Курс лекций Оптическая физика

261

Так как угол <<1 но N может быть не мало, то имеем трансцендентное уравнение

Корень этого уравнения х = 1,39, откуда получаем ши-

рину интерференционного максимума 2 2,78 .

Nd

Если экран, на котором наблюдают, спектры очень удален, то можно не использовать собирающую линзу.

Рис. 22.11. Дифракция от удаленного экрана.

Лучи, вышедшие под одним углом , соберутся практически в одну точку экрана. Но не совсем в одну. Поэтому такая схема не может использоваться для точного определения λ или разделения λ и λ+δλ.

Рис. 22.12. В спектрометрах экран находится

вфокальной плоскости собирающей линзы-объектива.

Вспектрометрах экран находится в фокальной плоскости собирающей линзы-объектива.

262

Если b - ширина падающего светового пучка, то N - чис-

ло освещенных щелей, и N=b/d.

Координаты максимумов (светлых полос) на экране xmax Ftg max ,гдеsin max m /d

Лучи света попадают в одну точку, и такой спектрометр используется для точного определения λ.

Кроме того, дифракционная решетка характеризуется

угловой дисперсией

Рис. 22.13. Угловая дисперсия.

Чем больше угловая дисперсия, тем сильнее расходятся лучи в области интерференционного максимума (тем шире полоса спектра).

Свободной областью дисперсии решетки λ- это ми-

нимальная ширина спектрального интервала, при котором спектры соседних порядков еще не перекрываются:

(m+1) λ =m(λ + λ ), λ = λ /m

Спектры m= 0, 1 вообще не перекрываются.

Так для типичной решетки для исследования оптического диапазона (N=2400) видимый спектр начнет перекрываться при m = 2.

Линейная дисперсия Dl определяет линейное расстояние dl в фокальной плоскости линзы между линиями спектра и + d , т.е.

dl Dl d .

263

Для малых углов d можно dl определить как dl = F d , где F – фокусное расстояние линзы. Тогда

Вопросы:

1.В чем заключается физическое содержание принципа Гюйгенса?

2.Перечислите основные трудности метода зон

Френеля.

3.Как качественно зависит интенсивность пятна Пуассона от расстояния до непрозрачного экрана?

4.Каковы условия применимости приближения Френеля и приближения Фраунгофера?

5.Можно ли наблюдать дифракцию Фраунгофера на малых расстояниях?

6.Чем объясняется большая дисперсионная область дифракционной решетки?

щели b обращается в нуль?

8. Для чего нужны большие фокусные расстояния в современных монохроматорах ?

264

10. Геометрическая оптика

Лекция 23

Геометрическая оптика Основные положения геометрической оптики

Уравнение эйконала и принцип Ферма

Если амплитуда светового вектора и направление его колебаний практически не изменяются на расстоянии ~λ и волновые поверхности имеют небольшую кривизну, то свет распространяется вдоль линий - лучей. Касательная к лучу перпендикулярна волновой поверхности и направлена вдоль скорости (вектора Пойнтинга света).

Это приближение λ 0 или геометрическая оптика.

Рис. 23.1. Геометрия светового луча.

Рассмотрим геометрию такого луча света с волновой функцией E E0 exp(i( t kr) соответствующей плоской

волне. Вводим единичный вектор k / k, направленный вдоль скорости волны, т.е. вдоль светового луча. В среде с пока-

зателем преломления n скорость электромагнитной вол-

265

Рис. 23.2. К выводу эйконала.

В среде с n=const такая плоская волна (луч) будет распространяться по прямой линии. Но в среде с непостоянным показателем преломления n n(r)луч искривлен.

Решение для волновой функции в такой среде ищут в

виде где скалярную функцию

S S(r) называют эйконалом.

Если показатель преломления среды изменяется не очень быстро, то эйконал можно разложить в ряд вблизи некоторой точки с радиус-вектором r0 и ограничиться первыми двумя членами ряда (эйкональное приближение)

Это основное уравнение геометрической оптики или уравнение эйконала. Проинтегрируем уравнение эйконала вдоль траектории луча, распространяющегося из точки 1 точку 2 (рис. 23.2):

266

Результат интегрирования не зависит от траектории. Но если двигаться вдоль истинной траектории луча, то лишь для этой траектории угол между векторами dr и равен 0° и с уче-

принцип, позволяющий определить истинное направление движения (светового) луча:

В любой среде луч движется по пути с наименьшей оптической длиной:

2

(S2 S1 ) nd min (23.2) {при этом оптическая

1

длина пути равна изменению эйконала).

