- •Лекция 5 кинематика точки
- •Свойства производной вектора по скалярному аргументу
- •Основные задачи кинематики точки
- •Векторный способ задания движения точки
- •Координатный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •Определение скорости точки при координатном способе задания её движения
- •Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения
- •Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения
- •Частные случаи движения точки.
- •Лекция 6 кинематика твердого тела
- •Первая задача кинематики твердого тела
- •Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •Простейшие движение твердого тела
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Лекция 7 кинематические характеристики вращающегося тела Угловая скорость
- •Угловое ускорение тела
- •Частные случаи
- •Распределение скоростей и ускорений в теле при вращательном движении
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении
- •Лекция 8 сложное движение точки
- •Относительное движение
- •Абсолютное движение точки
- •Переносное движение
- •Постановка задач на сложное движение точки
- •Теорема сложения скоростей
- •Теорема сложения ускорений при переносном поступательном движении
- •Лекция 9 плоскопараллельное движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения
- •Разложение плоского движения твердого тела на два простых движения – поступательное и вращательное
- •Распределение скоростей при плоском движении
- •Мгновенный центр скоростей
- •Способы отыскания мгновенного центра скоростей
Векторный способ задания движения точки
Рассмотрим движение материальной точкиМ относительно некоторого тела, которое считается неподвижным. Пусть точка О – точка принадлежащая этому телу (рис.5.3). Радиус-вектор движущейся точки М относительно точкиО можно задать как вектор-функцию времени t
. (5.6)
Равенство (5.6) называется векторным уравнением движения точки или законом движения точки в векторной форме.
Кривая по которой движется точка в пространстве называется траекторией точки. Траектория – это годограф радиус-вектора точки.
Координатный способ задания движения точки
Пусть теперь вектор задан в декартовой системе координат, а- орты осейОх, Оу, Оz. Тогда вектор-функция может быть задана тремя скалярными функциями:
=++.
Таким образом, для того, чтобы движение точки было задано координатным способом, должны быть заданы функции:
x = x(t), y= y(t), z = z(t). (5.7)
Равенства (5.7) называются уравнениями движения точки или законом движения точки в координатной форме.
Естественный способ задания движения точки
Этот способ применяется в случае, когда траектория точки известна заранее. Траектория точки может быть задана различными способами: словесно (например, можно сказать, что траекторией точки является окружность такого-то радиуса), графически в каком-либо масштабе или уравнениями, например, в общем виде как линия пересечения поверхностей
,
или другими уравнениями.
Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку М0, принимаемую за начало отсчета дуговой координаты и задать положительное направление отсчета (рис. 5.4.).
При движении точки М расстояние от нее до начальной точки изменяется с течением времени, следовательно, дуговую координату необходимо задать как функцию времени:
s = s(t), (5.8)
Зависимость (5.8) называется законом движения точки. Следовательно, для того, чтобы движение точки было задано естественным способом, должны быть заданы:
траектория точки;
закон движения точки s = s(t),
начало отсчета М0;
положительное направление отсчета дуги s.
При этом нужно отличать дугу s и пройденный точкой путь. Если точка движется по траектории все время в одном направлении, то дуга и путь совпадают, но если, например закон движения точки равен и точка совершает гармонические колебания по кривой, то дуга и путь совпадают только до достижения дуги своего максимального значенияа. Далее путь в отличие от дуги будет все время увеличиваться.
Скорость и ускорение точки Скорость точки
Пусть движение точки задано векторным способом . На рис.5.9М и М1 положения движущейся точки в моменты времени t и t + t.
x Рис. 5.9 |
Вектор называется вектором перемещения точки за времяt. Отношение вектора к промежут ку времени t называется средней скоростью точки за промежуток времени t . |
Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени за который произошло это перемещение, при стремлении последнего к нулю, т.е.
. (5.9)
Таким образом,скорость точки в данный момент времени равна производной радиусавектора точки по времени
. (5.10)
Это векторная величина, характеризующая быстроту изменения радиусавектора точки и направленная по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с.