11. Минимизация логических функций методом поразрядного сравнения рабочих и запрещенных обобщенных кодов

Часто при синтезе сложных дискретных устройств, особенно микропрограммных автоматов (МПА), условия их работы, т.е. логические функции (ЛФ), описывающие возбуждение элементов памяти и появление сигналов на входе, получаются сразу в обобщенных кодах (ОК) – рабочих и запрещенных. Для их минимизации методом поразрядного сравнения рабочих и запрещенных весовых состояний ОК можно перевести в рабочие и запрещенные весовые состояния в восьмеричной системе счисления, но этот путь долгий и сложный.

Разработан (Викентьевым Л. Ф.) метод минимизации ЛФ, не полностью определенных, заданных рабочими и запрещенными ОК.

Рассмотрим его.

Рабочий ОК – это ОК, описывающий такие наборы переменных, на которых ЛФ равна 1, т.е. покрывающий попарно соседние рабочие весовые состояния (ВС).

Запрещенный ОК – это ОК, описывающий такие наборы переменных, на которых ЛФ равна 0, т.е. покрывающий попарно соседние запрещенные ВС.

Разряды обобщенного кода, занятые символами 1 и 0, называются значащими разрядами ОК. Количество тире в ОК называется рангом ОК.

Сущность метода минимизации не полностью определенных ЛФ, заданных рабочими и запрещенными ОК, заключается в том, что поочередно рассматриваются рабочие ОК (сравниваются с запрещенными ОК), в которых стараются как можно больше значащих разрядов заменить символами «–» (тире), стремясь получить ОК максимального ранга, включающий в себя как можно больше рабочих ОК и не включающий ни одного запрещенного.

Методика минимизации заключается в следующем. Каждый рабочий ОК сравнивается со всеми запрещенными ОК, и в нем оставляют лишь те минимально необходимые значащие разряды, которые отличают его от всех запрещенных ОК.

Получают результирующий рабочий ОК, содержащий минимальное число значащих разрядов.

Если в ходе сравнения получаются одинаковые результирующие ОК (а к этому всегда надо стремиться), то по закону повторения оставляют только один из них.

Совокупность полученных результирующих ОК образует приведенную систему простых импликант, а дизъюнкция соответствующих им членов ДНФ является одной из частных МДНФ (одной из тупиковых ДНФ).

П р и м е р 1. Получена таблица соответствия для функции Z₁ при базе y₂y₁x₃x₂x₁.

Каждая строка таблицы представляет собой ОК, первые четыре строки – рабочие ОК, последние три строки – запрещенные ОК.

По очереди сравниваем каждый рабочий ОК с каждым запрещенным ОК и минимально необходимые для их различия значащие разряды обводим «рамкой». Запишем результирующие ОК, объединим повторяющиеся, перейдем к импликантам при заданной базе (табл.3.6).

Получим частную МДНФ

Поскольку двоичное число является частным случаем обобщенного кода – обобщенный код нулевого ранга, то, очевидно, этот метод можно применять для минимизации ЛФ, зависящих от любого числа переменных и заданных в СДНФ или символической формой. При этом следует рабочие и запрещенные весовые состояния (члены СДНФ) записать в виде ОК (двоичных чисел) и поступать, как указано выше.

Таблица 3.6

y2	y1	x3	x2	x1	Z1	Результирующий ОК	Импликанта
0	0	–	–	1	1	0 – – – 1
0	0	–	0	0	1	0 – – 0 –
0	1	–	–	1	1	– 1 – – –	y1
0	1	–	–	0	1	– 1 – – –
0	0	–	1	0	0
1	0	1	–	–	0
1	0	0	–	–	0

Поясним это на примерах, рассмотренных ранее.

П р и м е р 2. Минимизировать функцию 37, 22, 31, [00, 16, 10].

Перейдем от ВС к ОК и выполним минимизацию.

37	→	011 111	→	– 1 – – – –	– 1 – – – –
22	→	010 010	→	– 1 – – – –		→	x5
31	→	011 001	→	– 1 – – – –
00	→	000 000
16	→	001 110
10	→	001 000

Получили ответ такой же, как и ранее y = x₅, трудовые затраты – меньше.

Заметим, что если ВС много, то желательно соседние ВС объединять в ОК.

П р и м е р 3. Минимизировать ЛФ 73, 66, 43, 52, 56, 67, [00, 03, 15, 22, 23, 37, 40].

111 011		111 011	1 – – – 1 –	→	x6x2
110 110		110 11–
100 011		100 011
101 010		101 –10
101 110
110 111
000 000		–00 000
000 011		0–0 011
001 101		001 101
010 010		010010
010 011
011 111		011 111
100 000

Получили тот же результат y=x₆x₂, трудовые затраты – больше, большая вероятность ошибки.

П р и м е р 4. Минимизировать ЛФ 21, 22, 27, [06, 20, 24, 26].

21	→	10 001	→	10 001		– – – – 1	→	b
22	→	10 010	→	10 010		– – 01 –	→
27	→	10 111	→	10 111
06	→	00 110		–0 110
20	→	10 000		10 –00
24	→	10 100
26	→	10 110

Получили ответ .