3.6. Минимизация числа внутренних состояний полностью определенных автоматов

Рассматривается метод минимизации полностью определенных автоматов. Основная идея этого метода заключается в разбиении всех состояний исходного абстрактного автомата на попарно непересекающиеся классы эквивалентных состояний и замене каждого класса эквивалентности одним состоянием [3]. Следовательно, получающийся в результате минимальный автомат имеет столько состояний, на сколько классов эквивалентности разбиваются состояния исходного автомата. Для этого введем дополнительные определения.

Определение 1. Два состояния абстрактного автомата называются 1-эквивалентными в том случае, если реакции автомата в этих состояниях на всевозможные входные слова совпадают.

Определение 2. Объединение всех 1-эквивалентных состояний абстрактного автомата образует 1-класс эквивалентности.

Определение 3. 1-эквивалентные состояния автомата называются 2-эквивалентными, если они переводятся любым входным сигналом также в 1-эквивалентные состояния.

Определение 4. Объединение всех 2-эквивалентных состояний образует 2-класс эквивалентности.

По индукции можно распространить определение до -эквивалентных состояний и-класс эквивалентности.

Определение 5. Если для некоторого разбиения состояний автомата на (+1) - класс совпадает с разбиением на-класс, то оно является разбиением и на¥-класс эквивалентности.

Определение 6. Разбиение множества внутренних состояний автомата на ¥-класс и является требуемым разбиением на классы эквивалентности, при этом такое разбиение может быть получено за конечное число шагов.

Все вышеизложенные определения непосредственно применяются к минимизации автомата Мили. При минимизации полностью определенных автоматов Мура дополнительно вводится понятие 0-эквивалентности состояний и разбиение множества состояний на 0-эквивалентные классы, к такому классу относятся одинаково отмеченные состояния автомата Мура.

Если два 0-эквивалентных состояния любым входным сигналом переводится в два 0-эквивалентных состояния, то, согласно определению, они называются 1-эквивалентными. Все дальнейшие классы эквивалентности состояний для автомата Мура определяются аналогично, так как и для автомата Мили.

Из таблицы выходов (табл. 3.13) получаем разбиение на 1-классы эквивалентности , объединяя в эквивалентные классысостояния с одинаковыми столбцами:

, ,.

Для получения 2-эквивалентных состояний составим таблицу 1-разбиения (табл. 3.14), заменяя в таблице переходов состояния соответствующими классами эквивалентностиили. Из полученной таблицы 1-разбиения получаем 2-класс эквивалентности, которые обозначими соответствующее разбиение, где,,.

Таблица 3.13

Матрицы переходов и выходов автомата Мили

Сравнивая и, отмечаем, что эти разбиения отличаются друг от друга.

Таблица 3.14

Таблица 1-разбиения

Поэтому аналогично строим таблицу 2-разбиения (табл. 3.15), опять заменяя в таблице переходов состояния соответствующими классам эквивалентности.

Из полученной таблицы 3.15 2-разбиения получаем 3-класс эквивалентности , которому соответствует разбиение, где,,.

Сравнивая разбиения и, замечаем, что,,. Следовательно, получили разбиение на¥-эквивалентные классы. Поскольку таких классов всего три, то минимальный автомат будет содержать также три состояния. Выбираем из каждого класса по одному представителю (состоянию) получаем множество состоянийминимального автомата.

Таблица 3.15

Таблица 2-разбиения

Пусть, например, таким множеством состояний минимального автомата будут состояния. Для получения автомата с минимальным числом состояний из первоначальных таблиц переходов и выходов (табл. 3.15) вычеркиваем столбцы, соответствующие "лишним состояниям". В результате получается минимальный автомат Мили, эквивалентный исходному автомату (табл. 3.16).

Таблица 3.16

Таблицы переходов и выходов минимального автомата

Минимизацией числа внутренних состояний автомата заканчивается этап абстрактного синтеза.