Ã Ë À  À 1 1
Элементы теории эксперимента
В последние годы интенсивно развивается математическая теория эксперимента-общие методы, позволяющие повысить эффективность эксперимента практически во всех областях науки. Эта теория основывается на двух основных концепциях.
Концепция случайной ошибки. Нельзя ни грамотно поставить эксперимент, ни корректно обработать его результаты, не учитывая того, что за ничтожным исключением, результаты любого эксперимента содержат случайные ошибки.
Предположим, мы хотим поставить два опыта, чтобы чекез полученные точки провести прямую. Если не учитывать ошибок, безразлично, как расположены абсциссы этих точек (при каких значениях аргумента ставятся опыты): через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Но учет ошибок немедленно приводит к выводу, что точки следует раздвинуть по оси абсцисс как можно дальше: если точки близки и значит, результаты опытов мало отличаются один от другого, влияние ошибок очень сильно исказит ход прямой.
Концепция модели. В подавляющем числе случаев, чтобы хорошо организовать эксперимент, необходимо заранее знать (или хотя бы предполагать), в каком виде мы хотим получить описание объекта эксперимента, какую математическую модель будем строить по его результатам.
Таким образом, для эффективного проведения эксперимента нужно заранее выбрать общий вид модели (3.2) и сформулировать цель эксперимента как оценку параметров модели и величины шума.
Математическая модель не обязательно должна задаваться уравнениями. В ряде случаев, особенно если переход от модели общего вида (3.1) к виду (3.2) невозможен или труден, имеет смысл применять и более простые модели. Примером может служить модель классификации: по данным опытов мы хотим узнать, к какому классу относится данный объект - скажем, обладает ланите вещество свойствами лекарства или нет.
Важнейшая роль, отводимая в теории эксперимента случайным ошибкам, требует привлечения методов теории вероятно- с т е и и м а т е м а т и ч е с к о и с т а т и с т и к и. Поскольку эти вопросы изучаются в курсе математики, здесь лишь кратко изложены основные сведения.
*8
5. Случайные величины.
Случайной величиной является та, точное значение которой в предстоящем измерении невозможно предсказать. Практически случайные величины появляются двумя путями. В ряде задач величина случайна, так сказать, по сути. Так, случайно количество радиоактивных распадов в секунду для образца, обладающего низкой активностью. В других задачах мы обычно трактуем величину как в основном неслучайную (детерминированную), но становящуюся случайной вследствие того, что при измерении на нее накладывается случайная ошибка. Однако провести четкую границу между теми и другими случайными величинами вряд ли возможно. В теории вероятностей различия между ними не делают.
Главная характеристика случайной величины-вероятность. Вероятность Ð есть число, заключенное между О и 1, характеризующее среднюю частоту появления в измерениях того или иного значения случайной величины. По способу задания вероятности случайные величины делятся на два больших класса.
Пример 5.1. Оценка вероятностей показателей работы цеха. В опытном цехе установлены 4 печи для выращивания кристаллов сапфира. Посменный анализ работы цеха за предыдущий год (915 рабочих смен) дал следующие результаты:
Число работавших печей Число смен
4 401
З 276 2 89 1 79 0 70 Итого 915
В текущем году показатели работы практически не измеиллись. Какова вероятность того, что сегодня в вечернюю смену работают ровно 3 печи?
Какова вероятность того, что печь, включенная в работу сегодня утром, проработает до выключения точно 24 ч?
Ответ на первый вопрос можно получить, приняв, что при столь большом числе испытаний частота близка к вероятности:
Ð (Ë* = 3) =* -* ==0,30
Ответ на второй вопрос однозначен, но несколько неожидан: вероятность равна нулю:
Ð (å .= 24) = Î
Пример 5.1 требует разъяснения. Две рассмотренные в нем случайные величины относятся к двум классам.
Число работающих печей-дискретная случайная величина. Ее возможные значения отделены одно от другого интервалами: могут работать одна, две, три, но не 0,6 или 3,87 печи. Для каж-
4--2216 49