Курс лекций Оптическая физика

61

В этом уравнении движения центра масс электронной оболочки введем обозначение

Добавим в уравнение движения вязкое трение в виде си-

лы F3 пропорциональной скорости r

F3 2 mr .

Здесь вязкое трение введено вместо потерь энергии электронной оболочки на излучение световых волн. Корректный учет потерь на излучение сделали бы уравнение движения нелинейным и трудным для анализа.

С учетом силы F3 уравнение движения примет следующий вид

лученное дифференциальное уравнение линейно относительно переменной r , и все коэффициенты уравнения вещественны. В таком случае вещественная часть решения уравнения будет равна вещественному решению уравнения с вещественным световым полем в правой части уравнения:

E Re E Re E0e i t .

Будем искать стационарное решение уравнения с посто-

янной комплексной амплитудой r0 , решение в виде r t r0e i t

. Подставим это решение в дифференциальное уравнение, со-

кратим уравнение на e i t и получим уравнение для комплексной амплитуды r0 :

ний электронной оболочки атома в световом поле с вещественной амплитудой E0 и частотой .

Эти колебания электронной оболочки атома относительно ядра атома означают колебания дипольного момента атома: p t q r t , где q — заряд электронной оболочки. Такое выражение для дипольного момента получается, если

координат в ядро атома. В таком случае в сумме остается одно слагаемое для всей электронной оболочки, как целого.

Комплексная амплитуда колебаний дипольного момента примет следующий вид

ной напряженностью светового поля E через комплексную по-

поляризуемость атома на частоте , где q — заряд ядра атома,

m — масса электронной оболочки атома.

При концентрации электронов N комплексная поляризуемость единицы объема диэлектрика:

Из этой формулы находится общая зависимость комплексного показателя преломления от частоты. Рассмотрим несколько частных случаев.

Нормальная дисперсия в разреженных средах (газах).

Наблюдается когда поляризация соседних атомов не оказывает влияния на поляризацию атома. В этом случае

0 :

Рис. 6.1. Нормальная дисперсия в разреженных средах.

2

n2R 1 2 р 2 ;

( 0 )

2 Nq2

р m 0

64

Рис. 6.2. Нормальная дисперсия в конденсированных

средах

Наблюдается когда поляризация соседних атомов оказывает влияния на поляризацию атома. В этом случае

0 :

65

Лекция 7

Аномальная дисперсия. Лоренцевский контур. Цуг излучения. Оптика плазмы. Оптика металлов.

Прозрачность сред для рентгеновского излучения.

В плотных средах из-за взаимодействия атомов сдвигаются (уширяются) возможные значения 0 , а коэффициент растет, т.е. в плотных средах растет затухание света. Вблизи

Обозначим 0 ; 0 2 0 . В этом случае

( 02 2) 2 0 .

Далее среду считаем достаточно разреженной (или за-

тухание света в ней достаточно малым). Тогда

висимость nR и nZ от частоты в области поглощения:

р2

nR ( ) 1 4 0( 2 2)

(7.1)

р2

nZ ( ) 4 0( 2 2)

66

Максимум и минимум функции nR ( )достигается при

.

Рис. 7.1. Аномальная дисперсия коэффициент преломле-

ния.

Рис. 7.2. Аномальная дисперсия, коэффициент поглоще-

зависимость nR ( ) это область аномальной дисперсии. По-

этому вблизи 0 показатель преломления среды не может достичь , он конечен. Но свет в этой области не наблюдается - из-за показателя nZ ( ) среда поглощает свет на расстоянии

c . В спектре светящегося тела (звезд, например) возни-

2nZ

67

излучения всех веществ вблизи частот 0 , а так как собствен-

ных частот может быть много, то наблюдается не одна, а много

ся Лоренцевский контур. Тогда контур линии поглощения

контура поглощения очень мала 2 10 9 10 6 , поэтому кон-

0

тур поглощения обычно называют линией поглощения.

Цуг излучения. Заметим, что уравнение движения цен-

Это уравнение затухающих колебаний, амплитуда кото-

рых спадает во времени, как e t . Дипольный момент атома p пропорционален смещению центра масс электронной оболочки r

p q r .

Напряженность светового поля излучения диполя пропорциональна второй производной по времени от дипольного

момента и пропорциональна ускорению E~ p ~ r . Если

0 , то r ~ r , и напряженность светового поля излучения

диполя, как функция времени имеет следующий вид

E t E0 e t e i 0 t (7.3)

68

Рис. 7.3. Зависимость напряженности электрического поля от времени при излучении атома.