Это принцип Ферма, определяющий ход лучей в оп-

тике. Подставляя сюда n=c/V, находим

лировка принципа Ферма:

Луч (света) распространяется по такому пути, который преодолевается им за наименьшее возможное время.

Уравнение эйконала дает приближенное решение уравнений Максвелла в случае λ 0 или k . Поэтому из этого уравнения или из принципа Ферма можно получить некоторые законы, полученные в волновой оптике.

Закон преломления света. Пусть луч света из точки А с координатой х=0 падает на плоскую границу двух сред с показателями преломления n1 и n2 в точке Д с координатой х и отра-

267

жаясь или преломляясь, проходит через точки В или С с координатой x . По принципу

Рис. 23.3. К выводу закона Снеллиуса-Декарта. Ферма оптическая длина пути

B

Lотр nd n1(AD DB) n1 (y12 x2 y22 ( x)2 )

A

должна быть минимальной на пути реального отраженного луча,

т.е. угол падения равен углу отражения.

Аналогично, для преломленного луча должна быть минимальна величина

B

Lпр nd n1AD n2DC n1 y12 x2 n2 y32 ( x)2 )

A

, т.е.

, т.е.

n1 sin =n2 sinγ (23.5).

268

Получили закон преломления (закон СнеллиусаДекарта).

Подобным же образом из принципа Ферма можно вывести формулу линзы.

Формула линзы.

Испущенные из точки S лучи одновременно (согласно принципу Ферма через наименьшее возможное время) соберутся в точке Р, давая изображение источника S.

Действительно, источник света S находится в среде с показателем преломления n1 на расстоянии а от сферической поверхности радиуса R , отделяющей среду с показателем преломления n2.

Лучи света соберутся в точке S', давая изображение источника (на расстоянии b от поверхности раздела сред).

Cоберутся только те лучи, для которых выполняется

условие параксиальности, т.е. которые расходятся под очень малыми углами а к оптической оси.

Рис. 23.4. Ход лучей в тонкой линзе.

Т.е. все формулы линз, используемые в геометрической оптике, справедливы только для параксиальных лучей и с помощью фотоаппарата из таких линз нельзя снимать предметы вблизи (а вдали - теряются детали предмета).

269

По принципу Ферма оптические длины всех лучей, собирающихся в точке S', одинаковы, т.е.

n1 SM n2 S/ M n1a n2bили, если провести окружность радиусом SD=SE=a и S/M=S/B=b, то DMn1=BEn2. Для параксиальных лучей 0 и h h/; DM AC=AE+EC

Получили формулу сферической поверхности (аналогична формуле линзы).

Если источник S находится на бесконечном удалении: a= , то он создает пучок параллельных лучей, которые должны сойтись в фокусе: b=F т.е.

Величина D называется оптической силой сферической поверхности.

Пусть теперь лучи от источника S падают на вогнутую поверхность раздела двух сред (см.рисунок).Тогда = - ; = -; γ= +δ и для параксиальных лучей (малые углы)

sin h/R; tg h/a; tg h/b, а из закона пре-

270

или n3 n2 n2 n3 b a R

Рис. 23.5. Вогнутая линза.

Оптическая сила вогнутой поверхности

F R

Отсюда следует, что лучи могут собраться в одной точке S/ только при n3<n2, фокусные расстояния для сферической поверхности одинаковы Fслева=Fсправа при n3=n2.

Как видим, сферическая граница раздела двух сред сама обладает свойствами тонкой линзы.

Оптические силы двух близко расположенных преломляющих поверхностей складываются, и мы получаем формулу для определения оптической силы тонкой линзы:

Эти законы годятся не только для света, но и для любой другой электромагнитной волны. Чем меньше ее λ, тем заметнее лучевые свойства.

271

Распространение света в неоднородной среде

Снова рассмотрим истинную траекторию луча. Продифференцируем уравнение эйконала по в d , т.е. по длине, от-

Это уравнение описывает движение луча в среде с неоднородным показателем преломления n(r).

Введем теперь радиус кривизны траектории луча R. Здесь en - единичный вектор, задающий направление

nen ( n) n. Умножая обе части этого уравнения ска-

R

Отсюда следует, что луч отклоняется в область с большим пока-

зателем преломления: R > О при n 0.

Это объясняет возникновение миражей, иллюзии водной глади над нагретым асфальтом, астрономической рефракции.

