Курс лекций Оптическая физика

21

R k2R 0

2T 2

t2 kV T 0

Константу k назовем волновым вектором, а ω угловой частотой волны. Для краткости введем обозначение ω=kV, тогда

R k2R 0 (2.6) — уравнение Гельмгольца,

2T 2T 0 (2.7)— уравнение гармонических коле-

t2

баний.

Комплексные решения этих уравнений выглядят проще, чем вещественные решения. Поэтому обычно ищут комплексные решения, а затем рассматривают вещественную часть комплексного решения. Для линейного дифференциального уравнения с вещественными коэффициентами вещественная часть общего комплексного решения является общим вещественным решением.

Общее комплексное решение уравнения гармонических

колебаний имеет следующий вид: T T01 ei t T02 e i t , где T01 и T02 — произвольные комплексные константы интегрирования.

Нас интересуют любые линейные комбинации решений волнового уравнения. Общее решение уравнения гармонических колебаний можно получить, как линейную комбинацию реше-

ний вида:T T0 ei t , где ω принимает два возможных значения

с одинаковым модулем — положительное и отрицательное. Здесь знак в показателе степени — вопрос соглашения.

T0 — произвольная комплексная константа интегрирования, различная для положительного и отрицательного значений ω.

Вернемся к рассмотрению уравнения Гельмгольца:

22

R r k2R r 0

Уравнение Гельмгольца в декартовых координатах (плоская волна) имеет вид:

Решение волнового уравнения в сферических координатах для излучения электрического диполя. Рассмотрим

электрический диполь с дипольным моментом

P p t r r0 n (2.10)

Т.е. во всех точках кроме r0 дипольный момент отсутствует. Волновое уравнение, описывающее излучение диполя

Рис.2.1. Соотношение векторов E и H в сферической системе координат.

Решая уравнение в сферических координатах рис. 2.1 при условии r /2 (что в оптике всегда выполняется) находим поле создаваемое колеблющимся диполем

23

Рис.2.2. Силовые линии полей E и H при излучении диполя

Напряженность магнитного поля H направлена, как указано на рис. 2.1. и равна:

H 0 E (2.13)

0

На рис. 2.2 представлен вид силовых линий напряженно-

сти электрического поля E (рис. 2.2.а) и магнитного поля H

(рис.2.2.б).

24

Лекция 3

Свойства электромагнитных волн. Фазовая и групповая скорости электромагнитных волн. Биения. Поперечность световых волн.

Соотношение между векторами напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной волне.

Интенсивность света. Поляризация света.

Фазовая и групповая скорости электромагнитных волн. Биения.

Электромагнитная волна - это взаимосвязанное распространение электрического и магнитного поля в пространстве.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновой вектор перпендикулярен к волновой поверх-

ности.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну. Составляющие реальной плоской электромагнитной волны не могут выражаться как

поскольку это составляющие бесконечной во времени и пространстве волны. Реальная волна представляется в виде суперпозиции мод – простейших гармонических волн.

i

Представим волну в виде суммы мод с очень близкими характеристиками:

25

Результирующая волна называется биениями, это ре-

зультат наложения на несущую высокочастотную составляющую н низкочастотной модуляции м . Скорость распростра-

Сравнивая это выражение с определением показателя преломления среды n, получим n . В оптике 1следо-

26

Vф c. Однако иногда бывает 0 n 1 и Vф c.

c

Фазовая скорость равна только для плоской

электромагнитной волны. Если фронт волны неплоский или ограничен по протяженности, то даже в вакууме скорость света отличается от c — от скорости света в вакууме для плоской волны.

c

Относительное отличие фазовой скорости от

2

имеет порядок , где R — меньшее из двух величин:

R

радиус кривизны фронта и радиус пучка лучей.

Групповая скорость отличается от фазовой только при условии n const , где n — показатель преломления. Груп-

повая скорость — понятие не очень строгое. Это связано с тем, что световой импульс в процессе распространения в среде несколько деформируется, а скорость огибающей при деформации импульса теряет смысл. Групповая скорость — скорость передачи информации, поэтому Vг c. Тем не ме-

нее, неравенство d c — возможно, но при этом условии све- dk

товой импульс расплывается быстрее, чем перемещается, и понятие групповой скорости теряет смысл.

