Курс лекций Оптическая физика

281

Рис. 24.12. Ход лучей в толстой линзе. Параллельные лучи, падающие на одну главную плос-

кость (параллельно оптической оси) идут, не отклоняясь до второй главной плоскости, а от нее пересекаются в точке фокуса. Если главные плоскости совместить, то изображение строится с помощью трех лучей так же, как и в тонкой линзе:

Луч 1 идет до точки Н1 а затем до точки Н2 параллельно самому себе. Луч 2 идет параллельно оптической оси до плоскости Н2, а от нес через фокус FЛ.

Рис. 24.13. Положение правой главной плоскости.

Луч 3 идет через фокус FЛ до плоскости Н1, а от нее параллельно оптической оси. Все лучи пересекутся в одной точке - изображении. Коэффициент увеличения всегда равен b/a. Найдем положение главных плоскостей.

крайней левой преломляющей поверхности I до крайней правой II, а лучи падают параллельно главной оптической оси. Тогда

расстоянии y/ от главной оптической оси под углом - / и пересе-

y/=Ay, -n/ /=Cy, тогда расстояние от точки правого фокуса до

правой преломляющей поверхности F n/ A . Если Fп>0, то

фокус находится справа от поверхности П.

Но можно продолжить выходящий луч до пересечения с продолжением падающего луча (точка М рис. 24.13). Тогда получим положение правой главной плоскости Н2. Она находится на расстоянии xп=y/ /=-n//C от точки правого фокуса (слева от него, если xп>0).

Расстояние от главной плоскости до крайней правой

Точно так же определяется положение левой главной плоскости.

Аберрации оптических систем

Аберрации - это искажения изображений. Возникают они при нарушении гомоцентричности пучков и связаны, в первую очередь, с тем, что волновая поверхность перестает быть сферичной. Это означает, что лучи, перпендикулярные этой поверхности, не сойдутся в одну точку.

Рис. 24.14. Аберрации.

283

Любая искривленная (волновая) гладкая поверхность характеризуется двумя взаимно-перпендикулярными линиями 1 и 2, для которых значения радиусов кривизны R1 и R2 принимают минимальное и максимальное значения. Поэтому лучи, идущие от этих линий, пересекаются в разных точках F1 и F2, создавая астигматическое изображение. Степень астигматизма задается разностью (R2- R1) - это астигматическая разность.

Если пучок имеет ширину, то лучи от разных линий 1', 1, 1" (2', 2, 2") соберутся в разных фокальных точках F1/ ,F1 ,F1// , образующих некоторую поверхность. Две такие поверхности

пучка.

Задачей оптики служит создание четкого апланатического изображения. Поэтому надо перечислить все астигматические аберрации, которые могут возникнуть.

1) Сферическая аберрация возникает даже для точечных предметов, находящихся на оси.

Рис. 24.15. Сферическая аберрация. Параксиальные лучи пересекаются в точке Р' на экране.

Но для лучей, преломляющихся на краях линзы, условие параксиальности перестает выполняться, они преломятся сильнее и пересекутся в точке Р", а на экране создадут размытый светлый кружок {поперечная сферическая аберрация) вместо точки, (без учета дифракционного уширения) Наименьшим этот кружок будет при помещении экрана между точками Р' и P//

284

Чтобы устранить сферическую аберрацию, надо брать линзу не со сферической, а с более сложной поверхностью. Но проще взять комбинацию из собирающей и рассеивающей линз, т.к. рассеивающая линза обладает аберрацией противоположного знака.

Но таким образом удастся устранить сферическую аберрацию для определенного расстояния до предмета. Ее создают не только сферические, но и плоские преломляющие поверхности (пробные стекла микроскопа), т.е. ликвидируют сферическую аберрацию для определенных устройств (в микроскопе для предмета, находящегося вблизи фокуса и для покровных стекол определенной толщины, если возьмем стекло потолще резкость снова пропадет).

Остальные аберрации возникают для точек, не лежащих на главной оптической оси.

2) Кома возникает для широких пучков.

Рис. 24.16. Кома.

Вблизи краев линзы они преломляются сильнее (отклонение от параксиальности) и на экране они образуют кружки, сливающиеся в "комету ". Отсюда и название "кома".

Для устранения комы и получения резкого изображения надо обеспечить условие синусов Аббе:

n y sin n/ y/ sin /

Сделать это можно уменьшив углы наклона лучей к главной оптической оси.

