Векторы угловой скорости и углового ускорения

Вектором угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль которого равен абсолютному значению алгебраической угловой скорости и направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Если ввести единичный вектор оси вращенияOz, то

. (7.11)

При направление векторасовпадает с направлением единичного вектора, а при, векторнаправлен в сторону противоположную направлению вектора.

Вектором углового ускорения называется вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости.

. (7.12)

Из формулы (7.12) видно, что вектор направлен, как и векторвдоль оси вращения.

Таким образом, величины ипредставляют проекции векторов угловой скоростии углового ускоренияна ось вращенияz.

Еслииимеют одинаковые знаки, т.е., векторыинаправлены в одну сторону (рис. 7.3) и тело как мы знаем, вращается ускоренно. Еслииимеют разные знаки, т.е., то векторыинаправлены в разные стороны (рис. 7.4) и тело вращается замедленно.

Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела при вращательном движении

Скорость точки вращающегося твердого тела по модулю и направлению можно представить формулой Эйлера

, (7.13)

где- радиус-вектор точки М, проведенный из произвольной точки оси вращенияOz, например, из точки О (рис.7.5).

Убедимся в справедливости этой формулы.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы, входящие в векторное произведение. По направлению он параллелен вектору скорости, направленному по касательной к траектории (окружности) точки. Модуль векторного произведения равен

,

т.к. .

Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки при вращательном движении тела.

Ускорение точки по определению равно:

.

Так как ,получим

. (7.14)

Вектор направлен по касательной к траектории точки. По модулю он равен

и следовательно эта составляющая ускорения является касательной составляющей ускорения точки М

. (7.15)

Ее называют также вращательным ускорением.

Вектор направлен в плоскости окружности радиусаот точкиМ к точке . По модулю он равен

,

и, следовательно, эта составляющая ускорения является нормальной составляющей ускорения точки М

. (7.16)

Ее называют также осестремительным ускорением.