Обычно групповая скорость меньше фазовой скоро-

сти. Это следует из неравенства dn 0, которое называют d

нормальной дисперсией. Это неравенство будет доказано позднее.

Дисперсия — зависимость показателя преломления от частоты или от длины волны.

27

Поперечность световых волн.

Подставим решение волнового уравнения для векторов

E и B в виде плоских волн в уравнения Максвелла и проверим, являются ли они решениями уравнений Максвелла.

Сначала вычислим производные по времени и координатам от плоской волны:

независимо от ее природы, не только для световой волны.

E

т.е.

28

ik — для любой плоской волны

Теперь вернемся к рассмотрению уравнений Максвелла для плоских волн.

div D ,D ik,D k,D 0

Таким образом D k , следовательно E k .

Аналогично из условия div B 0 следует B k .

k VФ — направление движения волны

R|SE k

| (3.5)

TB k

Плоская электромагнитная волна поперечна. Если волна не плоская, то в малом объеме, размеры которого гораздо меньше радиусов кривизны фронта волны, волна почти плоская. Следовательно, электромагнитные волны почти поперечны и для неплоских волн.

Проверим оставшиеся уравнения Максвелла.

правую тройку взаимно ортогональных векторов. Следователь-

но k AAS — в прозрачной изотропной среде.

Позднее при рассмотрении кристаллооптики мы полу-

чим, что в анизотропной среде векторы k и S не параллельны.

При этом вектор k показывает направление движения поверх-

29

ности равных фаз, а вектор S показывает направление движения энергии электромагнитного поля.

В результате рассмотрения этого вопроса приходим к выводу. Для того, чтобы плоские электромагнитные волны были бы решением уравнений Максвелла необходимо, чтобы волны

были поперечны:

B k

Соотношение E и H в бегущей световой волне.

Рассмотрим равенство k,E B с учетом k E сле-

в бегущей световой волне вектора электрического и магнитного полей всегда связаны соотношением

0 E 0 H.

Интенсивность света. Вектор Умова – Пойнтинга (Пойнтинга).

Запишем уравнения Максвелла для вакуума. rotH D

t

B

rotE

t

Умножим первое уравнение Максвелла скалярно на E , а

второе уравнение на H . Затем вычтем второе уравнение из первого и применим известную формулу векторного анализа

t

wЭМ - плотность электромагнитной энергии.

S E,H - вектор Умова – Пойнтинга, численно

равный интенсивности электромагнитной волны и направленный в направлении распространения волны.

Поток вектора Умова – Пойнтинга через любую замкнутую бесконечно малую поверхность равен изменению энергии электромагнитного поля внутри поверхности.

В интегральной форме закон сохранения энергии имеет

вид:

где WЭМ wdv - энергия электромагнитного поля в объеме V.

V

Поток вектора Умова – Пойнтинга через любую замкнутую поверхность равен изменению энергии электромагнитного поля внутри поверхности.

Об интенсивности света говорят либо для одной бегущей волны, либо для суммы волн, которые бегут почти в одном направлении.

Интенсивность света I — усредненная по времени

плотность потока энергии — энергия, которая в единицу времени протекает через единицу площади, если площадка перпендикулярна свету.

При построении теории в определении интенсивности имеют в виду усреднение за бесконечное время. Однако на опыте часто говорят, что интенсивность света осциллирует во времени. В этом случае в определении интенсивности имеют ввиду усреднение за время реакции приемника излучения. Ни один приемник света не отслеживает очень быстрые изменения интенсивности.

Выразим интенсивность через вещественные поля E и

H

интенсивность света выражается через электрическое поле, а не через магнитное, так как воздействие света на вещество в основном сводится к воздействию именно электрического поля.

Z 0 -волновоесопротивление

0

Связь интенсивности света и объемной плотности энергии световой волны.

Рассмотрим свет, идущий слева направо и в начальный момент находящийся в объеме цилиндра с площадью основания S и высотой V dt .

За время dt весь свет из объема цилиндра пройдет через площадку S.

