остальных разрядах. Например,, т.е. вместо каждого тире делаем перебор 0 и 1.

Эти свойства обобщенных кодов позволили создать решетку соседних чисел и обобщенных кодов – решетку Л. Т. Мавренкова.

Рассмотрим решетку (рис.3.14) для четырех двоичных переменных, которая употребляется наиболее часто. Числа решетки, записанные в десятичной системе счисления, расположены на плоскости таким образом, что каждое число с четырех сторон окружено соседними. Расположение соседних чисел легко получаем из карты Карно на четыре переменных. Всего чисел – 2⁴= 16.

Числа решетки объединяются различными фигурами: число, линия, квадрат, полоса. Каждое число – это обобщенный код без тире – двоичное число (4-разрядное).

Каждые два соседних числа объединены линией связи, которая соответствует обобщенному коду, содержащему одно тире. Например:

Логическая сумма любых четырех попарно соседних чисел, образующих квадрат или линию, которая при замыкании также образует квадрат, соответствует обобщенному коду с двумя тире. Например, квадрат

линия

Логическая сумма восьми попарно соседних чисел, образующих на решетке полосу, соответствует обобщенному коде, содержащему 3 тире. Например:

Все фигуры (числа, линии связи, квадраты, полосы) указаны на решетке, на которой также проставлены и их обобщенные коды. Каждый обобщенный код соответствует члену ДНФ. Все эти коды очень легко выводятся при логическом сложении соседних чисел и соседних обобщенных кодов в результате последовательного выполнения операции склеивания.

Обобщенный код, соответствующий логической сумме всех 16 четырехразрядных двоичных чисел, содержит все четыре тире:Нетрудно заметить, что решетка соседних чисел и обобщенных кодов имеет очень большую аналогию с картой Карно.

Так, вершины решетки соответствуют клеткам карты Карно, а фигуры решетки соответствуют правильным контурам карты, они включают в себя 2ⁿвершин (n= 0, 1, 2, 3, 4).

Аналогично карте Карно простой импликанте логической функции соответствует максимальная фигура решетки, охватывающая вершины, соответствующие рабочим и условным весовым состояниям (числам). Максимальной фигуре соответствует обобщенный код, содержащий максимальное число тире.

Преимуществом решетки соседних чисел по сравнению с картой Карно является то, что для каждой фигуры (правильного контура) на ней указан обобщенный код, который эквивалентен импликанте, покрывающей конституенты, соответствующие вершинам данной фигуры.

Решетка соседних чисел и обобщенных кодов может быть выполнена и в восьмеричной системе счисления. Наиболее удобная в обращении решетка до четырех переменных; решетка для пяти-шести переменных уже теряет наглядность и удобство работы.

Каждая вершина решетки соответствует члену СДНФ функции, а обобщенный код фигуры – члену ДНФ.

С помощью решетки можно легко переходить от ДНФ к СДНФ логической функции.

Пусть дана ДНФ

Выберем базу a,b,c,d. Запишем ДНФ в обобщенных кодах:

Найдем полученные обобщенные коды в решетке соседних чисел и запишем вместо них рабочие числа, которые они охватывают:

Это и есть символическая форма записи.

Итак, рабочие числа функции:

Отсюда переходим к двоичным числам, а от них – к СДНФ:

Из решетки можно сразу выписать двоичные числа вместо десятичных.