285

Рис. 24.17. Уменьшение комы в иммерсионном микроскопе.

Например, в иммерсионных микроскопах заполняют пространство между покровным стеклом и полушаровым объективом жидкостью с таким же показателем преломления, что и у стекла (кедровое масло).

Мнимое изображение Р' предмета Р находится дальше предмета, т.е. "испускает" лучи, под меньшим углом к оптической оси и условие параксиальности выполняется. В таких микроскопах можно обеспечить большую апертуру.

3) Астигматизм наклонных пучков (искривление плоскости изображения).

Рис. 24.18. Астигматизм наклонных пучков.

Даже для узких пучков каустики "продольных" и "поперечных" (к плоскости рисунка) лучей не совпадают (рис. 24.18). Чем больше угол наклона к оптической оси, тем больше астигматическая разность.

286

Видно, что все изображение было бы резким, если бы создавалось на кривом экране, совпадающем по форме с каустикой. При этом резкое изображение предмета (линии АР) получится на каустике для меридиональных лучей, а изображение перпендикулярной линии PQ - на каустике для сагиттальных лучей.

В качестве предмета для проверки подобного астигматизма используют циркулярно-радиальную сеть (рис.24.19).

При определенном положении плоского экрана видно четкое изображение одной из дуговых циркулярных линий (точки P пересечения каустики с плоскостью экрана). Радиальная линия будет размыта. И наоборот, на участке пересечения экрана с каустикой P// будет четко виден участок радиальной линии.

Рис. 24.19. Циркулярно-радиальная сеть. Устраняют искривление плоскости изображений подбо-

ром линз из разного стекла с разной кривизной так, чтобы плоскость изображений стала более менее плоской и каустики Р" и Р' совпали. Такие линзы называются анастигматами.

Рис. 24.20. Анастигматная линза.

Особенно важно это для фотоаппаратов, в которых изображение должно совпасть с плоскостью фотопластинки.

Рис. 24.21. Цилиндрическая линза.

Для глаза плоскость изображения должна быть поверхность глазного дна. При астигматизме зрения человек может увидеть резко только одну из взаимно-перпендикулярных линий. Поэтому для коррекции зрения вводят цилиндрическую линзу, которая на определенном расстоянии зрения дополнительно фокусирует только сагиттальные лучи в той же плоскости, на которой резко фокусируются меридиональные лучи.

4) Дисторсия.

Рис. 24.22. Дисторсия. Диафрагма за линзой.

Это искажение возникает, когда линейный коэффициент увеличения k линзы изменяется с расстоянием от оптической оси. На резкости изображения это не сказывается (в телескопах и подзорных трубах проявление этой аберрации не существенно), но меняет форму предмета, что недопустимо, например, при аэрофотосъемке.

Рис. 24.23. Дисторсия. Диафрагма перед линзой. Объясняется дисторсия не столько самой линзой, сколь-

ко ограничением светового пучка, проходящего через линзу, т.е. диафрагмой (отверстием в непрозрачном экране). Если диафрагма стоит за линзой, то лучи от более удаленной точки предмета P2 проходят через нее преломившись на краю линзы под большим углом, k растет и возникает подушкообразная дисторсия. Кроме того, через диафрагму пройдет от точки Р2 более узкий пучок лучей, чем от точки Р1 ( 2< 1). Поэтому освещенность точки P2/ будет меньше, чем точки P1/ Уменьшение освещенности к краям поля зрения при использовании диафрагмы называется затенением или виньетированием (посмотрите через малое отверстие). Если же диафрагма находится перед линзой, то лучи от более удаленной точки Р2 сильнее преломятся к оси и коэффициент увеличения k уменьшится. Получается "бочкообразная " дисторсия.

Для практически полного устранения дисторсии диафрагму устанавливают между линзами, как показано на рис. 24.24.

Рис. 24.24. Компенсация дисторсии.

289

Подушкообразная дисторсия объектива компенсируется бочкообразной дисторсией окуляра.

5) Хроматические аберрации.

Все, что говорили ранее - о монохроматическом свете. Но показатель преломления среды (линзы) зависит от длины волны света λ (это явление дисперсии). Поэтому линзы поразному отклоняют лучи с разными λ, и создают изображение немонохроматических источников в разных местах. Изображение получается нерезким с окрашенными краями.

Изображения с разными λ пытаются совместить, используя систему линз с разными показателями преломления. Но для всех длин волн это не удастся. Совмещение (ахроматизацию) проводят в интервале волн от λF=480 нм до λС=656 нм "Средняя" длина волны в этом интервале λD=589 нм.

