1.7. Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод можно использовать при решении задачи минимизации БФ с большим числом переменных. Этот метод опирается на теорему Жегалкина, в соответствии с которой любую логическую функцию можно представить в нормальной форме[1,3].

Рассмотрим булеву функцию трех переменных. Тогда ДНФ такой функции может быть записана так

(1.1)

В данном случае фиксируем все возможные конъюнктивные термы. Коэффициенты с различными индексами называются неопределенными коэффициентами. Их необходимо определить таким образом, что бы ДНФ была минимальной. Очевидно, если каким-либо способом заданы наборы БФ, то получаем алгебраическую систему уравнений, решение которой и есть значение коэффициентов. Критерий минимальности – минимальное количество букв в записи ДНФ. При определении ДНФ используют следующие свойства:если,, если хотя бы один из членов уравнения равен единице. Еслина соответствующем наборе переменных, то все коэффициенты, входящие в это уравнение, равны нулю. Тогда и во всех остальных уравнениях следует вычеркнуть эти коэффициенты, а из оставшихся уравнений, равных единице, найти коэффициенты, определяющие конъюнкцию наименьшего ранга в каждом из уравнений.

Пример 1.6. Минимизировать СДНФ, которая задана таблицей истинности (табл. 1.13)

Таблица 1.13

Таблица истинности булевой функции

	0	0	0	0	1	1	1	1
	0	0	1	1	0	0	1	1
	0	1	0	1	0	1	0	1
	1	0	0	0	1	1	1	1

Для всех восьми наборов БФ составим систему уравнений с неопределенными коэффициентами:

(1.2)

Из второго, третьего, четвертого уравнений системы (1.2) , в соответствии с основными тождествами булевой алгебры, получаем

Записанные выше коэффициенты подставляем в систему (1.2) и ее перепишем так:

(1.3)

В каждом из уравнений системы (1.3) выбираем конъюнкцию наименьшего ранга, а остальные коэффициенты полагаем равными нулю, т.е.

Теперь мы можем записать окончательную систему уравнений:

(1.4)

Используя (1.4) можно получить МДНФ данной БФ. Неопределенный коэффициент соответствует простой импликанте, которая покрывает четыре уравнения системы (1.4), а последнее уравнение покрывается простой импликантой, которой и соответствует коэффициент.

Окончательное соотношение для минимальной ДНФ запишем так

.

Глава 2. Методы анализа и синтеза логических электронных схем

2.1. Логические операторы электронных схем или цепей

Логической схемой называется совокупность логических электронных элементов, соединенных между собой таким образом, чтобы выполнялся заданный закон функционирования схемы, иначе говоря, - выполнялась заданная логическая функция.

По зависимости выходного сигнала от входного все электронные логические схемы можно условно разделить на[3]:

схемы первого рода, т.е. комбинационные схемы, выходной сигнал которых зависит только от состояния входных сигналов в каждый момент времени;

схемы второго рода или накапливающие схемы (схемы последовательностные), содержащие накапливающие схемы (элементы с памятью), выходной сигнал которых зависит как от входных сигналов, так и от состояния схемы в предыдущие моменты времени.

По количеству входов и выходов схемы бывают: с одним входом и одним выходом, с несколькими входами и одним выходом, с одним входом и несколькими выходами, с несколькими входами и выходами.

По способу осуществления синхронизации схемы бывают с внешней синхронизацией (синхронные автоматы), с внутренней синхронизацией (асинхронные автоматы являются их частным случаем).

Практически любой компьютер состоит из комбинации схем первого и второго родов разной сложности. Таким образом, основой любого цифрового автомата, обрабатывающего цифровую информацию, являются электронные элементы двух типов: логические или комбинационные и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровой информацией, а запоминающие служат для ее хранения. Как мы уже знаем, логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входной цифровой информации в выходную информацию.

При анализе или синтезе логических цепей надо учитывать следующее обстоятельство.