Эту зависимость напряженности светового поля от времени называют световым цугом. Фурье образ этой функции

То есть спектр излучения атома имеет тот же лоренцевский вид, что и контур линии поглощения, и с той же

полушириной на полувысоте.

Одинаковый вид линии поглощения и линии излучения не зависит от модели атома. По этой причине обычно говорят просто о форме спектральной линии, не уточняя, говорят ли о линии излучения или о линии поглощения.

Обсудим теперь неравенство n 1, которое практически всегда справедливо в частотной области прозрачности вещества.

Рассмотрим уровни энергии произвольного атома.

69

Рис. 7.4. Энергетический спектр атома.

Обычно атом находится на нижнем уровне энергии E1 .

Поглотив квант света, атом может перейти с этого уровня на один из более высоких уровней энергии. Разность энергий уровней равна энергии кванта света и связана с его частотой :

k1 Ek E1.

Частоты переходов k1 — это и есть резонансные ча-

стоты колебаний электронной оболочки атома, которые входят в выражение для комплексной поляризуемости атома:

Энергии электрона, привязанного к атому, дискретные и отрицательные. При приближении к нулевой энергии уровни энергии сгущаются. Около нулевой энергии находится бесконечное число отрицательных дискретных уровней энергии. Положительные энергии электрона соответствуют отрыву электрона от атома — ионизации атома. Для положительных энергий возможны все значения в непрерывном диапазоне от нуля до бесконечности.

70

В таком случае спектр поглощения атома или зависимость коэффициента поглощения среды от частоты имеет следующий вид:

Рис. 7.5. Спектр поглощения атома Частотная область прозрачности среды — любая область

частот вдали от линий поглощения. Как видно из рисунка, для любой частоты света в области прозрачности справа от выбранной частоты всегда много линий поглощения, а слева — мало.

Рассмотрим влияние одной линии поглощения, расположенной справа k1 , на показатель преломления. Из

n 1 0 — положительный вклад в показатель преломления от линии поглощения, которая расположена справа от рассматриваемой частоты.

Поскольку справа линий много, то их суммарный вклад в показатель преломления больше, чем вклад линий, расположенных слева, и этот вклад положительный. В результате показатель преломления сдвигается от единичного значения без среды в сторону увеличения. Поэтому n 1. Исключением из правила являются области частот, где одна из левых линий поглощения k1 достаточно близка к рассматриваемой частоте

72

В модели атома Томсона квадрат резонансной частоты

шению возвращающей силы к смещению от положения равновесия. Если возвращающая сила равна нулю, то и резонансная частота тоже равна нулю 0 0. Тогда для комплексной поляризуемости атома вместо

поляризуемость свободного электрона на частоте светового поля .

Обычно потери на излучение за один период резонансной частоты атома малы тогда 0 , а частоты и 0 —

резонансная частота атома нулевая 0 0, тогда естественно предположить, что . В результате поляризуемость свободного электрона на частоте светового поля

e2

me 2 .

Рассмотрим формулу Клаузиуса - Моссотти

считая, что диэлектрическая проницаемость среды и поляризуемость — комплексные величины, зависящие от частоты электрического поля.

73

Нелинейная зависимость от вызвана отличием

электрического поля E , действующего на молекулу, от среднего поля в среде. В плазме электроны свободно перемещаются в пространстве, поэтому считают, что отличия действующего поля от среднего поля нет. Для нейтральных газов отличием двух полей можно пренебречь при малой концентрации N молекул. Для малой концентрации молекул 1, тогда 2 3 и

Для свободных электронов плазмы тоже будем считать, что 1 N , при этом, не предполагая, что концентрация

электронов N мала. Учтем, что n2 , и получим n2 1 N

. Подставим сюда выражение для поляризуемости свободных

Для удобства анализа оптических свойств плазмы вводят понятие плазменной частоты p , которая зависит от концен-

трации N электронов в плазме,

Через плазменную частоту p показатель преломления плазмы принимает простое выражение:

Взаимодействие плазмы со световым полем существенно различается в двух спектральных диапазонах: при условииp и при условии p .

Для относительно малых частот p получим

74

преломления 2 nZ . Следовательно, плазма поглощает свет c

с частотой ниже плазменной частоты. Для относительно высоких частот p получим

2

n2 1 p 0

2

и показатель преломления — вещественная величина. Отсутствие мнимой части означает отсутствие поглощения

частотой выше плазменной частоты.