32

Пусть w — объемная плотность энергии; I — интенсивность света, она же плотность потока энергии. Приравняем друг другу два выражения для энергии этого света:

w S Vdt I S dt

Здесь слева — произведение объемной плотности энергии на объем цилиндра, а справа — интенсивность, которая равна энергии, протекающей в единицу времени через единицу

В правой части равенства два слагаемых равны друг другу, так как в бегущей световой волне энергии электрического и магнитного полей равны. Тогда из I w V следует

жет двигаться отдельно от огибающей светового импульса. Поэтому казалось бы V должно быть групповой скоростью — скоростью движения огибающей.

Дело в том, что в выражении w D,E B,H мы

2 2

учитываем не всю энергию.

33

Применяя такое выражение для энергии, мы получили

фазовую скорость в выражении V I . Если на самом деле w

энергия больше, то скорость окажется меньше фазовой. Скорость в точности окажется групповой.

Вспомним, что VГ VФ .

Что же это за энергия, которую не учитывает формула

w D,E B,H ? 2 2

Если свет, падающий на среду, мгновенно выключить, то окажется, что среда еще будет излучать какое-то время

c10 6 10 9 hсекунд.

Дело в том, что световое поле E раскачивает в среде диполи атомов. Диполи атомов, как добротные осцилляторы продолжают колебания и после выключения света. Энергия колеба-

ний диполя спадает в e раз примерно за 106 109 колебаний диполя.

Эту энергию раскаченных диполей и не учитывает фор-

мула w D,E B,H , по которой при выключении светово-

2 2

го поля энергия пропадает мгновенно.

34

Лекция 4 Поляризация света.

Стоячие световые волны. Поляризация света

Поляризацией называется наличие у электромагнитной волны определенного закона, по которому в пространстве изменяются вектора электрического и магнитного поля.

Плоско поляризованной волной называется такая волна, в которой вектора Е и Н колеблются в однойплоскости.

Круговая поляризация, когда вектора Е и Н вращаются в процессе распространения волны и т.д.

Для понимания данного явления необходимо знать:

Рис. 4.1. Структура бегущей электромагнитной волны.

1. Электромагнитная волна – поперечная волна, в которой вектора Е и Н колеблются в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны. Этот факт выража-

ется вектором Умова – Пойнтинга S E,H . Плоскость в которой колеблется вектор Е называется плоскостью колебаний, плоскость в которой колеблется вектор Н называется плоскостью поляризации. На рис. 4.1 изображена структура бегущей электромагнитной волны.

2. Результирующий вектор E(t) в электромагнитной волне можно представить E(t) exEx (t) eyEy (t) ezEz (t)

(4.1).

35

Получение плоской, круговой и эллиптической поляризации

Рассмотрим плоскую гармоническую волну распространяющуюся в направлении Z. Согласно выражения (4.1) представим:

Ex = E0x·sin t,

Ey = E0y·sin( t + ),

где величина представляет разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так:

sin t Ex ;

E0x

тогда как второе после преобразования по формуле суммы синусов двух углов принимает вид

sin tcos cos tsin y

Eoy

Из первого уравнения следует, что

2

cos t 1 sin2 t = 1 Ex .

E0x2

Заменяя в уравнении ( 7-8 ) sin t и cos t их эквивалентами из уравнений ( 7-7 ) и ( 7-9 ) , можно найти:

Возводя обе части уравнения (4.2) в квадрат и учитывая, что sin2 + cos2 = 1,

получим:

36

Уравнение (4.3) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей координат (см. рис. 4.2 а).

Рис.4.2 . Результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

При sin = 0 и sin = эллипс вырождается в прямую (рис.29 в и д )

При разности фаз между колебаниями оси эллипса совпадают с осями

Стоячие световые волны.

При нормальном падении света на зеркало свет отражается обратно.

Две встречные волны одинаковой амплитуды образуют стоячую волну.

37

Рассмотрим встречные волны, направленные вдоль оси z . Пусть волны линейно поляризованы вдоль оси x. Запишем волны в вещественном представлении:

Ex t,z E0 cos kz t E0 cos kz t

Второе слагаемое описывает встречную волну, так как в нем z заменено на b zg.