Осуществить логические функции на практике позволяют различные, так называемые логические (цифровые) полупроводниковые схемы - вентили, выходные сигналы которых однозначно определяются комбинациями уровней сигналов на входах этих схем. Причем, как входные, так и выходные сигналы этих вентилей могут быть импульсными или потенциальными и имеют два фиксированных значения: высокий (H) или низкий (L) уровень. Когда логической "1" соответствует высокий уровень, тогда логическому "0" - низкий.

Если логической "1" соответствует наличие сигнала (высокого или низкого уровня), то в таком случае говорят, что логические схемы работают в положительной логике. Если же логической "1" соответствует отсутствие сигнала, то считается, что схемы работают в отрицательной логике. Существует также и смешанная логика, то есть когда в рассматриваемом электронном узле одни вентили работают в положительной логике, а другие - в отрицательной.

Отсюда следует, что, согласно двойственности логических функций, один и тот же вентиль, который в положительной логике реализует функцию, например, И-НЕ (или ИЛИ-НЕ), в отрицательной логике будет выполнять логическую функцию ИЛИ-НЕ (или И-НЕ).

Техническим аналогом булевой функции в вычислительной технике является, так называемая, комбинационная схема, на вход которой поступают и с выхода снимаются электрические сигналы в виде одного из уровней напряжения, соответствующим логическим значениям 0 и 1.

Для выяснения, что же такое комбинационная схема (КС), рассмотрим схему , имеющуювходов и выходов (рис. 2.1). На её входы могут быть поданы наборы значений входных двоичных переменных,, а на выходах формируется выходные двоичные переменные,.

Схема называется комбинационной, если каждую из функций её выходовможно представить как булеву функцию входных переменных.Комбинационная схема описывается с помощью системы логических уравнений

(2.1)

Как следует из определения комбинационной схемы, значения выходных переменных в произвольный момент времени однозначно определяется значениями входных переменных.

Структурно комбинационная схема может быть представлена как совокупность элементарных логических схем логических элементов (ЛЭ). ЛС выполняют над входными переменными элементарные логические операции типа И-НЕ, И, ИЛИ, ИЛИ-НЕ и т.д. Число входов логического элемента соответствует числу переменных булевой функции. Графическое изображение комбинационной схемы, при котором показаны связи между различными элементами, а сами элементы представлены условными обозначениями, функциональной схемой.

В ходе разработки КС приходится решать задачи анализа и синтеза. Задача анализа состоит в определении статических и динамических свойств комбинационной схемы. В статике определяются булевы функции, реализуемые комбинационной схемой по известной ей структуре. В динамике рассматривается способность надёжного функционирования схемы в переходных процессах при смене значений переменных на входах схемы, т.е. определяется наличие на выходах схемы возможных нежелательных импульсных сигналов, которые не следуют непосредственно из выражений для булевых функций, реализуемых схемой. Все существующие методы анализа делятся на прямые и косвенные.

Задача синтеза заключается в построении из заданного набора логических элементов комбинационной схемы, реализующей заданную систему булевых функций. Решение задачи синтеза КС не является однозначным, можно предложить различные варианты комбинационных схем, реализующих одну и ту же систему булевых функций, но отличающихся по тем или иным параметрам. Разработчик комбинационных схем из этого множества вариантов выбирает один, исходя из дополнительных критериев: минимального количества логических элементов, необходимых для реализации схемы, максимального быстродействия и т.д. Существуют различные методы синтеза комбинационных схем, среди которых наиболее разработан канонический метод.

В результате анализа КС прямым методом получается множество наборов входных переменных, обеспечивающих заданное значение на выходе, что позволяет записать в алгебраическом виде БФ, реализуемую схемой. К прямым методам относится метод p- алгоритма.

Применение косвенных методов дает возможность определить реакцию схемы на заданный набор входных переменных в статике или проанализировать переходный процесс смены одного входного набора на другой. Примерами косвенных методов анализа, являются методы синхронного и асинхронного моделирования.

Для всех методов анализа необходимо описать схему в виде схемного списка, в который включаются в общем случае следующие данные: номер логического элемента в схеме; логическая функция, реализуемая логическим элементом; входные переменные для данного логического элемента.