Для одной тонкой линзы (в воздухе)

расстояния при изменении показателя преломления будет

Рис. 24.25. Оптическая система из двух линз флинта и крона.

Для описания свойств стекла вводят величину

290

Для флинта 1/30, для крона 1/60 Рассмотрим теперь систему двух линз из флинта и крона

(рис. 24.25). Т.к.

изображение, если ее фокусное расстояние не зависит от λ, т.е. δ(1/Fсист)=0 или, подставляя в результат δFi=- i Fi, получаем

F2 1+ F1 2= ( 1+ 2)

Отсюда следуют два способа ахроматизации:

1) две тонкие линзы (собирающая и рассеивающая) из разного стекла соприкасаются ( 0), так что F2 1+ F1 2=0.

Рис. 24.25. Две тонкие линзы (собирающая и рассеивающая) из разного стекла соприкасаются

Здесь из трех радиусов кривизны один остается свободным, что позволяет устранить еще и сферическую аберрацию.

2) две линзы из одинакового стекла ( 1= 2) устанавливают на расстоянии =( F1+ F2)/2. Но здесь не будут совпадать главные плоскости изображений для разных цветов и такой способ используют только в подзорных трубах (телескопах).

291

Рис. 24.26. Две тонкие линзы из одинакового стекла ( 1= 2) устанавливают на расстоянии =( F1+ F2)/2.

В более сложных системах линз удается полностью устранить хроматическую аберрацию (10-линзовый апохромат Аббе)

Но устранить сразу все виды аберраций практически невозможно, поэтому для разных целей устраняют разные из них: для телескопа с малым угловым полем зрения -

надо устранить сферическую и хроматическую аберрации, для микроскопа с большим угловым полем зрения (широкие пучки) - надо устранить еще и дисторсию, и кривизну плоскости изображения, в фотоаппаратах - кривизну плоскости изображения и дисторсию.

Гауссов пучок — хорошее приближение для описания лазерного пучка лучей.

Решая волновое уравнение путем разделения переменных, сначала получаем уравнение гармонических колебаний для зависимости от времени и уравнение Гельмгольца для координатной зависимости. Далее разделяя переменные в декартовых координатах, мы получили решения уравнения Гельмгольца в виде плоских волн.

Если для решения уравнения Гельмгольца переменные разделять в других системах координат, то получаться решения с другой симметрией. Можно рассмотреть разделение переменных в эллиптической системе координат. Рассмотрим систему эллипсов с парой общих фокусов. Будем вращать эту систему эллипсов вокруг оси перпендикулярной отрезку, соединяющему фокусы. Эллипсоиды вращения будут поверхностями постоянного значения одной из трех координат рассматриваемой эллиптической системы координат. Вторая координата — угол поворота вокруг оси вращения эллипсов. Третью координату можно определить по-разному.

Среди множества решений, получаемых при разделении переменных в эллиптической системе координат, есть решения в виде гауссовых пучков лучей.

Хорошим приближением для лазерного пучка лучей является гауссов пучок. Пусть световая волна распространяется

292

вдоль оси z и образует параксиальный пучок лучей. Будем называть пучок лучей гауссовым, если поле E световой волны можно найти по формуле

kw2

tg 0

В приближении параксиальной оптики w0 .

Рис. 24.27. Гауссов пучок.

w z — зависимость радиуса пучка от координаты z вдоль оси пучка, w0 — радиус шейки каустики. Шейка каустики — самое

узкое место z 0 каустической поверхности. Каустическая поверхность — поверхность, получающаяся при вращении линии луча вокруг оси пучка лучей. R z — зависимость радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты z вдоль

293

оси пучка. — фазовый сдвиг относительно фазы плоской волны, если бы она распространялась вдоль оси z .

Для электрического поля E световой волны само поле E умышленно указано без значка вектора, так как направление вектора E различно в разных точках гауссова пучка. В каждой пространственной точке вектор E перпендикулярен лучу в этой точке.

Свойства гауссовых пучков.

1). Лучи распространяются по гиперболам, а не по прямым линиям, как того требует принцип Ферма.