Оптика металлов. Прозрачность сред для рентгеновского излучения.

В металле, как и в плазме, есть свободные электроны. Поэтому взаимодействие света с металлом похоже на взаимодействие света с плазмой.

Металл — твердая фаза вещества, поэтому концентрация свободных электронов в металле гораздо выше, чем в обычной плазме. Плазменная частота зависит от концентрации свобод-

p для металлов оказывается в рентгеновском диапазоне ча-

стот.

По этой причине рентгеновский свет с частотой p

проходит через металл почти без поглощения, а в видимом диа-

75

свет, причем в инфракрасном диапазоне, где длина волны больше, отражение света выше.

В рентгеновском диапазоне частот энергия кванта света E h оказывается гораздо больше, чем энергия связи внешнего электрона с атомом. В таком случае внешние электроны атома можно считать почти свободными не только у металлов, но и у диэлектриков.

В результате рентгеновский свет p проходит по-

чти без поглощения не только через металлы, но и через любые вещества. Любое вещество прозрачно в рентгеновском диапазоне излучения.

Вопросы

1. В чем трудности электромагнитной теории Максвелла при объяснении дисперсии света?

2.Поясните физическое содержание закона Бугера.

3.Известно, что реальные атомы обладают несколькими спектральными линиями поглощения. Как это объяснить?

4.Покажите, как можно перейти от формулы Лорентц – Лоренца к частному случаю зависимости показателя преломления от частоты в разреженных средах?

5.Почему удельная рефракция почти не зависит от плотности вещества?

6.Почему стекло, вода, многие пластмассы прозрачны для видимого света?

76

3 Поведение электромагнитных волн на границе раздела сред.

Лекция 8

Закон преломления (закон Снеллиуса) и закон отражения.

Формулы Френеля. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания. Угол Брюстера. Коэффициент отражения и пропускания по энергии.

Закон преломления (закон Снеллиуса) и закон отра-

жения.

Рассмотрим плоскую световую волну, которая падает на плоскую границу двух сред. Плоские условия задачи означают плоские решения. Тогда отраженная и преломленная волны тоже будут плоскими.

На границе раздела двух сред должны выполняться граничные условия для полей E 1 E 2;H 1 H 2 . Т.к. между Eи H в электромагнитной волне взаимнооднозначное соответствие: 0 E 0 H то H 0 / 0 E. В оптике 1, показа-

тель преломления n , волновое сопротивление вакуума

условий для падающей, отраженной и преломленной синусоидальных волн представляется:

Направление касательно к поверхности раздела и совпадает с X (рис. 8.1). Чтобы равенства в системе выполнялись, должны выполняться следующие условия:

77

1. (kпадr) (kотрr) (kпрr) означает что луч падаю-

щий, отраженный, преломленный и перпендикуляр опущенный

вточку падения лежат в одной плоскости.

2.пад отр пр

т.е n1 sin n1 sin n2 sin

Рис. 8.1. Разделение луча на отраженный и преломлен-

ный.

Данные три условия и называются законом Снеллиуса.

Формулы Френеля. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания.

Найдем амплитуды отраженной и преломленной волн из граничных условий, с учетом поперечности световых волн и с учетом законов отражения и преломления.

79

Рис. 8.2. Разные случаи поляризации падающего луча.

Для поляризации в плоскости падения запишем граничные условия для касательных составляющих к границе раздела:

Обозначая r и соответственно коэффициент отраже-

ния и преломления для поляризации в плоскости падения.

неля для коэффициентов отражения и преломления волн. Здесь значок || у поля E означает, что волна поляризована параллельно плоскости падения света.

80

Преобразуем r|| к другому виду. Сначала умножим раз-

ные слагаемые числителя и знаменателя на разные части равенства n1 sin n2 sin так, чтобы каждое слагаемое содержа-

ло произведение n1n2 :

Поляризация плоскости падения света (Рис. 8.2а).

Для поляризации в плоскости перпендикулярной плоскости падения запишем граничные условия для касательных составляющих к границе раздела:

Обозначая r и соответственно коэффициенты от-

ражения и преломления для поляризации в плоскости перпендикулярной плоскости падения.

r Eотр , Eпр Eпад Eпад

Получим:

для коэффициентов отражения и преломления волн. Здесь значок у поля E означает, что волна поляризована перпендикулярно плоскости падения света.