Раздел 3. Задачи в условиях неопределенности Тема 3.1 Системы массового обслуживания Марковский случайный процесс

Строение математических моделей в условиях неопределенности возможно лишь для некоторых упрощенных случаев.

Различают два вида неопределенности:

1. Вероятные характеристики либо известны, либо могут быть получены в результате эксперимента. Такая неопределенность называется стохастической и для большинства таких объектов можно построить математическую модель.

2. Вероятностные характеристики определить невозможно. В этом случае задачу можно попытаться решить с помощью экспертных оценок, но результат будет приблизительным.

Строгую математическую модель с аналитическим вычислением всех интересующих величин можно построить только в том случае, если случайный процесс носит Марковский характер.

Случайный процесс является Марковским, если вероятностные характеристики процесса в момент времениt зависят только от текущего состояния процесса в этот момент времени и не зависят от того, как рассматриваемый процесс пришел в текущее состояние.

Большинство процессов, наблюдаемых в технике, экономике и других областях, можно свести к Марковским, если параметры, управляющие одновременно предшествующими событиями и одновременно влияющие на прогнозирование события, включить в описание текущего события.

Из всех Марковский процессов большой практический интерес представляют собой Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Дискретнымназывается состояние, при котором процесс переходит из одного состояния в другое скачкообразно за очень короткое время и количество этих состояний известно.

Под непрерывным временемпонимается такое, при котором переход из одного состояния в другое происходит в произвольный момент времени.

Системы массового обслуживания

Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).

Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.

Основными элементами СМО являются источники заявок; ихвходящий поток; каналы обслуживанияивыходящий поток.

Входящий каналы выходящий

поток очередь обслуживания поток

• • • • •

• •

•

Каждая поступившая заявка и принятая на обслуживание внутри системы обрабатывается некоторое время, называемое временем обслуживания. Все заявки поступают случайным образом не зависимо друг от друга.

График работы СМО представляет собой ступенчатую функцию, т. е. состояние системы изменяется скачкообразно.

Системы массового обслуживания классифицируют по

1. По способу обработки входного потока заявок СМО делятся на:

1. С отказами без очереди:

2. С отказами с очередью:

1. Неограниченная очередь;

2. Ограниченная очередь:

• По длине очереди;

• По времени обслуживания.

3. Очередь с приоритетами:

• Абсолютный приоритет;

• Относительный приоритет;

• В порядке поступления

2. По способу функционирования:

1. Открытые – поток заявок не зависит от внутреннего состояния;

2. Закрытые – входной поток зависит от состояния системы.

Схема гибели и размножения

Большинство реальных процессов, протекающих в технике, экономике, транспорте, можно описать с помощью размеченного графа специального вида:

λ₁₂λ₂₃λ₃₄λ_{n-1, n}

Si

S2

S3

Sn

…

…

λ₂₁ λ₃₂ λ₄₃λ_{n, n-1}

Особенностью данного графа является то, что каждое состояние, кроме первого и последнего связано только предыдущим и последующим состоянием.

Вычислим финальные вероятности событий:

1. Для события S₁: λ₁₂p₁= λ₂₁p₂

2. Для события S₂: (λ₂₃+ λ₂₁)p₂= λ₁₂p₁+ λ₃₂p₃

Выполним преобразования:

λ₂₃p₂= λ₃₂p₃.

3. для события S₃: λ₃₂p₃= λ₄₃p₄

4. Для события S_n: λ_n-1,n p_n-1= λ_n,n-1 p_n.

Получим систему линейных уравнений:

λ₁₂p₁= λ₂₁p₂

λ₂₃p₂= λ₃₂p₃

…

λ_n-1,n p_n-1= λ_n,n-1 p_n

Используя условие p₁+p₂+p_n=1(2) из первого уравнения выразимp₂черезp₁:

Из второго уравнения выразим p₃ черезp₁:

(3)

В числителе формулы (3) стоит произведение интенсивности потоков событий с увеличивающимся номером событий. В знаменателе – произведение интенсивности потоков событий с уменьшающимся номером событий.

После выполнения указанных действий все интенсивности событий выражены через одну вероятность p₁.

Используя выражение (2) преобразуем формулу (3) к виду:

(4)

Остальные вероятности можно вычислить, используя выражение (4), подставляя необходимое количество членов ряда в знаменателе.