2). Фазовая скорость волн в пустоте не равна универсальной константе c , так как сдвиг фаз является функцией z координаты вдоль оси пучка лучей. Фазовую скорость можно найти из уравнения поверхности равных фаз. Приравняем константе фазу уравнения :

kz k x2 y2 t const 2R

Найдем, например, фазовую скорость вдоль оси пучка при x 0 и y 0. Тогда

kz t const

Продифференцируем это уравнение по времени, считая z и функциями времени. Тогда получим:

dz

То есть фазовая скорость отлична от величины c .

3). Чем более узкой оказывается шейка каустики, тем больше расходимость пучка лучей.

Угловой диаметр расходимости:

2w0 2w0

димости характерна для дифракции на препятствии размером

2w0 .

4). Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Это необходимо учитывать при попытке сфокусировать лазерное излучение на маленькую площадку.

Для нахождения положения шейки каустики после преломления гауссового пучка в тонкой линзе нужно сделать следующее:

а). Сначала найдем R1 — радиус кривизны фронта волны непосредственно перед линзой и по известным параметрам w0 , z пучка лучей до линзы:

б). Аналогично найдем радиус пучка лучей на линзе w по известным величинам w0 и z пучка лучей до линзы:

Теперь будем искать параметры пучка лучей после лин-

зы.

в). По правилу ABCD из величины радиуса кривизны фронта непосредственно перед линзой можно найти радиус кри-

визны сразу за линзой: R2 AR1 B, где для тонкой линзы

CR1 D

Радиус пучка лучей при прохождении через тонкую линзу не изменяется w2 w1.

295

г). Решим теперь систему из первых двух уравнений си-

стемы

относительно w02 и z2 для пучка лучей после линзы при известных величинах w2 — радиуса пучка лучей на линзе,

и R2 — радиуса кривизны фронта волны сразу за линзой. Ре-

шение этой системы позволяет найти положение z2 новой шейки каустики относительно линзы и радиус новой шейки каустики w02 .

Вопросы:

1.Условие выполнения законов геометрической оптики?

2.Уравнение эйконала?

3.Принцип Ферма?

4.Какова природа миражей?

5.Что такое гомоцентрический пучок и апланатическое изображение?

6.Условие Аббе?

7.С помощью каких матриц рассчитываются оптические системы?

8.Что такое аберрации? Какие виды аберраций вы знаете?

9.Свойства гауссовых пучков?

296

11. Нелинейная оптика

Лекция 25

Понятие о нелинейных оптических эффектах Генерация оптических гармоник

Нелинейные оптические эффекты проявились практически сразу, как только началось более-менее систематическое изучение свойств лазерного излучения (с 1961 г.). Вопервых, они выступают как ограничитель возможностей роста энергетических характеристик излучения, во-вторых, — как качественно новый, ранее невозможный способ извлечения информации о свойствах среды, взаимодействующей с лазерным излучением.

Фундаментальные, и прикладные перспективы развития нелинейной оптики были обрисованы уже с 1962 г., когда появились классические труды академика Р.В. Хохлова и его ученика и последователя С.А. Ахманова в СССР и — чуть позднее

— Н. Бломбергена за рубежом.

Ряд нелинейных эффектов (например, самофокусировка) был предсказан и получен экспериментально еще раньше, в работах Н.Г. Басова и А.М. Прохорова.

Классифицируя нелинейные взаимодействия с помощью разложения поляризации P(t) по полю Е(t),

можно сказать, что главные успехи прикладной нелинейной оптики связаны с использованием эффектов, описываемых квадратичной нелинейной восприимчивостью Χ(2). Таковые проявляются в кристаллах, не обладающих центром инверсии. Однако в ряде случаев представляют особый интерес и взаимодействия более высокого порядка. Дело в том, что большие возможности управления нелинейной восприимчивостью возникают за счет использования резонансных взаимодействий. Эти взаимодействия не дают большого выигрыша в конденсированных средах, где ширина линий разрешенных переходов обычно велика

297

(вспомним, что наивысшая степень монохроматичности и стабильности частоты может быть получена в газовых лазерах на нейтральных атомах). Поэтому увеличение нелинейных восприимчивостей, обусловленных близостью частот взаимодействия к атомному или молекулярному резонансу, в газовой среде можно сделать аномально большим. Соответствующие эксперименты показали, что можно добиться КПД преобразования в 3-ю гармонику за счет резонансного взаимодействия в парах щелочных металлов и благородных газов порядка 40-50%, причем при значительно меньших уровнях мощности, чем в случае кристаллических умножителей частоты. Газовые нелинейные оптические устройства позволяют еще более расширить возможности получения когерентного излучения в оптическом диапазоне (от дальнего ИК до мягкого рентгеновского) и тем самым обеспечить уникальные возможности исследования свойств биологических объектов. Добавим к этому, что сами оптические свойства биотканей в силу специфики взаимодействия с лазерным излучением начинают зависеть от интенсивности падающего излучения при ничтожно малых по сравнению с кристаллами интенсивностях, поэтому нелинейная оптика биологических сред

– это такая область оптики, которая еще ждет своего бурного развития, и вообще-то весьма парадоксально то, что нелинейная оптика кристаллов – наиболее прозрачных и, следовательно, наиболее «упорных» с точки зрения интенсивности падающего излучения сред – уже давно стала классикой, а нелинейная оптика биосред, выпирающая наружу практически в каждом случае лазерного облучения биообъекта, застряла на уровне накопления экспериментальных данных.

Генерация оптических гармоник.

Особенно быстрыми темпами развивалась прикладная нелинейная оптика. Наиболее яркий пример — генерация оптических гармоник.

Если в первых экспериментах 1961 г. удвоение частоты рубинового лазера было обнаружено с помощью весьма тонких измерений (коэффициент преобразования по мощности основного излучения с = 694 нм во вторую гармонику с = 347 нм не превышал 10-11), то уже в 1963 г. были созданы удвоители частоты с КПД, достигавшим 10%. В последующие годы были

298

созданы умножители частоты лазерного излучения, позволившие перекрыть диапазон от дальнего ИК до вакуумного ультрафиолета и работающие во всех режимах (от непрерывного до пикосекундных импульсов). Сегодня уже совершенно невозможно представить себе квантовую электронику и когерентную оптику без оптических умножителей частоты, применяемых в самых разнообразных лазерных системах.

Рассмотрим подробнее возможность генерации второй гармоники (ГВГ) при прохождении лазерного излучения через кристалл.

Поляризация диэлектрических кристаллов обусловлена главным образом перемещениями валентных электронов атомов под действием внешнего поля – среда рассматривается как совокупность элементарных диполей. Обозначим: x – смещение

Здесь e – заряд электрона.

В симметричных кристаллах потенциальная энергия

где ω0 – резонансная частота электронного осциллятора, В – постоянная, m – масса электрона. Кристалл с потенциалом вида (25.3), очевидно, обладает свойством V(x) = V(-x). Вообще говоря, он не обязан быть симметричным, т.е. в зависимости V(x) могут появиться нечетные степени x:

В случае (25.3) на электрон действует возвращающая си-

ла

299

Линейная поляризация кристаллов описывается первым членом в (25.3) и (25.4), в чем без труда можно убедиться, приравняв силу, действующую на электрон, нулю:

eE(t) m 20x(t) 0,

откуда

e

x(t) E(t) (25.7)

m 20

и Р Е, как и следует быть: поляризация пропорциональна мгновенному значению поля.

В несимметричном кристалле, как это легко видеть из выражения (25.6), положительное (х 0) смещение электрона вызывает бόльшую возвращающую силу (при D >0), чем отрицательное. Поэтому «отклик» среды на синусоидальное внешнее воздействие будет иметь вид искаженной синусоиды (рис. 25.1).

Для количественного оформления этих соображений положим, что внешнее возмущение имеет вид

E(t) E( ) cos t

Тогда уравнение движения электрона в несимметричном кристалле будет иметь вид

Рисунок 25.1. Сравнение волны нелинейной поляризации (а) с Фурье-амплитудой ее первой гармоники на частоте (б) и второй гармоники с частотой 2 (в).

300

Как видно, от классического уравнения затухающего осциллятора с внешней силой это уравнение отличается только «вредным» членом Dx2(t), описывающим колебания с частотой. Член x(t) описывает, как обычно, затухание. Решение x(t) будем искать в виде

к.с. – комплексно сопряженная часть.

Заметим, что в (25.8) и (25.9) необходимо сохранять действительную форму записи амплитуд, поскольку присутствует член, содержащий x2. Подставляя (25.9) в (25.8), получим:

q2q2 к.с.) eE( ) (ei t к.с.) (25.10) 2m

Поскольку (25.10) должно быть справедливо для всех t,

коэффициенты при e i t и e 2i t в обеих частях должны быть равны. Приравняем сначала коэффициенты при ei t , полагая,

1

что Dq2 [( 20 2)2 2 2 ]2 . Получим:

Поляризация среды на частоте связана с колебаниями электронов на той же частоте, как положено в классической электродинамике, формулой