272

Лекция 24

Центрированные оптические системы и ход лучей в них

Условие синусов Аббе или теорема Лагранжа-Гельмгольца

Три основные матрицы преобразования луча Аберрации оптических систем

Гауссов пучок

Если пучок лучей, вышедших из точки Р после всех преломлений, отражений и искривлений сходится в одной точке P/,

то такой пучок называется гомоцентрическим. Точка P/

называется стигматическим (точечным) изображением точки Р.

Рис. 24.1. Гомоцентрический пучек.

Если поменять местами точки P и P/, то лучи, вышедшие из точки P/ сойдутся в точку Р. Это принцип обратимости, следующий из принципа Ферма: оптические пути всех лучей между точками Pи P/ (которые называются сопряженными) - одинаковы.

Рис. 24.2. Не стигматическое изображение.

К сожалению, стигматическое изображение получить трудно. Обычно лучи от точки Р пересекаются в некоторой области. Так в параболическом зеркале лучи пересекутся не в од-

273

ной точке, если источник расположен не на оси параболы. К тому же в одной точке будет наблюдаться дифракционное уширение (диск Эйри).

Стигматическое схождение гомоцентрического пучка удается получить в центрированных оптических системах, когда центры кривизны всех сферических отражающих и преломляющих плоскостей лежат на одной прямой, называемой главной оптической осью, а пучки лучей параксиальные, т.е. образуют малые углы с оптической осью.

Рис. 24.3. Центрированная оптическая система.

Это - Гауссова оптика ( теорию таких оптических систем разработал Гаусс в 1841 г.)

Изображение протяженного предмета будет резким (контрастным), если оптическая длина лучей между всеми сопряженными точками предмета и изображения одинакова.

Тогда, если лучи BB/ и AA/ выходят из противоположных точек А и В предмета параллельно под углом к оптической оси, то они пересекутся в точке D на фокальной плоскости, а затем дадут изображение A/B/. Их наклон к оптической оси будет практически одинаковым и равным /, если предмет мал.

Условие равенства оптических путей, пройденных этими

лучами: BC n=A/C/ n/ или

AB n sin =A/B/ n/ sin /

Последнее уравнение - это условие синусов Аббе или теорема Лагранжа-Гельмгольца.

Если гомоцентрический пучок выходит из точки предмета АВ, находящегося в среде с показателем преломления n рас-

274

ходясь под углом , а сходится в сопряженную точку изображения А'В' в среде с показателем преломления n/ под углом /, удовлетворяющим условию Аббе, то изображение будет резким и апланатическим.

Вместо того чтобы определять путь луча с помощью законов преломления и т.п. используют метод матриц.

Положение и направление геометрического луча в каждой точке оптической системы задают отклонением у от главной оптической оси и малым углом наклона к этой оси, умноженным на показатель преломления среды данной точке n .

Рис. 24.4. Ход луча в неоднородной среде.

В другой точке этот луч имеет другие величины y/ и n/ /, которые связаны с исходными матрицей:

Достаточно знать три основные матрицы преобразования луча:

1). В однородной среде с одинаковым nср луч идет по прямой

Рис. 24.5. Ход луча в однородной среде.

275

и, проходя расстояние вдоль оптической оси {оптический

промежуток), приобретает параметры

2). Луч идет, преломляясь на сферической поверхности радиуса R>0,

Рис. 24.6. Преломление луча на сферической поверхности.

если центр сферы справа от поверхности и R<0 если центр сферы слева от поверхности).

Слева и справа от поверхности y=y/ (см. рис. 24.6). Очевидно, что = + , /= /+ . По закону преломления,

на поверхности,

поверхности. Плоская поверхность -частный случай сферической поверхности при R= .

3) Сферическая отражающая поверхность радиуса

R>0

Рис. 24.7. Сферическая отражающая поверхность.

если центр справа, R<0 если центр слева).

Легко видеть (рис. 24.7):

/ ( ), y ,

R

277

ческой поверхности.

Легко видеть, что эта матрица получается из матрицы преломляющей поверхности заменой nл = -nср.

Зная эти три матрицы MОП, Мотр и Мпрел легко рассчитать ход лучей в любой центрированной оптической системе:

Например, для тонкой линзы с радиусами R1 и R2, изображенной на рис. 24.8,

Рис. 24.8. Тонкая линза.

278

оптическая сила тонкой линзы. Оптическая сила измеряется в диоптриях.

Параллельный пучок света, падающий на тонкую линзу слева, соберется в точке правого фокуса линзы: