4. Структура дискретных устройств (автоматов)

Как известно, дискретные устройства (релейные устройства) представляют собой совокупность релейных элементов. Кроме РЭ в ДУ могут входить и другие элементы: диоды, резисторы, емкости, а также соединительные провода. Напомним, что релейные элементы могут быть как контактные, так и бесконтактные.

В общем случае под структурой ДУ понимается состав релейных и других элементов или функциональных узлов (блоков), образующих это устройство, и характер связи между ними.

Так как функциональные узлы ДУ, в свою очередь, или состоят из релейных элементов, или представляют собой логические элементы дискретного действия, то можно сказать, что под структурой дискретного устройства понимается взаимное расположение и соединение релейных элементов между собой.

Одним из наиболее распространенных способов записи структуры ДУ, построенного на бесконтактных РЭ, является графическая запись в виде функциональных схем, в которых изображаются отдельные функциональные блоки устройства (элементы или их совокупности, реализующие некоторые заданные функции по переработке информации) в виде условных графических изображений и показываются связи между выходами и входами этих блоков (рис.1.8).

В некоторых случаях бывает удобно пользоваться записью структуры в виде формул с привлечением тех алгебраических (логических) операторов, которые соответствуют каждому блоку или элементу структуры. Тогда структурная формула показывает аналитическую зависимость выходного сигнала ДУ от входных сигналов.

Наибольшее значение понятие структуры имеет для релейно-контактных дискретных устройств.

Глава 2 логические функции и их свойства

1. Логические функции и способы их задания

При построении дискретных устройств в настоящее время наибольшее распространение получили элементы, у которых входные и выходные сигналы принимают одно из двух возможных значений – высокий и низкий электрический потенциал, импульсы положительной и отрицательной полярности, наличие и отсутствие импульса тока, электрический ток большой и малой силы и т.д.

Поэтому для описания ДУ используются переменные, которые принимают также одно из двух возможных значений: 0 или 1, т.е. двоичные переменные.

Способ отождествления реальных сигналов с цифрами 0 и 1 может выбираться произвольно. Например, высокий электрический потенциал (наличие сигнала) можно сопоставить с цифрой 1, а низкий электрический потенциал (отсутствие сигнала) – с цифрой 0.

Возможности описывать условия функционирования ДУ дает алгебра логики (двоичная алгебра, булева алгебра).

Алгебра логики оперирует с логическими переменными и логическими функциями.

Логической, или двоичной, переменной называется величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1. Логические переменные обозначаются буквами латинского алфавита. Логической функцией (функцией алгебры логики, переключательной функцией) называется функция, которая, как и ее аргументы (логические переменные), может принимать лишь одно из двух возможных значений: 0 или 1.

Логические функции выражают зависимость выходных переменных от входных.

В релейно-контактных устройствах значение 1 соответствует состоянию ИО и РО «включено», а значение 0 – состоянию «выключено».

Логические функции в зависимости от числа входных переменных делятся на функции одной переменной, двух переменных и многих переменных.

Различные комбинации значений входных переменных в логических функциях называются н а б о р а м и.

Например, две входных переменных, принимая значения 0 или 1, могут образовать всего четыре различных сочетания нулевых и единичных значений, т.е. 4 набора: 00, 01, 11, 10.

Для упорядочивания таких n-мерных двоичных наборов любой набор будем рассматривать как представление целого неотрицательного числа в двоичной системе счисления. При этом будем полагать, что в двоичном числе младший разряд расположен справа.

Например, набор 10011 может быть представлен десятичным числом

1 · 2⁴+ 0 · 2³+ 0 · 2²+ 1 · 2¹+ 1 · 2⁰= 19,

а набор 1110 – числом

1 · 2³+ 1 · 2²+ 1 · 2¹+ 0 · 2⁰= 14.

Для компактной записи наборов значений переменных логической функции целесообразно их представлять числами в десятичной или восьмеричной системах счисления.

Десятичное или восьмеричное число, которым представляется набор значений переменных логической функции, будем называть весовым состоянием (номером) или просто весом этого набора. С данным понятием мы уже встречались, когда рассматривали способы задания ДА.

