Лекция 9 плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Пример 1. Качение цилиндра (катка) по неподвижной плоскости (рис. 9.1).

Выберем неподвижную систему координат так, чтобы каток катился основанием параллельно плоскости:.

Пример 2. Кривошипный механизм (рис. 9.2).

КривошипОА кривошипного механизма совершает вращательное движение вокруг неподвижной точки О. Кривошип соединен шарнирно в точке А с шатуном АВ, совершающим плоскопараллельное движение, и приводящим в движение ползун В.

Пусть тело совершает плоско-параллельное движение, и все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости (рис. 9.3). Обозначим ее П₁. Построим плоскость П параллельно плоскости П₁ и пусть s –сечение тела плоскостью П. Тогда согласно определению сечение s будем двигаться в плоскости П. Проведем любую прямую АВ в теле, перпендикулярно плоскости П₁. Из определения плоского движения и из свойств твердого тела прямая АВ будет двигаться параллельно самой себе, т.е. поступательно. Тогда из теоремы о поступательном движении все точки прямой АВ будут двигаться одинаково. Следовательно, если будем знать движение сечения s, то будем знать и движение всего тела. Поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению плоского сечения – движению плоской фигуры в своей плоскости.

Уравнения плоского движения

Пусть в неподвижной плоскостизадано сечение телаs, совершающего плоское движение (рис. 9.4). Выберем произвольную точку О и скрепим жестко в этой точке подвижную систему координат . ТочкуО называют полюсом. Положение сечения s будет определяться положением координатных осей , а их положение определяется координатами полюсаи углом. Зададим эти параметры как функции времени и получим уравнения плоскопараллельного движения:

, ,. (9.1)

При этом число степеней свободы равно К=3.

Разложение плоского движения твердого тела на два простых движения – поступательное и вращательное

Вернемся к рис. 9.4 и введем вспомогательную подвижную систему координат , совершающую поступательное движение относительно системы координат. При поступательном движении осейосибудут совершать по отношению к ним вращательное движение вокруг полюса. Как известно для задания поступательного движения тела достаточно задать движения одной его точки, т.е. движение полюсаО определяет поступательное движение осей :

, . (9.2)

Примем это движение за переносное. Тогда вращательное движение осей относительно подвижных осей, определяемое уравнением

(9.3)

будет относительным.

От выбора полюса О вид функции (9.3) зависит существенным образом, а вид функции (9.3) от выбора точки О не зависит. Покажем это.

Возьмем для наглядности прямоугольную фигуру. На рис 9.5 изображено начальное положение фигуры а) прямоугольника АВ и конечное положение б). Выберем сначала за полюс точку А и переместим прямоугольник АВ из положения а) в положение В сначала параллельным переносом (положение ), а затем поворотом вокруг полюсаА на угол . Затем выберем за полюс точку В и переместим прямоугольник АВ из положения а) в положение б) параллельным переносом в положение , затем поворотом вокруг полюсаВ на угол . Из рисунка видно, что по величинеи откладываем угол в обоих случаях в одном направлении – по ходу часовой стрелки.

Вывод: Введением вспомогательной системы координат плоское движение оказывается разложенным на два следующих движение: переносное – поступательное движение вместе с вспомогательной системой координат (определяется движением полюса) и относительное – вращательное движение подвижной плоскости вместе с плоской фигурой вокруг полюса (определяется углом поворота).

При этом, поскольку выбор полюса произволен, то указанное разложение может быть выполнено бесчисленным множеством способов. Однако, во всех таких разложениях относительное вращательное движение остается одним и тем же, так как уравнение от выбора полюса не зависят.