9.4. Законы масштабности

Законы масштабности, так же как и закон прямой пропорциональности, показанные на рис. 9.2, используются в проектировании и анализе систем по трем причинам:

1. они упрощают понимание главных связей, как в материальных системах, так и в анализе сложных ситуаций, где исследователь должен учитывать много переменных. Там, где анализом установлено, что результаты исследования зависят от малого числа переменных, связь между ними обычно можно выразить в виде относительно простых масштабных законов;

1. там, где действуют масштабные законы, расчеты можно резко упростить и удешевить, так как расчета, выполненного однажды (рис. 9.2), может быть достаточно, чтобы охарактеризовать бесконечно большое количество ситуаций;

2. масштабные законы позволяют также применить информацию и опыт, накопленные в исследовании одной проблемы, для решения другой. На этом основана возможность использования аэродинамических труб для испытания самолетов на моделях или испытания ядерного оружия при уменьшенной мощности заряда, что дает очевидные экономические преимущества.

Покажем теперь на примере анализа проблемы связи между двумя космическими кораблями (рис. 9.3, а) некоторые простые следствия действия нелинейных масштабных законов. Предположим, что передатчик космического корабля имеет мощность P_t и круговую диаграмму излучения. Энергия передатчика распространяется в космическом пространстве во фронте сферической волны и часть ее достигает приемника другого корабля, находящегося на расстоянии r.

Если антенна приемного устройства космического корабля имеет эффективную площадь A_t то доля энергии принимаемого сигнала точно пропорциональна доле излучаемой мощности, содержащейся в сферическом фронте волны, падающей на антенну приемного устройства:

Pt = Pt	At	(1)
	4πr2

Такое уравнение эквивалентно Pt ~ P₁ r² , и если необходимо поддерживать величину напряженности принимаемого сигнала равной P₁ то мощность передатчика должна изменяться пропорционально P₁ и квадрату расстояния между кораблями. Здесь мы встречаемся одновременно с линейным и квадратичным масштабными законами, поскольку требуемая мощность передатчика изменяется линейно по отношению к мощности принимаемого сигнала и одновременно обратно пропорциональна квадрату расстояния между приемником и передатчиком. Заметим, что здесь нет ограничения по расстоянию, на которое может быть передан сигнал в вакууме, ибо в принципе увеличение расстояния всегда можно компенсировать увеличением мощности передатчика. Например, если мы будем сравнивать мощность, необходимую для передачи сообщения с Земли на искусственный спутник, высота орбиты которого составляет 300 км, с мощностью, необходимой для передачи сигнала на лунный аппарат, летящий на расстоянии 280 тыс. км от Земли, то обнаружим, что требуемая мощность увеличится в миллион раз, поскольку дальность связи увеличилась в тысячу раз.

Обратимся теперь к проблеме радиолокационной станции (РЛС), которую можно рассматривать как частный случай решения общей задачи о двухсторонней связи (рис. 9.3, б). Для РЛС другой космический корабль или любая радиолокационная цель представляет собой поверхность, отражающую сигналы передатчика. Эта поверхность в общем случае не является плоским зеркалом и не отражает энергию точно по тому направлению, откуда она поступила. Она действует, скорее, как ретранслятор, переизлучающий полученную им энергию во всех направлениях. Если доля мощности, переизлучаемой радиолокационной целью с площадью ai составляет а, то мощность сигнала в приемной антенне РЛС с эффективной площадью А₂ будет представлена уравнением, аналогичным уравнению (1):

Р2 = а Р1	А2	, (2)
	2 π r2

где	А2
	2 π r2

есть не что иное, как отношение площади антенны РЛС к площади поверхности полусферы, в которой, по условию задачи, распространяется отраженный сигнал. Заменяя Р₁ в уравнении (2) его значением из уравнения (1), получим значение мощности принимаемого РЛС сигнала как

Р2 = а Рt	аА1 А2	, (3)
	8 π2 r4

Уравнение (3) представляет собой одну из форм хорошо известного уравнения радиолокатора, обусловливающего, что при заданных мощности передатчика, эффективной отражающей площади цели и. площади приемной антенны мощность принимаемого сигнала обратно пропорциональна четвертой степени расстояния между целью и передатчиком РЛС.

Если же необходимо, чтобы мощность отраженного сигнала составляла определенную величину Р₂, то мощность передатчика должна изменяться прямо пропорционально четвертой степени расстояния до цели r. Переходя в рассмотренном примере от односторонней связи к двухсторонней, получим, что мощность, необходимая для радиолокационного наблюдения лунного аппарата, будет в 10¹², или тысячу миллиардов, раз большей, чем для наблюдения искусственного спутника Земли с такой же эффективной площадью на орбите высотой 380 км. В этом нет ничего удивительного, и отсюда следует необходимость установки на космических аппаратах аккумуляторных батарей или других источников энергии для питания радиомаяка в системе слежения за полетом. Тогда вступает в действие квадратичный масштабный закон, свойственный односторонней радиосвязи, и проблема слежения значительно упрощается.

Другая область техники, где широко используют масштабные законы, - испытания обычных или ядерных боеприпасов. Здесь энергия от точки взрыва также распространяется в виде сферической ударной волны. Тогда в центре сферы на рис. 9.3, а можно представить вместо передатчика взрывающийся заряд. Рассматривая ударный эффект сферической взрывной волны, можно видеть, что мощность заряда, необходимого для создания заданной величины избыточного давления, будет пропорциональна объему воз­духа в сфере, поверхность которой проходит через интересующую нас точку. Отсюда следует, что требуемая мощность заряда пропорциональна кубу радиуса сферы. И наоборот, радиус поражения (радиус сферы, в пределах которой будет создано избыточное давление, достаточное для разрушения данного типа конструкции) будет прямо пропорционален корню кубическому из мощности заряда.

Такому же масштабному закону подчиняется и ряд других характеристик ядерного взрыва в атмосфере: время прибытия ударной волны, длительность ее импульса положительного давления, полная величина импульса, действие ударной волны на конструкцию и пр. Кубический закон можно также применить к изучению последствий наземного ядерного взрыва. Так, диаметр кратера, созданного при взрыве, будет пропорционален корню кубическому от мощности заряда. Однако этот закон справедлив не для всех характеристик ядерного взрыва. Глубина кратера при наземном взрыве будет точнее выражена законом корня четвертой степени от мощности заряда.

В то же время максимальная тепловая энергия и некоторые другие термические характеристики ядерного взры­ва можно представить с помощью квадратичного масштабного закона от мощности заряда.

Масштабные законы подобного типа могут быть особенно полезны для испытаний ядерного оружия, где они позволяют существенно сократить число испытательных взрывов, организация которых чрезвычайно сложна и дорога. Масштабные законы позволяют по данным, полученным при испытаниях оружия одной мощности, определить результаты воздействия ядерного взрыва другой мощности. Масштабные законы можно также использовать для оценки эффекта взрыва на высотах, отличных от высоты, на которой были проведены испытания. Масштабные законы позволяют существенно сократить затраты на эксперименты и расчеты в тех областях техники, где их можно использовать. Однако существуют пределы применимости масштабных законов. Некоторые из них рассмотрены ниже.