3.2. Характеристики графов

ПодграфомG_АграфаG=<М,Т>называется граф, в который входит лишь часть вершин графаG, образующих множество А, вместе с ребрами (дугами), их соединяющими.

Так, карта шоссейных дорог Пермской области является подграфом графа "Карта шоссейных дорог Российской Федерации".

Частичным графомG_по отношению к графуGназывается граф, содержащий только часть ребер (дуг) графаG.

Так, карты главных дорог России - подграф карты шоссейных дорог России.

В ориентированном графе вводятся понятия путь,контур, а в неориентированном -цепь,цикл.

Путемв ориентированном графеGназывают такую последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей.

Путь, в котором никакая дуга не встречается дважды, называется простым.

Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, называется элементарным.

Контур- это конечный путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной. При этом контур элементарный, если все его вершины, кроме начальной и конечной, различны. Выше мы встречались с контуром единичной длины -петлей.

В неориентированном графе цепь- последовательность ребер.Цикл- цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают.

Степенью вершиных, обозначаемойdeg(х), называют число ребер, инцидентных ей. Если degх=1, то вершина х тупиковая, еслиdegх=0, то вершина изолированная.

Если G- неориентированный граф сnвершинами иmребрами, аdegj- степениj-й вершины, то сумма степеней вершин равна удвоенному количеству ребер:

.

Это следует из того, что каждое ребро добавляет единицу к степени каждой из двух вершин, которое оно соединяет, т.е. добавляет 2 к сумме уже имеющихся вершин. Следствием этого факта является то, что в каждом графе число вершин нечетной степени четно.

Граф связен, если любые его две вершины можно соединить цепью.

Если граф не связен, то его можно разбить на отдельные связные подграфы, которые называются компонентами связности.

Связный граф, не имеющий циклов, называетсядеревом(рис.3.6).

Рис.3.6. Граф-дерево

Деревом может быть задано отношение подчинения в воинском подразделении.

Простейшее дерево состоит из двух вершин, соединенных ребром. Каждый раз, когда добавляется еще одно ребро, в конце его прибавляется также и вершина. Следовательно, дерево с nвершинами имеетn-1 ребро.

В теории графов доказывается, что число различных деревьев, которые можно построить на mвершинах, равноm^m-2.

Пусть G- неориентированный связный граф, имеющийnвершин иmребер.

Цикломатическим числомсвязного графаGсnвершинами иmребрами называется число

(G)=m-n+1.

Это число имеет интересный физический смысл: оно равно наибольшему числу независимых циклов в графе. При расчете электрических цепей цикломатическое число используется для определения числа независимых контуров.

Рассмотрим примеры подсчета числа независимых циклов. В графе, состоящем из одной вершины и одного ребра, один цикл (рис.3.7а). В графе, состоящем из одной вершины и трех ребер, три цикла (рис.3.7б). В графе, состоящем из двух вершин и двух ребер, один цикл (рис.3.7в). В графе, состоящем из двух вершин и пяти ребер, четыре цикла (рис.3.7г). В графе, состоящем из трех вершин и трех ребер, один цикл (рис.3.7д). В графе, состоящем из трех вершин и четырех ребер, два цикла (рис.3.7е). В графе, состоящем из четырех вершин и четырех ребер, один цикл (рис.3.7ж).

Цикломатическое число дерева равно нулю.

В графе, состоящем из четырех вершин и пяти ребер, два цикла (рис.3.7з). В графе, состоящем из четырех вершин и шести ребер, три цикла (рис.3.7и).

Граф называется плоским, если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются вершинами.

Граф Gназываютр-хроматическим, где р - натуральное число, если его вершины можно раскрасить р различными цветами так, чтобы никакие две смежные вершины не были раскрашены одинаково. Наименьшее число р, при котором граф является р-хроматическим, называютхроматическимчислом графа и обозначают(G). Если(G)=2, то граф называют бихроматическим. Необходимым и достаточным условием бихроматичности является отсутствие в графе циклов нечетной длины.

Рис.3.7. Примеры циклов в графах

Граф на рис.3.8(а) бихроматический, его вершины "раскрашены" двумя "цветами", обозначенными 0,1.

Рис.3.8. Примеры раскраски графов

Граф на рис.3.8(б) можно "раскрасить" тремя цветами, например, черным (ч), красным (к) и белым (б).