Преобразуем сумму косинусов в произведение согласно

t , мы увидим, что в некоторых точках cos kz 0 и суммарная волна остаются равной нулю в любой момент времени. Эти точки называются узлами стоячей волны. Они расположены на рас-

Посередине между узлами колебания суммарной волны максимальны. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

Оказывается, что в узлах поля E находятся пучности

поля B и наоборот. Дело в том, что если в некоторой точке электрические поля встречных волн синфазны и усиливают друг друга, то магнитные поля противофазны, так как навстречу направлены волновые векторы встречных волн, и векторы

E,B,k образуют правую тройку взаимно ортогональных векто-

ров. Если один из тройки векторов E направления не меняет, а

второй k — меняет на противоположное, то третий B тоже обязан изменить знак.

При отражении света от металлического зеркала на зер-

кале образуется узел поля E и пучность поля B. Чтобы понять,

38

почему так происходит, рассмотрим отражение от идеального металлического зеркала.

Сверхпроводник — идеальное зеркало для радиоволн и электромагнитного излучения более низких частот.

Свет падает на зеркало нормально, а световые волны поперечны, поэтому на зеркале будут присутствовать только тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей. Нормальные составляющие равны нулю.

Рассмотрим граничные условия для тангенциальных со-

ставляющих полей E и B на границе сверхпроводника:

E 2 E 1 0 H 2 H 1 i*

В сверхпроводнике полей E и H нет. Тогда для полей над поверхностью сверхпроводника:

E 0 H i*

i* - линейная плотность поверхностного тока. Следова-

тельно, на поверхности идеального зеркала поле E обращается

в ноль, а поле H может быть отлично от нуля. Это приведет только к появлению поверхностных токов i*.

Следовательно, на зеркале находится узел поля E и

пучность поля H .

Если сдвинуть на фазу бегущей волны, то волна по-

меняет знак. Для поля E на зеркале две встречные волны вычи-

таются, образуя узел поля E. Тогда волна поля E отражается от зеркала со сдвигом фазы или, как говорят, в противофазе.

Фаза волны имеет период 2 , а пространственный период бегущей волны — , тогда сдвиг фазы на эквивалентен

пространственному перемещению на . При отражении от зер-

2

кала происходит как бы изменение пути, пройденного волной,

39

на . Или, как говорят, при отражении от зеркала происходит

2

потеря полуволны. Это справедливо только для волны электрического поля, но не справедливо для волны магнитного поля. Тем не менее говорят, что при отражении света от зеркала происходит потеря полуволны. Дело в том, что с веществом в основном взаимодействует электрическое поле световой волны.

Заметим, что поле H на зеркале осциллирует с оптиче-

ской частотой и H i* . Следовательно, по поверхности метал-

лического зеркала течет переменный поверхностный ток i* . Осциллирующий поверхностный ток излучает плоскую

электромагнитную волну одинаково в обе стороны от поверхности зеркала. Волна, излученная в глубину зеркала, интерферирует с прошедшей падающей волной и полностью ее гасит. Волна, излученная от зеркала, представляет собой отраженную зеркалом волну. Гасящие друг друга волны равны по амплитуде, излученные плоским током волны также равны по амплитуде, следовательно, падающая и отраженная волны равны по амплитуде.

Рис. 4.3. Фрагмент стоячей волны.

На рис. 4.3 показан фрагмент стоячей волны для такого момента времени, когда векторы напряженностей электрического и магнитного полей не достигают максимума. Черным цветом показаны плоскости колебаний вектора напряженности магнитного поля. Поскольку фазы всех точек пространства, где установилась стоячая волна, меняются одинаково, то вдоль оси х равномерно чередуются точки, где напряженность электрического поля тождественно равна нулю (так называемые узлы) и где

40

напряженность максимальна (пучности). При этом пучности электрического поля совпадают с узлами магнитного. На рис.8 нанесены узлы (светлые кружочки) и пучности (звездочки) для напряженности электрического поля.

Плотность потока световой энергии описывается векто-

ром Пойнтинга S E,H , следовательно поток энергии отсутствует в точках, где либо Е , либо Н равны нулю. Это означает,

что нет потока энергии через узлы и пучности, а есть движение энергии между узлами и пучностями - непрерывное превращение энергии электрического поля в энергию магнитного и наоборот.

Опыт Винера. Опыт по доказательству электромагнитной природы света, был проведен в 1890 г. Робертом Винером. Идею Винера легко понять, представив слой фотографической эмульсии, налитой на зеркальную металлическую поверхность.