Для однозначного задания двоичного набора значений переменных необходимо назвать его весовое состояние (номер) и размерность (базу), т.е. количество переменных логической функции и их взаимное расположение. Так, например, десятичному числу 25 соответствует набор 11001 при размерности n= 5 или набор 0011001 при размерностиn= 7.

Так как каждая логическая переменная может принимать лишь два значения, то очевидно, что множество возможных комбинаций значений nпеременных содержит 2ⁿдвоичных наборов размерностиn.

Определим максимальное количество различных логических функций от Nпеременных.

Для однозначного задания логической функции необходимо оговорить ее значение на каждом наборе переменных. В связи с тем, что на каждом наборе логическая функция может принимать значение 0 или 1 независимо от ее значений на остальных наборах переменных, а число наборов всегда равно 2ⁿ, число различных логических функций определится выражением

Например, для n= 1 число логических функцийN= 4, дляn= 2N= 16, дляn= 3N= 256, дляn= 4N= 65 536, дляn= 5N= 4 294 966 296.

Как видно, с увеличением числа переменных количество логических функций очень быстро растет и уже для пяти переменных составляет огромную величину.

Наборы переменных, на которых логическая функция принимает значение 1, будем называть рабочими (единичными). Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть запрещенными (нулевыми).

Функции, значения которых определены на всех 2ⁿнаборах, называются полностью определенными логическими функциями. Нередко рассматриваются функции, значения которых определены только для части наборов. Такие функции будем называть не полностью определенными функциями.

Наборы переменных, на которых значение функций не определено, будем называть условными наборами. Значения функции на условных наборах могут выбираться произвольным образом.

Логические функции могут быть заданы:

• словесным описанием;

• таблицами соответствия (истинности);

• весовыми состояниями (номерами) рабочих, запрещенных и условных наборов (символическая форма);

• формулами (аналитическими выражениями).

При словесном описании логической функции должны быть указаны характерные ее свойства и перечислены совокупности рабочих, запрещенных и условных наборов.

Для задания логической функции таблицей соответствия строится специальная таблица, число строк которой равно числу различных наборов переменных (2ⁿ), а число столбцов равноn+ 1. Первыеnстолбцов обозначаются символами переменных, от которых зависит функция, а последнийn+ 1 столбец – символом функции. В каждую строку такой таблицы записывается набор значений переменных и соответствующее ему значение функции. Для полностью определенных функций в столбце значений стоят только 1 или 0. Для не полностью определенных функций в строках, соответствующих условным наборам, будем проставлять знак ~.

С целью уменьшения объема таблиц соответствия в связи с тем, что число строк 2ⁿочень быстро растет с увеличением числа переменныхn, применяются с о к р а щ е н н ы е таблицы. Для полностью определенных функций сокращенные таблицы включают в себя только рабочие или только запрещенные наборы.

Примеры полной и сокращенных таблиц соответствия для полностью определенной функции от трех переменных представлены табл.2.1, 2.2, 2.3.

	Таблица 2.1					Таблица 2.2
	x3	x2	x1	f(x)		x3	x2	x1	f(x)
	0	0	0	0		0	0	1	1
	0	0	1	1		0	1	0	1
	0	1	0	1		1	0	0	1
	0	1	1	0		1	1	0	1
	1	0	0	1		1	1	1	1
	1	0	1	0
	1	1	0	1		Таблица 2.3
	1	1	1	1		x3	x2	x1	f(x)
						0	0	0	0
						0	1	1	0
	Таблица 2.4					1	0	1	0
	x3	x2	x1	f(x)
	0	0	0	0		Таблица 2.5
	0	0	1	~		x3	x2	x1	f(x)
	0	1	0	1		0	0	0	0
	0	1	1	~		1	0	0	0
	1	0	0	0		1	1	1	0
	1	0	1	1		0	0	1	~
	1	1	0	~		0	1	1	~
	1	1	1	0		1	1	0	~

С целью сокращения таблицы соответствия не полностью определенной функции можно опустить либо единичные, либо нулевые, либо условные наборы. Например, логическую функцию, заданную таблицей соответствия (табл.2.4), можно представить одной из сокращенных таблиц соответствия (табл.2.5-2.7).

	Таблица 2.6					Таблица 2.7
	x3	x2	x1	f(x)		x3	x2	x1	f(x)
	0	1	0	1		0	0	0	0
	1	0	1	1		1	0	0	0
	0	0	1	~		1	1	1	0
	0	1	1	~		0	1	0	1
	1	1	0	~		1	0	1	1

При задании функции сокращенной таблицей соответствия целесообразно выбирать вариант таблицы, содержащей минимальное количество строк.

Более компактным табличным способом задания логических функций является использование двухвходовых таблиц соответствия. При построении такой таблицы количество переменных, от которых зависит функция, разбивается на две примерно равные части (группы).

Для образования групп переменных определяются всевозможные наборы их значений. Столбцы и строки таблицы в произвольном порядке обозначаются наборами переменных первой и второй групп. Каждая клетка такой таблицы соответствует одному набору значений переменных, и в ней представлено значение функции на этом наборе. Общее количество клеток такой таблицы соответствует числу всевозможных наборов значений переменных.

Примером двухвходовой таблицы соответствия для функции от четырех переменных является табл.2.8.

			Таблица 2.8
			x4x3	x2x1
				00	01	10	11
			00	0	1	0	1
			01	0	0	1	~
			10	0	~	0	1
			11	1	~	~	0

Удобным способом задания логических функций является использование для этой цели весовых состояний рабочих, запрещенных и условных наборов в десятичной или восьмеричной системах счисления. Для этого должны быть перечислены номера (весовые состояния) всех рабочих, запрещенных и условных наборов. Такой способ задания называют иногда символической формой.

Очень важно, чтобы для однозначности задания логической функции при записи ее были перечислены переменные, от которых зависит функция, обязательно в том порядке, в каком их значения расположены в двоичных наборах, т.е. должна быть указана база.

Например, если приведен такой порядок логических переменных: x₄,x₃,x₂,x₁и среди номеров рабочих наборов имеется десятичное число 13, то это означает, что при значениях переменныхx₁= 1,x₂= 0,x₃= 1,x₄= 1 (двоичный набор 1101) значение логической функции равно 1.

Заметим, что весовое состояние набора есть десятичное или восьмеричное представление двоичного числа, соответствующего значению переменных набора.

Выбор базы, т.е. определенного положения переменных в наборе, можно понимать как присвоение каждой переменной (каждому разряду двоичного набора) определенных весов двоичного счисления, причем самый малый вес 2⁰присваивается правому разряду, а затем справа налево веса увеличиваются. Так, в нашем примере переменнаяx₁имеет вес 2⁰,x₂– 2¹,x₃– 2²,x₄– 2³. Тогда весовое состояние набора представляет собой сумму весов тех переменных (разрядов) набора, которые имеют значение, равное 1.

При задании логической функции весовыми состояниями рабочих и запрещенных наборов (символической формой) условимся, как и при задании ДА, рабочие ВС указывать через запятую, запрещенные – в квадратных скобках, условные – в круглых скобках. Базу будем указывать в обозначении функции, систему счисления при необходимости – в виде нижних индексов у функции.

Например, логическая функция, описанная таблицей соответствия (табл.2.8), может быть задана в символической форме:

Функция, описанная табл.2.4, также задана в символической форме:

Очевидно, что при задании функции символической формой достаточно указывать рабочие и запрещенные ВС, или рабочие и условные, или запрещенные и условные.

Недостающие наборы определяются в каждом случае как дополнительные до полного числа 2ⁿ.

Так, последняя функция может быть задана в виде

или

или

В случае полностью определенных функций достаточно указать только рабочие или только запрещенные ВС. Обычно при употреблении десятичной системы счисления нижние индексы у функций не ставятся, в остальных случаях необходимо указать систему счисления нижним индексом у функции, например:

Произвольная логическая функция может быть задана в виде аналитического выражения (формулы), которое представляет собой совокупность переменных, объединяемых определенными операциями (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия и др.).

Аналитические формы представления (задания) логических функций будут рассмотрены позднее.